Informazioni quantistiche

Siamo ora pronti a passare all'informazione quantistica nell'ambito di sistemi multipli. Come nella precedente lezione sui sistemi singoli, la descrizione matematica dell'informazione quantistica per i sistemi multipli è abbastanza simile al caso probabilistico e fa uso di concetti e tecniche simili.

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Stati quantistici

È possibile considerare più sistemi nel loro insieme come un unico sistema composto. Lo abbiamo già osservato nel contesto probabilistico, e il contesto quantistico è analogo. Gli stati quantistici dei sistemi multipli sono quindi rappresentati da vettori colonnari con elementi complessi e norma euclidea pari a $1$, proprio come gli stati quantistici dei sistemi singoli. Nel caso di un sistema multiplo, gli elementi di questi vettori sono disposti in corrispondenza del prodotto cartesiano degli insiemi di stati classici associati a ciascuno dei singoli sistemi, poiché quello è l'insieme di stati classici del sistema composto.

Ad esempio, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sono qubit, allora l’insieme degli stati classici della coppia di qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, considerata collettivamente come un unico sistema, è il prodotto cartesiano $\{0,1\}\times\{0,1\}$. Rappresentando le coppie di valori binari come stringhe binarie di lunghezza due, associamo questo insieme del prodotto cartesiano all’insieme $\{00,01,10,11\}$. I seguenti vettori sono quindi tutti esempi di vettori di stato quantistico della coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ :

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Esistono varianti su come vengono espressi i vettori di stato quantistici di sistemi multipli e possiamo scegliere la variante che più ci aggrada. Ecco alcuni esempi per il primo vettore di stato quantistico di cui sopra.

1. Possiamo usare il fatto che $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (per qualsiasi stato classico $a$ e $b$ ) per scrivere invece

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Possiamo scegliere di scrivere esplicitamente il simbolo del prodotto tensoriale in questo modo:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. I ket possono essere indicati con un pedice per indicare la loro corrispondenza con i sistemi considerati, in questo modo:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Naturalmente, possiamo anche scrivere i vettori di stati quantistici esplicitamente come vettori colonna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

A seconda del contesto in cui compare, una di queste varianti può essere preferita, ma sono tutte equivalenti nel senso che descrivono lo stesso vettore.

Prodotti tensoriali dei vettori di stato quantistici

Analogamente a quanto avviene per i vettori di probabilità, i prodotti tensoriali dei vettori di stati quantistici sono anch'essi vettori di stati quantistici - e anche in questo caso rappresentano l' indipendenza tra i sistemi.

Più in dettaglio, e partendo dal caso di due sistemi, supponiamo che $\vert \phi \rangle$ sia un vettore di stato quantistico di un sistema $\mathsf{X}$ e che $\vert \psi \rangle$ sia un vettore di stato quantistico di un sistema $\mathsf{Y}$. Il prodotto tensoriale $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$, che può essere scritto in alternativa come $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ o come $\vert \phi \otimes \psi \rangle$, è quindi un vettore di stato quantistico del sistema congiunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Anche in questo caso definiamo uno stato di questa forma come uno stato prodotto.

Intuitivamente, quando una coppia di sistemi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ si trova in uno stato di prodotto $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$, possiamo interpretare ciò nel senso che $\mathsf{X}$ si trova nello stato quantistico $\vert \phi \rangle$, $\mathsf{Y}$ si trova nello stato quantistico $\vert \psi \rangle$ e gli stati dei due sistemi non hanno nulla a che fare l’uno con l’altro.

Il fatto che il vettore prodotto del tensore $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ sia effettivamente un vettore di stato quantistico è coerente con il fatto che la norma euclidea è moltiplicativa rispetto ai prodotti tensoriali:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Poiché $\vert \phi \rangle$ e $\vert \psi \rangle$ sono vettori di stato quantistico, si ha che $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ e $\|\vert \psi \rangle\| = 1$, e quindi $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1$; ne consegue che anche $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ è un vettore di stato quantistico.

