近似量子コンパイラ

qiskit.synthesis.unitary.aqc

論文 [1で述べられて]いる近似量子コンパイラの実装。

インターフェース

このモジュールの主なパブリック・インターフェースには、 unitary_synthesis_method='aqc' を渡して到達します。 transpile(). これにより、合成方法が AQCSynthesisPlugin に切り替わる。個々のクラスは以下の通り：


`AQC`[(オプティマイザ、シード）]	近似量子コンパイラの汎用実装。
`ApproximateCircuit`(num_qubits[, name] )	近似回路を表す基本クラス。
`ApproximatingObjective`()	最適化問題定義の基本クラス。
`CNOTUnitCircuit`(num_qubits, cnots[, tol, name] )	CNOTユニットブロックに基づく近似回路を表すクラス。
`CNOTUnitObjective`(num_qubits, cnots)	CNOTユニットに基づく問題定義のための基本クラス。
`DefaultCNOTUnitObjective`(num_qubits, cnots)	CNOTユニットに基づく目的関数の素朴な実装。
`FastCNOTUnitObjective`(num_qubits, cnots)	目的関数と勾配計算機の実装。 `DefaultCNOTUnitObjective` に似ているが、数倍速い。

数学的詳細

我々は量子回路のコンパイルに興味がある。このコンパイルは、いくつかのハードウェア制約を追加した上で、対象となるユニタリー行列 $U\in U(d)$ の順序ゲート列の観点から最適な回路表現を見つけることとして定式化する。特に、ゲートの深さだけでなく、ハードウェアの接続性の点でも制約を受けうる表現に注目し、CNOTゲートと回転ゲートの観点からゲートの基礎を選択する。 CNOTと回転ゲートの組み合わせは、 $SU(d)$ 、普遍的なものであるため、コンパイルが制限されることはない。

「最適な回路表現」という概念を適切に定義するため、我々は、コンパイルされた回路のユニタリ行列 $V$ と目標ユニタリ行列 $U$ との間のフロベニウスノルム、すなわち $\|V - U\|_{\mathrm{F}}$ を指標として定義する。この選択は、数理計画法上の考察に基づくものであり、文献に見られる他の定式化とも関連している。この問題について、もう少し詳しく見てみましょう。

$n$ を量子ビット数、 $d=2^n$ を量子ビット数とする。CNOT構造 $ct$ と回転角度のベクトル $\theta$ が与えられると、パラメトリック回路は行列 $Vct(\theta)\in SU(d)$ を形成する。行列を形成するターゲット回路 $U\in SU(d)$ が与えられたとすると、次のように計算したい

\mathrm{argmax}_{\theta}\frac{1}{d}|\langle Vct(\theta),U\rangle|

ここで内積はフロベニウス内積である。 $U$ と $V$ のすべてのユニタリーに対して $|\langle V,U\rangle|\leq d$ があるので、目的は $[0,1]$ に範囲を持つことに注意。

我々の戦略は最大化することである

\frac{1}{d}\Re \langle Vct(\theta),U\rangle

その勾配を利用する。では、具体的な例を挙げて説明しよう。

$Vct$ の範囲は構造上 $SU(d)$ の部分集合であるが、ターゲット回路は一般的なユニタリー行列を形成することができる。しかし、 $U\in U(d)$ 、

\frac{\exp(2\pi i k/d)}{\det(U)^{1/d}}U\in SU(d)\text{ for all }k\in\{0,\ldots,d-1\}.

したがって、対象回路をグローバル位相で正規化し、正規化された回路を近似的にコンパイルする必要がある。グローバル・フェーズは、その後に追加すればいい。

このアルゴリズムでは、 $U'$ を正規化されていないターゲット行列、 $U$ を正規化されたターゲット行列とする。 $U$ が得られたので、勾配関数をネステロフ法のオプティマイザーに与え、 $\theta$ を計算する。

グローバル・フェーズを戻すには、制御回路を次のように構成すればよい

\frac{\langle Vct(\theta),U'\rangle}{|\langle Vct(\theta),U'\rangle|}Vct(\theta).

