Formalismo matemático

Cuando se trata de estudiar el ruido de Pauli en un conjunto de puertas de Clifford, una técnica de análisis habitual consiste en seguir cómo se transforman los operadores de Pauli individuales a lo largo de una secuencia de aplicaciones de puertas (bajo el supuesto de que las puertas son de Clifford y el ruido es un canal de Pauli, un operador de Pauli siempre se mapeará a otro operador de Pauli, salvo por un escalar que es una función del ruido). Obviamente, la evolución de cualquier estado bajo dicha secuencia puede representarse mediante una combinación lineal de dichas trayectorias; sin embargo, bajo el supuesto de que siempre preparamos el estado en un estado propio de Pauli, y siempre medimos y procesamos posteriormente los resultados para calcular el valor esperado de un operador de Pauli, la relación entre el valor esperado y los parámetros del modelo de ruido dependerá siempre y exclusivamente de una sola de esas trayectorias. Esto se deduce del simple hecho de que el estado inicial es una combinación lineal de operadores de Pauli, cada puerta y cada modelo de ruido mapea los operadores de Pauli a otros operadores de Pauli y conserva su ortogonalidad, y el valor esperado final «selecciona» solo uno de los operadores de Pauli en la descomposición final antes de la medición.

Este tipo de razonamiento aparece en numerosas líneas de investigación paralelas en el ámbito del aprendizaje con ruido, entre ellas la bibliografía sobre el aprendizaje con conjuntos de puertas de Pauli [ 1, 2 ], la bibliografía sobre ACES [ 3 ] y la bibliografía sobre pruebas de rendimiento de ciclos [ 4 ]. Este razonamiento se generalizó aún más en [ 5 ] para incluir las puertas Clifford-MCM (una puerta Clifford seguida de una medición proyectiva a mitad del circuito). Este paquete es el que más se ajusta a [ 1, 5 ]. Aunque no se menciona explícitamente, adoptamos el formalismo del «Pattern Transfer Graph» (PTG) para describir cómo evolucionan los operadores de Pauli a través de los circuitos de aprendizaje, lo que proporciona una representación directa de los datos en forma de rutas a través del grafo.

A continuación se ofrece un repaso de algunos conceptos matemáticos fundamentales extraídos de la bibliografía. Su objetivo principal es unificar la notación y servir como referencia documental conceptual para el resto del paquete.

1. Antecedentes

1.1 Notación

Para un $K \in \mathbb{N}$ , sea $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$ . Para un conjunto finito $S \subset \mathbb{N}$ de índices de qubits, sea $\mathcal{P}^S$ el conjunto de operadores de Pauli sin fase que actúan sobre dichos qubits. Tenga en cuenta que consideramos los elementos de $\mathcal{P}^S$ como funciones que mapean $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$ , de modo que, para cualquier $P \in \mathcal{P}^S$ y $T \subseteq S$ , $P|_T$ denota la restricción de $P$ al subconjunto de qubits $T$ . En esta línea, para conjuntos disjuntos $S, T$ , y $P \in \mathcal{P}^S$ y $Q \in \mathcal{P}^T$ , $P \otimes Q$ denota el elemento de $\mathcal{P}^{S \cup T}$ tal que $P \otimes Q |_S = P$ y $P \otimes Q |_T = Q$ . Esta notación resulta útil para evitar tener que tratar explícitamente con ordenaciones de subsistemas y para facilitar la descripción de las restricciones.

Para subconjuntos finitos $M \subset \mathbb{N}$ , denotamos $\mathbb{Z}_2^M$ como el conjunto de las cadenas de bits cuyos elementos están indexados por $M$ . De forma similar a lo anterior, consideramos los elementos como funciones que mapean $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$ , de modo que podamos describir fácilmente las subcadenas en términos de restricciones del conjunto de índices.

Por último, para una matriz $X$ , utilizamos $| X \rangle\!\rangle$ para denotar su vectorización. Dado el uso limitado que hacemos de esta notación, en realidad no es necesario elegir una convención de vectorización concreta. Para una cadena de bits clásica $m$ , utilizamos la notación abreviada $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$ .

1.2 Instrumentos cuánticos

Una operación cuántica que genera bits clásicos $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (por ejemplo, el resultado de una medición) se modela generalmente como una aplicación lineal de la forma:

\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,

donde el conjunto $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ es completamente positivo, y $\sum_m \mathcal{E}_m$ conserva la traza. Un conjunto de mapas completamente positivos $\{\mathcal{E}_m\}$ que satisfacen estas propiedades se denomina «instrumento cuántico ». Una puerta unitaria es un caso especial de un instrumento que consta de un único elemento y que constituye una operación unitaria.