Questo concetto si estende a più di due sistemi. Se $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ sono vettori di stato quantistico dei sistemi $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$, allora $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ è un vettore di stato quantistico che rappresenta uno stato prodotto del sistema combinato $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$. Ancora una volta, sappiamo che si tratta di un vettore di stato quantistico perché

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Stati intrecciati

Non tutti i vettori di stati quantistici di sistemi multipli sono stati prodotto. Ad esempio, il vettore di stato quantistico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

di due qubit non è uno stato prodotto. Per ragionare su questo, possiamo seguire esattamente lo stesso ragionamento che abbiamo usato nella sezione precedente per uno stato probabilistico. Cioè, se $(1)$ fosse uno stato prodotto, esisterebbero vettori di stati quantistici $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle$ per i quali

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Ma allora sarebbe necessariamente il caso che

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

che implica che $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ o $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (o entrambi). Questo contraddice il fatto che

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

e

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

sono entrambi non nulli. Quindi, il vettore di stato quantistico $(1)$ rappresenta una correlazione tra due sistemi, e in particolare diciamo che i sistemi sono entangled.

Si noti che il valore specifico $1/\sqrt{2}$ non è importante per questo argomento: tutto ciò che è importante è che questo valore sia non nullo. Così, ad esempio, lo stato quantistico

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

non è uno stato prodotto, per lo stesso motivo.

L'entanglement è una caratteristica fondamentale dell'informazione quantistica, che verrà discussa in dettaglio in una lezione successiva. L'entanglement può essere complicato, in particolare per i tipi di stati quantistici rumorosi che possono essere descritti da matrici di densità (di cui si parla nel corso General formulation of quantum information, che è il terzo corso della serie Understanding Quantum Information and Computation ). Per i vettori di stati quantistici, tuttavia, l'entanglement è equivalente alla correlazione: qualsiasi vettore di stati quantistici che non sia uno stato prodotto rappresenta uno stato entangled.

Al contrario, il vettore di stato quantistico

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

è un esempio di stato del prodotto.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Pertanto, questo stato non è entangled.

Bell afferma

Vediamo ora alcuni importanti esempi di stati quantistici a qubit multipli, a partire dagli stati di Bell. Si tratta dei seguenti quattro stati a due qubit:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Gli stati di Bell sono così chiamati in onore di John BellJohn Stewart Bell (1928-1990) è stato un fisico che ha dato importanti contributi ai fondamenti della teoria quantistica. Si noti che lo stesso argomento che stabilisce che $\vert\phi^+\rangle$ non è uno stato prodotto rivela che anche nessuno degli altri stati di Bell è uno stato prodotto: tutti e quattro gli stati di Bell rappresentano l'entanglement tra due qubit.

La raccolta di tutti e quattro gli stati di Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

è nota come base di Bell. Come dice il nome, si tratta di una base; qualsiasi vettore di stati quantistici di due qubit, o qualsiasi vettore complesso che abbia voci corrispondenti ai quattro stati classici di due bit, può essere espresso come una combinazione lineare dei quattro stati di Bell. Ad esempio:

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Stati GHZ e W

Considereremo poi due interessanti esempi di stati di tre qubit. Il primo esempio è lo stato GHZ (così chiamato in onore di Daniel Greenberger, Michael Horne e Anton Zeilinger, che per primi ne studiarono alcune proprietà):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Il secondo esempio è il cosiddetto stato W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Nessuno di questi stati è un prodotto di stati, il che significa che non possono essere scritti come un prodotto tensoriale di vettori di stati quantistici a tre qubit. Esamineremo entrambi questi stati più avanti, quando parleremo delle misure parziali di stati quantistici di sistemi multipli.

Ulteriori esempi

Gli esempi di stati quantistici di sistemi multipli che abbiamo visto finora sono stati di due o tre qubit, ma possiamo anche considerare stati quantistici di sistemi multipli che hanno diversi insiemi di stati classici.

Ad esempio, ecco uno stato quantistico di tre sistemi: $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$, dove l'insieme degli stati classici di $\mathsf{X}$ è l'alfabeto binario (quindi $\mathsf{X}$ è un qubit) e l'insieme degli stati classici di $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$ è $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ :

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Ecco un esempio di stato quantistico di tre sistemi, $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$, che condividono tutti lo stesso insieme di stati classici $\{0,1,2\}$ :

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

I sistemi con l'insieme di stati classico $\{0,1,2\}$ vengono spesso chiamati trit o (ammesso che possano trovarsi in uno stato quantistico) qutrit. Il termine "qudit" indica un sistema avente l'insieme degli stati classici $\{0,\ldots,d-1\}$ per una scelta arbitraria di $d$.