論文ではネステロフ法を用いて最適化を行ったが、これは収束の保証のためであり、実際のスピードのためではないことに注意されたい。この実装ではデフォルトのオプティマイザとして使用されているL-BFGSを使用する方がはるかに高速である。

AQCアルゴリズムの基本的な使い方は、以下のステップで構成される：

# Define a target circuit as a unitary matrix
unitary = ...

# Define a number of qubits for the algorithm, at least 3 qubits
num_qubits = round(math.log2(unitary.shape[0]))

# Choose a layout of the CNOT structure for the approximate circuit, e.g. ``spin`` for
# a linear layout.
layout = options.get("layout") or "spin"

# Choose a connectivity type, e.g. ``full`` for full connectivity between qubits.
connectivity = options.get("connectivity") or "full"

# Define a targeted depth of the approximate circuit in the number of CNOT units.
depth = int(options.get("depth") or 0)

# Generate a network made of CNOT units
cnots = make_cnot_network(
    num_qubits=num_qubits,
    network_layout=layout,
    connectivity_type=connectivity,
    depth=depth
)

# Create an optimizer to be used by AQC
optimizer = partial(scipy.optimize.minimize, method="L-BFGS-B")

# Create an instance
aqc = AQC(optimizer)

# Create a template circuit that will approximate our target circuit
approximate_circuit = CNOTUnitCircuit(num_qubits=num_qubits, cnots=cnots)

# Create an objective that defines our optimization problem
approximating_objective = DefaultCNOTUnitObjective(num_qubits=num_qubits, cnots=cnots)

# Run optimization process to compile the unitary
aqc.compile_unitary(
    target_matrix=unitary,
    approximate_circuit=approximate_circuit,
    approximating_objective=approximating_objective
)

さて、 approximate_circuit は、対象となるユニタリーをある程度近似した回路であり、元の行列の代わりに使うことができる。

これはヘルパー関数を使用している、 make_cnot_network.

make_cnot_network

qiskit.synthesis.unitary.aqc.make_cnot_network(num_qubits, network_layout='spin', connectivity_type='full', depth=0)

GitHub

それぞれがCNOTゲートと、場合によっては1量子ビットのゲートを含むビルディングブロックからなるネットワークを生成する。このネットワークは、量子演算子をモデル化している。各構成ブロックは、2つの量子ビットに対応する2つの入力と出力を持つ。ここで実際に返されるのは、列のすべてのビルディング・ブロックが共有する量子ビット対のインデックスの連鎖である。

パラメーター

num_qubits (int) – 量子ビットの数。
network_layout (str) – ネットワーク形状の種類、 {"sequ", "spin", "cart", "cyclic_spin", "cyclic_line"}。
connectivity_type (str) – 量子ビット間接続のタイプ、 {"full", "line", "star"}。
depth (int) – CNOTネットワークの深さ、すなわちレイヤーの数。各レイヤーは単一のCNOTブロックで構成される。 L <= 0 の場合、デフォルト値が選択される。

戻り値

cnot-network のレイヤーを定義する、サイズ (2, N) の行列。 N

は、 L に等しいか、ネットワークの具体的な型によって定義される。

レイズ

ValueError - サポートされていないタイプのCNOTネットワークレイアウト、量子ビットの数、またはパラメータの組み合わせが渡された場合。

戻りの型

ndarray

目的関数の加速バージョンを利用することもできる。デフォルトのもの DefaultCNOTUnitObjective と同じ数学的アルゴリズムを実装しているが、実行速度は数倍速い。加速目的関数クラスのインスタンス化は、デフォルトの場合と同様である：

# 最適化問題を定義する目的語を作成 approximating_objective = FastCNOTUnitObjective(num_qubits=num_qubits, cnots=cnots)

上記の例の残りのコードは変更しない。

参考文献

[1] : Liam Madden, Andrea Simonetto, Best Approximate Quantum Compiling Problems.

arXiv:2106.05649

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