2. Puertas de reinicio Clifford-MCM con ruido

El formalismo utilizado en este paquete parte de la base de que cada puerta del conjunto de puertas que se va a caracterizar consta de la siguiente secuencia de operaciones sobre qubits de tip $K$ :

Una operación de Clifford sobre todos los qubits.
Una medición proyectiva a mitad de circuito a lo largo de $Z$ en un subconjunto de qubits $M \subseteq [K]$ .
Un reinicio a mitad del circuito al estado de base « $Z$ » en un subconjunto de qubits $R \subseteq [K]$ .

Se trata de una clase general de operaciones que incluye las puertas de Clifford unitarias, la medición, la preparación de estados y cualquier combinación de las anteriores. Ten en cuenta que suponemos que la medición y el reinicio se realizan siempre a lo largo del eje $Z$ para cada qubit. Aunque no es estrictamente necesario, se trata de una característica habitual en muchas modalidades de computación cuántica y permite simplificar las representaciones y el análisis.

Tal y como se describe en [ 5, 6 ] para el caso sin reinicio, si se aplica una estrategia de giro específica a una instancia ruidosa de dicha puerta, la acción de la operación resultante puede modelarse matemáticamente como un instrumento de Pauli uniforme. Es decir, dentro de la notación de instrumentos cuánticos, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ , donde $G$ es el unitario de Clifford, y:

\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,

donde cada $\Lambda_{a,b}$ es un canal de Pauli subnormalizado sobre los qubits no medidos $N = [K] \setminus M$ . Al tratarse de un instrumento cuántico, se deduce que $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ también conserva la traza. Algunas notas:

El ruido inicial no desenredado se modela de modo que incluya tanto errores «cuánticos» como «clásicos»: operaciones erróneas en los registros cuánticos, así como errores en la comunicación de los valores de medición.
El mapa de ruido $\Lambda_{a,b}$ es independiente del resultado de la medición $m$ .

En otras palabras, un único término de la suma anterior representa la observación de un resultado de medición de $m$ cuando el estado medido era $| m + b \rangle$ (una clasificación errónea si $b \neq 0$ ), y cuando el estado de salida en el registro de medición es $| m + a \rangle$ (el estado «incorrecto» cuando $a \neq 0$ ). La aplicación $\Lambda_{a,b}$ codifica simultáneamente la acción sobre los qubits no medidos (condicionada por el comportamiento de la medición) y la probabilidad del comportamiento específico de la medición (a través de la normalización).

Cabe señalar que aquí no nos ocupamos de los detalles concretos de la estrategia de giro: basta con que exista una estrategia de este tipo que permita dar al canal la forma anterior. Cabe señalar que existen estrategias de «giro» más «precisas» que pueden restringir aún más la forma de los canales de Pauli [ 7 ]; sin embargo, consideramos que la forma anterior es la representación matemática más general que estamos analizando.

En el Lema 1 de [ 5 ] se demuestra que $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ puede reescribirse como:

\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.

para unos números reales $\lambda_{x,y}^Q$ , que se denominan «fidelidades » del instrumento.

Añadir la opción de reinicio a esta imagen es relativamente sencillo. Una operación de reinicio con ruido en los qubits $R \subset [K]$ puede modelarse según la descomposición:

\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.

La fórmula anterior parte explícitamente del supuesto de que el reinicio se produce a lo largo del eje « $Z$ » para cada qubit. El ruido en la operación se codifica en las fidelidades de reinicio $\lambda_r$ , que simplemente se indexan por subconjuntos de qubits.

Se puede obtener una ecuación análoga a la (1) que incluya una operación de reinicio al final simplemente combinándola con la ecuación (2). Esta expresión, tras simplificarla un poco, da como resultado:

\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}

Esta descomposición indica que el número de fidelidades $\lambda^Q_{x, y}$ es

4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.

Consideremos los siguientes casos límite: (1) En ausencia de medición o reinicio, se cumple que $M = R = \emptyset$ , y la expresión da como resultado $4^K$ , que es el número de operadores de Pauli sin fase en $K$ qubits. (2) Para $M = \emptyset$ y $R=[K]$ , el resultado es $2^K$ , que es el número de subconjuntos de $[K]$ . Por último, (3) para $M = [K]$ y $R = \emptyset$ , esto da como resultado $4^K$ . Cabe señalar que esto puede parecer sorprendente en un primer momento: en el aprendizaje estándar, se suele considerar que la medición y el reinicio tienen el mismo número de fidelidades: $2^K$ . Sin embargo, en este contexto, la puerta de «todo medición» no se entiende como una medición terminal, sino como un MCM, por lo que también se incluyen las fidelidades correspondientes a salidas de la medición distintas de la identidad (como $y \neq 0$ en la ecuación (3) ).