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Misurazioni degli stati quantistici

Nella lezione precedente sono state trattate le misurazioni in base standard degli stati quantistici dei sistemi singoli: se un sistema con insieme di stati classici $\Sigma$ si trova in uno stato quantistico rappresentato dal vettore $\vert \psi \rangle$ e tale sistema viene misurato (rispetto a una misurazione in base standard), allora ciascuno stato classico $a\in\Sigma$ appare con probabilità $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2$. Questo ci indica cosa accade quando abbiamo uno stato quantistico di più sistemi e scegliamo di misurare l’intero sistema composto, il che equivale a misurare tutti i sistemi.

Per precisare meglio, supponiamo che $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ siano sistemi aventi, rispettivamente, insiemi di stati classici $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$. Possiamo quindi considerare $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ nel loro insieme come un unico sistema il cui insieme degli stati classici è il prodotto cartesiano $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$. Se uno stato quantistico di questo sistema è rappresentato dal vettore di stato quantistico $\vert\psi\rangle$ e tutti i sistemi vengono misurati, allora ogni possibile risultato $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ si verifica con probabilità $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2$.

Ad esempio, se i sistemi $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ si trovano congiuntamente nello stato quantistico

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

quindi, misurando entrambi i sistemi con misurazioni di base standard, si ottiene il risultato $(0,\heartsuit)$ con probabilità $9/25$ e il risultato $(1,\spadesuit)$ con probabilità $16/25$.

Misurazioni parziali

Consideriamo ora il caso in cui abbiamo più sistemi in un certo stato quantistico e misuriamo un sottoinsieme proprio di tali sistemi. Come in precedenza, inizieremo con due sistemi $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ aventi, rispettivamente, insiemi di stati classici $\Sigma$ e $\Gamma$.

In generale, un vettore di stati quantistici di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ assume la forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

dove $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ è un insieme di numeri complessi che soddisfano

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

che equivale a dire che $\vert \psi \rangle$ è un vettore unitario.

Sappiamo già, dalla discussione precedente, che se si misurano sia $\mathsf{X}$ che $\mathsf{Y}$, allora ogni possibile risultato $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ appare con probabilità

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Se invece supponiamo che venga misurato solo il primo sistema $\mathsf{X}$, la probabilità che compaia ogni esito $a\in\Sigma$ deve quindi essere pari a

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Questo è coerente con quanto già visto in ambito probabilistico e con la nostra attuale comprensione della fisica: la probabilità che ogni risultato appaia quando viene misurato $\mathsf{X}$ non può dipendere dal fatto che sia stato misurato anche $\mathsf{Y}$, perché ciò consentirebbe una comunicazione più veloce della luce.

Avendo ottenuto un risultato specifico $a\in\Sigma$ da una misurazione su base standard di $\mathsf{X}$, ci aspettiamo naturalmente che lo stato quantistico di $\mathsf{X}$ cambi in modo tale da essere uguale a $\vert a\rangle$, proprio come era avvenuto per i sistemi singoli. Ma cosa succede allo stato quantistico di un $\mathsf{Y}$ e?

Per rispondere a questa domanda, possiamo innanzitutto esprimere il vettore $\vert\psi\rangle$ come

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

Dove

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

per ogni $a\in\Sigma$. In questo caso seguiamo la stessa metodologia utilizzata nel caso probabilistico, ovvero quella di isolare gli stati della base standard del sistema oggetto di misura. La probabilità che la misurazione in base standard dell’ $\mathsf{X}$ e dia luogo a ciascuno dei risultati $a$ è la seguente:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

E, poiché la misurazione in base standard di $\mathsf{X}$ dà come risultato $a$, lo stato quantistico della coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa complessivamente

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Cioè, lo stato “collassa” come nel caso del sistema singolo, ma solo nella misura necessaria affinché lo stato sia coerente con la misurazion $\mathsf{X}$ e che ha prodotto il risultato $a$.

In termini informali, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ rappresenta la componente di $\vert \psi\rangle$ che è coerente con una misurazione di $\mathsf{X}$, la cui misura dà come risultato $a$. Normalizziamo quindi questo vettore — dividendolo per la sua norma euclidea, che è pari a $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — per ottenere un vettore di stato quantistico valido avente norma euclidea pari a $1$. Questa fase di normalizzazione è analoga a quanto abbiamo fatto nel contesto probabilistico quando abbiamo diviso i vettori per la somma dei loro elementi per ottenere un vettore di probabilità.

