{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "frontmatter",
"metadata": {},
"source": [
"---\n",
"title: \"Die Unterschiede zwischen Optionen mit offener und geschlossener Schale sowie deren Auswirkungen auf die Konstruktion von Unterräumen verstehen\"\n",
"description: \"Verstehen Sie den Unterschied zwischen Optionen mit offener und geschlossener Schale sowie deren Auswirkungen auf die Unterraumkonstruktion für die neueste Version der samplebasierten Quantendiagonalisierung (SQD)\"\n",
"---\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "72420c62-2716-4f64-ad5b-73394b481cc1",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"# Die Unterschiede zwischen Optionen mit offener und geschlossener Schale sowie deren Auswirkungen auf die Konstruktion von Unterräumen verstehen\n",
"\n",
"In dieser Anleitung zeigen wir, wie man im `qiskit_addon_sqd` Paket die Dimensionen des Unterraums auswählt, um Quantenproben mithilfe der [selbstkonsistenten Konfigurationswiederherstellungstechnik](https://arxiv.org/abs/2405.05068) nachzubearbeiten.\n",
"\n",
"Noch wichtiger ist, dass dieser Leitfaden auch einige Unterschiede im Verhalten bei der Unterraumkonstruktion hervorhebt, wenn diese im `open_shell = False` oder `open_shell = True` Modus ausgeführt wird:\n",
"\n",
"* `open_shell = False` funktioniert nur, wenn die Anzahl der Elektronen im Spin-up- und Spin-down-Zustand gleich ist.\n",
"\n",
"* `open_shell = True` muss verwendet werden, wenn die Anzahl der Elektronen im Spin-up- und Spin-down-Zustand unterschiedlich ist. Es kann auch angewendet werden, wenn die Anzahl der Elektronen im Spin-up- und im Spin-down-Zustand gleich ist. `open_shell = True`Im letztgenannten Fall besteht jedoch ein Unterschied in der Größe der zwischen `open_shell = False` und erzeugten Unterräume, wie in diesem Leitfaden erläutert wird.\n",
"\n",
"**HINWEIS:** Einige der in diesem Paket enthaltenen Manipulationen der elektronischen Konfiguration (Bitfolge) zielen darauf ab, die Gesamtspinsymmetrie $S^2$ zu bewahren. Standardmäßige SCI-Löser (Selected Configuration Interaction) können die Erhaltung von $S^2$ nicht exakt gewährleisten. Folglich tun sie dies im Wesentlichen mithilfe eines Lagrange-Multiplikators.\n",
"\n",
"Die Wahl der elektronischen Konfigurationen, die in den Eigenzustandslöser eingegeben werden, kann ebenfalls einen starken Einfluss auf die Spin-Erhaltung haben. Beispielsweise kann man in einem (2-Elektronen-, 2-Orbital-)System die Konfiguration $|1001\\rangle$ abtasten (mit einer einzelnen Spin-up-Anregung über dem RHF-Zustand $|0101\\rangle$ ), die eine Linearkombination der Singulett- bzw. Triplett-Zustände der offenen Schale ist $(|1001\\rangle ± |0110\\rangle) /\\sqrt{2}$. Wird die Konfiguration |0110⟩ nicht berücksichtigt, lässt sich keine Eigenfunktion des Gesamtspins konstruieren, was zu einer Spinverunreinigung oder Redundanz führt (die Konfiguration |1001⟩ ist zwar in einer CI-Berechnung enthalten, hat jedoch im CI-Vektor den Koeffizienten 0). Da im Quantencomputer ein einzelnes Beispiel $|1001\\rangle$ generiert wird, geht das `sqd` Paket wie folgt mit dieser Situation um:\n",
"\n",
"* `open_shell = False`:\n",
"\n",
" 1. Die Bitfolge „ $1001$ “ wird in zwei Hälften geteilt, die die Konfigurationen „Spin-up“ und „Spin-down“ darstellen: „ $10$ “ (up) und „ $01$ “ (down).\n",
"\n",
" 2. Die Liste der eindeutigen spinpolarisierten Konfigurationen wurde erstellt: $\\mathcal{U} = [01, 10]$.\n",
"\n",
" 3. Anschließend betrachten wir alle möglichen Kombinationen der Elemente „ $\\mathcal{U}$ “, um die Basis zu bilden: „ $\\left \\{ |0101\\rangle, |0110\\rangle , |1001\\rangle , |1010\\rangle \\right \\}$ “, die den Singulett- und den Triplettzustand enthält.\n",
"\n",
"* `open_shell = True`:\n",
"\n",
" 1. Im Gegensatz zu diesem `open_shell = False` Fall fügen wir die beiden Hälften der Bitfolge nicht zu einer Basis zusammen.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a6755afb-ca1e-4473-974b-ba89acc8abce",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"### Geschlossene Schale\n",
"\n",