Por último, es importante señalar que cualquier estrategia de giro que dé como resultado la forma de la ecuación (1) en el caso sin reinicio sigue siendo igualmente válida para el caso no trivial con reinicio, con una simple modificación. El posible problema es que una estrategia de este tipo podría requerir operaciones sobre los qubits medidos tras la medición. Por lo tanto, si se mide y se restablece un qubit, la aplicación de la estrategia parece requerir la inserción de operaciones en la puerta lógica entre la medición y el restablecimiento. Sin embargo, dada la naturaleza del reinicio, este tipo de operaciones no tienen ningún efecto y pueden omitirse sin más, ya que se obtiene igualmente la estructura deseada.

3. Formalismo de trayectorias

Tal y como se describe en la introducción, todos los algoritmos de aprendizaje para el ruido de tipo Pauli en puertas de Clifford se basan en el seguimiento de la evolución de cada partícula de Pauli a lo largo de un circuito, recogiéndo se factores de fidelidad del ruido a lo largo del recorrido. Por lo tanto, los valores esperados de un circuito compuesto por dichas puertas se relacionan simplemente con los productos de las fidelidades subyacentes de cada una de las puertas, y de este modo se pueden inferir los parámetros del modelo invirtiendo cualquier correspondencia dispersa entre parámetros y fidelidad que se esté suponiendo.

En [ 1 ], en el contexto de los conjuntos de puertas unitarias, esto se formaliza mediante el «Pattern Transfer Graph » (PTG): un grafo dirigido que describe todos los experimentos posibles formados por elementos del conjunto de puertas y capas de puertas de Clifford de un solo qubit (que se supone que son operaciones perfectas, o «libres»). Esto se generalizó en [ 5 ] para incluir conjuntos de puertas con mediciones en el medio del circuito. En ambos casos, cada experimento se describe siguiendo el recorrido de un único operador de Pauli a lo largo del circuito, partiendo del supuesto de que en cada punto de medición se calcula un observable concreto. En este apartado no analizamos directamente las construcciones de grafos o caminos; sin embargo, presentamos los datos necesarios para justificarlas dentro de nuestra propia notación y teniendo en cuenta los reinicios.

Si bien el seguimiento de un único operador de Pauli a lo largo del circuito puede resultar intuitivo en el caso del conjunto de puertas unitarias, esto no se cumple de forma tan evidente en el caso más general de Clifford-MCM-reset, debido a la naturaleza no determinista de la medición. La siguiente proposición reproduce este panorama incluso en el caso más general [ 5 ]:

Propuesta 1

Para cualquier $x \in \mathbb{Z}_2^M$ , $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ y $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ , se cumple que:

\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |

En otras palabras, si calculamos el valor esperado $Z^{x + y|_M}$ en la salida del registro clásico del MCM, entonces la evolución según el «modelo de Heisenberg» de un observable a través de la puerta Clifford-MCM-reinicio se mapea como $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$ . Este hecho por sí solo permite recuperar un análisis similar al de las PTG más allá del caso del conjunto de puertas unitarias: con un posprocesamiento concreto de los resultados de la medición, incluso las puertas con mediciones y reinicios pueden considerarse como una aplicación determinista de un operador de Pauli a otro.

Antes de demostrarlo, expresamos la ecuación (3) de una forma más ilustrativa. Ten en cuenta que, para un $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ , se cumple que $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$ y, por lo tanto (en notación de superoperadores), tenemos:

\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}

donde hemos aplicado la ecuación (3) y agrupado los términos, y utilizamos el subíndice $M$ para indicar el registro del resultado de la medición clásica, que tratamos anteriormente con una notación similar a la de los registros cuánticos.

Demostración. Establece que:

\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}

Por último, fíjate en que $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$ y, por lo tanto, el último término anterior se reduce al único término $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$ , lo que da como resultado el resultado deseado.

Véase [ 5 ] para más detalles a partir de este punto: la definición del PTG, las rutas a través del PTG y la demostración de que cualquier ruta definida correctamente se corresponde con un experimento.

Referencias

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang y Steven T. Flammia. Aprendizaje eficiente y autoconsistente del ruido de Pauli en conjuntos de puertas. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang y Alireza Seif. Aclaración de la ambigüedad del ruido de Pauli en los ordenadores cuánticos. PRX Quantum, páginas, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Muestreo de valores propios de circuitos promediados. En la 17.ª Conferencia sobre Teoría de la Computación Cuántica, la Comunicación y la Criptografía (TQC 2022), volumen 232 de Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Alemania, 2022. Schloss Dagstuhl – Centro Leibniz de Informática. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martínez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson y Rainer Blatt. Caracterización de ordenadores cuánticos a gran escala mediante pruebas de rendimiento basadas en ciclos. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu y Liang Jiang. Algoritmo de evaluación comparativa de ciclos generalizado para caracterizar mediciones a mitad de circuito. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale y Joel J. Wallman. Compilación aleatoria para las mediciones del subsistema. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg y Pawel Wocjan. Técnicas para el aprendizaje de modelos de ruido de Pauli-Lindblad dispersos. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.

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