A titolo di esempio, si consideri lo stato di due qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dall'inizio della sezione:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Per capire cosa succede quando viene misurato il primo sistema $\mathsf{X}$, iniziamo scrivendo

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

In base alla descrizione precedente, vediamo che la probabilità che la misurazione dia come risultato $0$ è

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

e la probabilità che la misurazione dia come risultato $1$ è

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

La stessa tecnica, utilizzata in modo simmetrico, descrive cosa accade se si misura il secondo sistema $\mathsf{Y}$ anziché il primo. Questa volta riscriviamo il vettore $\vert \psi \rangle$ come

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

La probabilità che la misurazione di $\mathsf{Y}$ dia il risultato $0$ è

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

e la probabilità che il risultato della misurazione sia $1$ è

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Osservazione sugli stati quantistici ridotti

L'esempio precedente mostra una limitazione della descrizione semplificata dell'informazione quantistica, che non ci offre un modo per descrivere lo stato quantistico ridotto (o marginale) di uno solo dei due sistemi (o di un adeguato sottoinsieme di un numero qualsiasi di sistemi) come nel caso probabilistico.

In particolare, per uno stato probabilistico di due sistemi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descritto da un vettore di probabilità

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

possiamo scrivere lo stato probabilistico ridotto o marginale di $\mathsf{X}$ da solo come

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Per i vettori di stato quantistici non esiste un modo analogo. In particolare, per un vettore di stato quantistico

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

il vettore

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

non è un vettore di stato quantistico in generale e non rappresenta correttamente il concetto di stato ridotto o marginale.

Si può invece ricorrere alla nozione di matrice di densità, discussa nel corso di Formulazione generale dell'informazione quantistica. Le matrici di densità ci forniscono un modo significativo per definire gli stati quantistici ridotti, analogo all'impostazione probabilistica.

Misurazioni parziali per tre o più sistemi

Le misurazioni parziali per tre o più sistemi, in cui viene misurato un sottoinsieme corretto dei sistemi, possono essere ridotte al caso di due sistemi dividendo i sistemi in due collezioni, quelli che vengono misurati e quelli che non vengono misurati. Ecco un esempio specifico che illustra come si può fare. Dimostra, in particolare, come possa essere utile la sottoscrizione dei ket con i nomi dei sistemi che rappresentano, in questo caso perché ci fornisce un modo semplice per descrivere le permutazioni dei sistemi.

In questo esempio, prenderemo in esame uno stato quantistico costituito da un quintetto di sistemi $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0)$, in cui tutti e cinque i sistemi condividono lo stesso insieme di stati classici $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ :

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Considereremo la situazione in cui il primo e il terzo sistema vengono misurati e i restanti sistemi vengono lasciati in pace.

Dal punto di vista concettuale, non c'è alcuna differenza fondamentale tra questa situazione e quella in cui si misura uno dei due sistemi. Purtroppo, poiché i sistemi misurati sono intervallati da sistemi non misurati, ci troviamo di fronte a un ostacolo nella scrittura delle espressioni necessarie per eseguire questi calcoli.

Un modo per procedere, come suggerito in precedenza, è quello di assegnare un pedice ai ket per indicare a quali sistemi si riferiscono. In questo modo è possibile tenere traccia dei sistemi man mano che si modifica l'ordine dei ket, semplificando la matematica.

In primo luogo, il vettore di stato quantistico di cui sopra può essere scritto alternativamente come

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Non è cambiato nulla, tranne che ogni ket ora presenta un pedice che indica a quale sistema corrisponde. In questo caso abbiamo utilizzato gli indici $0,\ldots,4$, ma si potrebbero usare anche i nomi dei sistemi stessi (ad esempio, nel caso in cui avessimo nomi di sistemi come $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$ ).

Possiamo ora riordinare i ket e raccogliere i termini come segue:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

I prodotti tensoriali sono ancora impliciti, anche quando si usano le parentesi, come in questo esempio.

Per chiarire la questione della permutazione dei ket, va precisato che i prodotti tensoriali non sono commutativi: se $\vert \phi\rangle$ e $\vert \pi \rangle$ sono vettori, allora, in generale, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ è diverso da $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle$, e lo stesso vale per i prodotti tensoriali di tre o più vettori. Ad esempio, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ è un vettore diverso da $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ . Il riordino dei ket che abbiamo appena effettuato non deve essere interpretato come un'indicazione del contrario.

Piuttosto, ai fini dei calcoli, stiamo semplicemente decidendo che è più pratico raggruppare i sistemi come $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ anziché come $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$. Gli indici sui ket servono a mantenere l’ordine, e siamo liberi di tornare all’ordinamento originale in un secondo momento, se lo desideriamo.

