title: "Iniciação rápida" description: "Um guia de início rápido para o pacote de complementos pauli-prop do Qiskit"

Iniciação rápida

Neste guia, utilizamos o pacote pauli-prop para simular, de forma clássica, a dinâmica temporal de um modelo de Ising com 10 qubits e efeito “kicked” em uma cadeia de spins do tipo “ 1D ”.

Prepare os dados de entrada para a propagação de Pauli

O hamiltoniano considerado é:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

onde $J>0$ descreve o acoplamento entre os spins vizinhos mais próximos, $i<j$, e $h$ é o campo transversal global. Uma decomposição de Trotter de primeira ordem do operador evoluído no tempo será implementada como um circuito quântico, $U$, ao longo de $20$ etapas de Trotter. A constante de acoplamento, $J$, será fixada em $J=-\frac{\pi}{2}$, e $h$ será fixada em $\frac{\pi}{6}$. As interações $ZZ$ serão implementadas utilizando portas de Clifford ( $CX$, $Sdg$, $\sqrt{Y}$ ).

Implementamos a evolução temporal de Trotter como um circuito quântico e utilizamos a função “ $\frac{\pi}{6}$ ” para as rotações não-Clifford em torno do eixo x. Quanto mais esses ângulos se afastarem dos ângulos de Clifford (por exemplo, $\theta=n\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$ ), mais difícil será simular o sistema utilizando métodos de propagação de Pauli.

Para a escolha da grandeza observável, consideramos a magnetização média de um único sítio, $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$, onde $N$ é o número de spins.

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap

num_qubits = 10
coupling_map = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False)

# Num Trotter steps
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6

# Average single-site magnetization
observable = (
    SparsePauliOp(
        [
            "I" * iq + "Z" + "I" * (num_qubits - iq - 1)
            for iq in range(num_qubits)
        ]
    )
    / num_qubits
)

# Create the Trotter circuit
num_qubits = 10
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6
circuit = QuantumCircuit(num_qubits)
edges = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False).get_edges()
for _ in range(num_steps):
    circuit.rx(theta_rx, [i for i in range(num_qubits)])
    for edge in edges:
        circuit.sdg(edge)
        circuit.ry(np.pi / 2, edge[1])
        circuit.cx(edge[0], edge[1])
        circuit.ry(-np.pi / 2, edge[1])
circuit.draw("mpl", fold=-1)

Output:

Simule a evolução temporal do sistema com a propagação de Pauli

Assim que tivermos nosso circuito, $U$, e nossa observável, $O$, podemos simular facilmente o sistema em algumas etapas:

• Separe $U$ em suas partes Clifford, $C$, e não-Clifford, $P$, de modo que $U=PC$ utilizando evolve_through_cliffords
• Propague $O$ por meio de $P$, resultando em um novo operador, $O^\prime$, utilizando pauli_prop.propagate_through_circuit
• Evolua um $O^\prime$ o na parte do circuito relacionada ao Clifford, utilizando o suporte à evolução do Clifford integrado ao Qiskit
• Aproxime o valor esperado como $\langle0|O^\prime|0\rangle \approx \langle0|U^\dagger OU|0\rangle$, somando os coeficientes em $O^\prime$ associados aos termos de Pauli totalmente diagonais (termos de Pauli que contêm ou I Z em todos os qubits). Lembre-se de que essa é uma aproximação, pois truncamos termos de $O^\prime$ à medida que o propagávamos pela parte não-Clifford do circuito.

import time

from pauli_prop import evolve_through_cliffords, propagate_through_circuit

cliff, non_cliff = evolve_through_cliffords(circuit)

max_terms_list = [10**i for i in range(8)]
approx_evs = []
durations = []
for max_terms in max_terms_list:
    st = time.perf_counter()
    evolved_obs = propagate_through_circuit(
        observable, non_cliff, max_terms=max_terms, atol=1e-12, frame="h"
    )[0]
    evolved_obs.paulis = evolved_obs.paulis.evolve(cliff, frame="h")
    durations.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(evolved_obs.coeffs[~evolved_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum())
    )

À medida que realizamos cálculos mais complexos, as aproximações do valor esperado tornam-se mais precisas. Neste exemplo, saturamos todo o espaço de Pauli em torno de $4^{10}\approx10^6$, o que se reflete no achatamento da curva entre os dois últimos pontos.

Embora o gráfico abaixo mostre uma convergência monotônica, as simulações de propagação de Pauli geralmente não convergem de forma monotônica. Não é incomum observar um comportamento “irregular” nesse tipo de gráfico.

import matplotlib.pyplot as plt
from qiskit_aer import AerSimulator

sim_circ = circuit.copy()
sim_circ.save_statevector()
backend = AerSimulator(method="statevector")
psi = backend.run(sim_circ).result().data()["statevector"]
exact_ev = psi.expectation_value(observable)

ax1 = plt.gca()
ax1.plot(max_terms_list, approx_evs, marker="o", label="Approximate")
ax1.axhline(exact_ev, linestyle="--", color="green", label="Exact")
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_xlabel("# terms kept")
ax1.set_ylabel(r"$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$")

ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(
    max_terms_list, durations, marker=".", label="Runtime", color="orange"
)
ax2.set_ylabel("Runtime (s)", color="orange")
ax2.set_yscale("log")

handles1, labels1 = ax1.get_legend_handles_labels()
handles2, labels2 = ax2.get_legend_handles_labels()
ax1.legend(handles1 + handles2, labels1 + labels2, loc="lower right")

plt.title(f"Simulating {num_steps}-step 1D Ising Model")

Output:

Text(0.5, 1.0, 'Simulating 20-step 1D Ising Model')