"Dieses Beispiel veranschaulicht, wie die Bitfolgen in einem System mit zwei Elektronen und vier Orbitalen bearbeitet werden.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 1,
"id": "677f54ac-b4ed-47e3-b5ba-5366d3a520f9",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Specify molecule properties\n",
"num_orbitals = 4\n",
"num_elec_a = num_elec_b = 1\n",
"open_shell = False"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c58e988c-a109-44cd-a975-9df43250c318",
"metadata": {},
"source": [
"Legen Sie manuell ein Verzeichnis der Messergebnisse fest:\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 2,
"id": "e9506e0b-ed64-48bb-a97a-ef851b604af1",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"counts_dict = {\n",
" \"00010010\": 1 / 2.0 - 0.01,\n",
" \"01001000\": 1 / 2.0 - 0.01,\n",
" \"00010001\": 0.02,\n",
"}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "851bc98e-9c08-4e78-9472-36301abc11d8",
"metadata": {},
"source": [
"Wandeln Sie die Zählwerte `dict` zur weiteren Verarbeitung in eine Bitstring-Matrix und ein Wahrscheinlichkeits-Array um:\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 3,
"id": "7a102a7f-aae6-4583-ab82-ae40fcb5496a",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"[[False False False True False False True False]\n",
" [False True False False True False False False]\n",
" [False False False True False False False True]]\n",
"[0.49 0.49 0.02]\n"
]
}
],
"source": [
"from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays\n",
"\n",
"# Convert counts into bitstring and probability arrays\n",
"bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)\n",
"print(bitstring_matrix_full)\n",
"print(probs_arr_full)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "eb704101-0fe8-4d12-b572-b1d844e35a90",
"metadata": {},
"source": [
"Entnehmen Sie eine Teilstichprobe aus einer einzelnen Charge der Größe zwei:\n",
"\n",
"* `n_batches = 1`: Anzahl der Konfigurationssätze, die von den verschiedenen Aufrufen des Eigenzustandslösers verwendet werden\n",
"* `samples_per_batch = 2`: Anzahl der eindeutigen Konfigurationen, die in jeden Stapel aufgenommen werden sollen\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 4,
"id": "fe60aee2",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"[[False False False True False False True False]\n",
" [False True False False True False False False]]\n"
]
}
],
"source": [
"from qiskit_addon_sqd.subsampling import postselect_and_subsample\n",
"\n",
"n_batches = 1\n",
"samples_per_batch = 2\n",
"\n",
"# seed for random number generator\n",
"rand_seed = 48\n",
"\n",
"# Generate the batches\n",
"batches = postselect_and_subsample(\n",
" bitstring_matrix_full,\n",
" probs_arr_full,\n",
" hamming_right=num_elec_a,\n",
" hamming_left=num_elec_b,\n",
" samples_per_batch=samples_per_batch,\n",
" num_batches=n_batches,\n",
" rand_seed=rand_seed,\n",
")\n",
"\n",
"print(batches[0])"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "93a6d05a",
"metadata": {},
"source": [
"Ermitteln Sie die Dezimaldarstellung der vom Eigenzustandslöser verwendeten Bitstrings für „Spin-up“ und „Spin-down“.\n",
"\n",
"Das erste Element des Tupels entspricht der Dezimaldarstellung der Spin-up-Konfigurationen, während das zweite Element des Tupels der Dezimaldarstellung der Spin-down-Konfigurationen entspricht:\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 5,
"id": "ef90e039",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"(array([1, 2, 4, 8], dtype=int64), array([1, 2, 4, 8], dtype=int64))\n"
]
}
],
"source": [
"from qiskit_addon_sqd.fermion import bitstring_matrix_to_ci_strs\n",
"\n",
"ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)\n",
"print(ci_strs)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "70d7883c",
"metadata": {},
"source": [
"Beachten Sie, dass zwar die Anzahl der Stichproben pro Charge zwei beträgt und die erfassten Bitstrings wie folgt lauten: $00010010$ und $01001000$, pro Spin-Spezies jedoch vier elektronische Konfigurationen erzeugt werden. In diesem Fall ergibt sich die Menge der eindeutigen spinpolarisierten Konfigurationen wie folgt:\n",
"\n",
"$$\n",
"\\mathcal{U} = \\{ 0001, 0010, 0100, 1000 \\}\n",
"$$\n",
"\n",
"dessen Dezimaldarstellung base-10 lautet\n",
"\n",
"$$\n",
"\\mathcal{U}_{10} = \\{ 1, 2, 4, 8 \\}\n",
"$$\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "03b32ed5",
"metadata": {},
"source": [
"Basis des Unterraums:\n",
"\n",
"Der Eigenzustandslöser berücksichtigt alle möglichen Paare von Bitstrings mit „Spin-up“ und „Spin-down“, um die Basis $\\mathcal{B}$ en des Unterraums zu bilden:\n",
"\n",
"* Element 1: $|00010001\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 2: $|00010010\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 3: $|00010100\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 4: $|00011000\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 5: $|00100001\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 6: $|00100010\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 7: $|00100100\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 8: $|00101000\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 9: $|01000001\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 10: $|01000010\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 11: $|01000100\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 12: $|01001000\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 13: $|10000001\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 14: $|10000010\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 15: $|10000100\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 16: $|10001000\\rangle$\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 6,
"id": "11c924ee",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"Basis elements of the subspace:\n",
"|00010001>\n",
"|00010010>\n",
"|00010100>\n",
"|00011000>\n",
"|00100001>\n",
"|00100010>\n",
"|00100100>\n",
"|00101000>\n",
"|01000001>\n",
"|01000010>\n",
"|01000100>\n",
"|01001000>\n",
"|10000001>\n",
"|10000010>\n",
"|10000100>\n",
"|10001000>\n"
]
}
],
"source": [
"ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs\n",
"\n",
"print(\"Basis elements of the subspace:\")\n",
"\n",
"for ci_str_up in ci_strs_up:\n",
" for ci_str_dn in ci_strs_dn:\n",
" format_name = \"{0:0\" + str(num_orbitals) + \"b}\"\n",
" print(\n",
" \"|\"\n",
" + format_name.format(ci_str_up)\n",
" + format_name.format(ci_str_dn)\n",
" + \">\"\n",
" )"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "aa43a4fc",
"metadata": {},
"source": [
"**Die Dimension des Unterraums ist nach oben begrenzt durch** : $2 \\cdot$ (`samples_per_batch`) $^2$.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9412e52b",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"### Offene Schale\n",
"\n",
"Dieses Beispiel veranschaulicht, wie die Bitfolgen in einem System mit zwei Elektronen und vier Orbitalen bearbeitet werden.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 7,
"id": "9b515b8a",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Specify molecule properties\n",
"num_orbitals = 4\n",
"num_elec_a = num_elec_b = 1\n",
"open_shell = True"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9ef78560",
"metadata": {},
"source": [
"Legen Sie manuell ein Verzeichnis der Messergebnisse fest:\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 8,
"id": "06b2185a",
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"counts_dict = {\n",
" \"00010010\": 1 / 2.0 - 0.01,\n",
" \"01001000\": 1 / 2.0 - 0.01,\n",
" \"00010001\": 0.02,\n",
"}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "08b32957",
"metadata": {},
"source": [
"Wandeln Sie die Zählwerte `dict` zur weiteren Verarbeitung in eine Bitstring-Matrix und ein Wahrscheinlichkeits-Array um:\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 9,
"id": "90561893",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"[[False False False True False False True False]\n",
" [False True False False True False False False]\n",
" [False False False True False False False True]]\n",
"[0.49 0.49 0.02]\n"
]
}
],
"source": [
"# Convert counts into bitstring and probability arrays\n",
"bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)\n",
"print(bitstring_matrix_full)\n",
"print(probs_arr_full)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "416bfb6c",
"metadata": {},
"source": [
"Entnehmen Sie eine Teilstichprobe aus einer einzelnen Charge der Größe zwei:\n",
"\n",
"* `n_batches = 1`: Anzahl der Konfigurationssätze, die von den verschiedenen Aufrufen des Eigenzustandslösers verwendet werden\n",
"* `samples_per_batch = 2`: Anzahl der eindeutigen Konfigurationen, die in jeden Stapel aufgenommen werden sollen\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 10,
"id": "cf4fe11d",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"[[False False False True False False True False]\n",
" [False True False False True False False False]]\n"
]
}
],
"source": [
"n_batches = 1\n",
"samples_per_batch = 2\n",
"\n",
"# seed for random number generator\n",
"rand_seed = 48\n",
"\n",
"# Generate the batches\n",
"batches = postselect_and_subsample(\n",
" bitstring_matrix_full,\n",
" probs_arr_full,\n",
" hamming_right=num_elec_a,\n",
" hamming_left=num_elec_b,\n",
" samples_per_batch=samples_per_batch,\n",
" num_batches=n_batches,\n",
" rand_seed=rand_seed,\n",
")\n",
"\n",
"print(batches[0])"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "54d699ca",
"metadata": {},
"source": [
"Ermitteln Sie die Dezimaldarstellung der vom Eigenzustandslöser verwendeten Bitstrings für „Spin-up“ und „Spin-down“.\n",
"\n",
"Das erste Element des Tupels entspricht der Dezimaldarstellung der Spin-up-Konfigurationen, während das zweite Element des Tupels der Dezimaldarstellung der Spin-down-Konfigurationen entspricht:\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 11,
"id": "b40b049b",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"(array([2, 8], dtype=int64), array([1, 4], dtype=int64))\n"
]
}
],
"source": [
"ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)\n",
"print(ci_strs)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "28921e56",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn wir festlegen, dass `open_shell = True`, werden nicht alle eindeutigen Halbbitstrings als „Spin-up“- und „Spin-down“-Konfigurationen berücksichtigt, was zu einer kleineren Basis führt als bei der Festlegung von `open_shell = False`.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e1959b72",
"metadata": {},
"source": [
"Basis des Unterraums:\n",
"\n",
"Der Eigenzustandslöser berücksichtigt alle möglichen Paare von Bitstrings mit „Spin-up“ und „Spin-down“, um die Basis $\\mathcal{B}$ en des Unterraums zu bilden:\n",
"\n",
"* Element 1: $|00010010\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 2: $|00011000\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 3: $|01000010\\rangle$\n",
"\n",
"* Element 4: $|01001000\\rangle$\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 12,
"id": "a550aba2",
"metadata": {},
"outputs": [
{
"name": "stdout",
"output_type": "stream",
"text": [
"Basis elements of the subspace:\n",
"|00100001>\n",
"|00100100>\n",
"|10000001>\n",
"|10000100>\n"
]
}
],
"source": [
"ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs\n",
"\n",
"print(\"Basis elements of the subspace:\")\n",
"\n",
"for ci_str_up in ci_strs_up:\n",
" for ci_str_dn in ci_strs_dn:\n",
" format_name = \"{0:0\" + str(num_orbitals) + \"b}\"\n",
" print(\n",
" \"|\"\n",
" + format_name.format(ci_str_up)\n",
" + format_name.format(ci_str_dn)\n",
" + \">\"\n",
" )"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7317bc49",
"metadata": {},
"source": [
"**Die Dimension des Unterraums ist nach oben begrenzt durch** : (`samples_per_batch`) $^2$.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"id": "a1b8767d",
"source": "© IBM Corp., 2017-2026"
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
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"language_info": {
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"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
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},
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