Vediamo ora che, se si misurano i sistemi $\mathsf{X}_4$ e $\mathsf{X}_2$, le probabilità (non nulle) dei diversi risultati sono le seguenti:

• Il risultato della misurazione $(\heartsuit,\diamondsuit)$ si verifica con probabilità

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Il risultato della misurazione $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ si verifica con probabilità

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Il risultato della misurazione $(\spadesuit,\clubsuit)$ si verifica con probabilità

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Se, ad esempio, il risultato della misur $(\heartsuit,\diamondsuit)$ e, lo stato risultante dei nostri cinque sistemi diventa

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Qui, per la risposta finale, siamo tornati al nostro ordine originale dei sistemi, solo per illustrare che possiamo farlo. Per gli altri possibili risultati della misurazione, lo stato può essere determinato in modo analogo.

Infine, ecco due esempi promessi in precedenza, a partire dallo stato GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Se si misura solo il primo sistema, si ottiene il risultato $0$ con probabilità $1/2$; in tal caso, lo stato dei tre qubit diventa $\vert 000\rangle$; si ottiene inoltre il risultato $1$ con probabilità $1/2$; in tal caso, lo stato dei tre qubit diventa $\vert 111\rangle$.

Per uno stato W, invece, assumendo di nuovo che venga misurato solo il primo sistema, iniziamo a scrivere questo stato in questo modo:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

La probabilità che una misura del primo qubit dia come risultato 0 è quindi pari a

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

e condizionato alla misura che produce questo risultato, lo stato quantistico dei tre qubit diventa

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

La probabilità che il risultato della misurazione sia 1 è pari a $1/3$; in tal caso, lo stato dei tre qubit diventa $\vert 100\rangle$.

Lo stato W è simmetrico, nel senso che non cambia se permutiamo i qubit. Otteniamo quindi una descrizione simile per la misura del secondo o terzo qubit piuttosto che del primo.

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Operazioni unitarie

In linea di principio, qualsiasi matrice unitaria le cui righe e colonne corrispondono agli stati classici di un sistema rappresenta un'operazione quantistica valida su quel sistema. Questo, ovviamente, rimane vero per i sistemi composti, i cui insiemi di stati classici sono il prodotto cartesiano degli insiemi di stati classici dei singoli sistemi.

Concentrandoci su due sistemi, se $\mathsf{X}$ è un sistema con insieme di stati classici $\Sigma$ e $\mathsf{Y}$ è un sistema con insieme di stati classici $\Gamma$, allora l’insieme di stati classici del sistema congiunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è $\Sigma\times\Gamma$. Pertanto, le operazioni quantistiche su questo sistema congiunto sono rappresentate da matrici unitarie le cui righe e colonne sono in corrispondenza con l’insieme $\Sigma\times\Gamma$. L’ordinamento delle righe e delle colonne di queste matrici è lo stesso utilizzato per i vettori di stato quantistico del sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Ad esempio, supponiamo che $\Sigma = \{1,2,3\}$ e $\Gamma = \{0,1\}$, e ricordiamo che la convenzione standard per ordinare gli elementi del prodotto cartesiano $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ è la seguente:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Ecco un esempio di matrice unitaria che rappresenta un'operazione su un $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ e:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Questa matrice unitaria non ha nulla di speciale, è solo un esempio. Per verificare che $U$ sia unitaria, è sufficiente calcolare e verificare che $U^{\dagger} U = \mathbb{I}$, ad esempio. In alternativa, possiamo verificare che le righe (o le colonne) siano ortonormali, operazione che in questo caso risulta semplificata data la particolare forma della matrice $U$.

L'azione di $U$ sul vettore base standard $\vert 1, 1 \rangle$, ad esempio, è

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

come si può notare esaminando la seconda colonna di $U$, tenendo conto dell’ordinamento che abbiamo assegnato all’insieme $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$.

Come per qualsiasi matrice, è possibile esprimere l’ $U$ e utilizzando la notazione di Dirac, il che richiederebbe 20 termini per i 20 elementi diversi da zero dell’ $U$ e. Se dovessimo scrivere tutti questi termini, tuttavia, anziché utilizzare una matrice di tipo $6\times 6$, il risultato sarebbe disordinato e gli schemi evidenti dall’espressione matriciale probabilmente non risulterebbero altrettanto chiari. In parole povere, la notazione di Dirac non è sempre la scelta migliore.

Le operazioni unitarie su tre o più sistemi funzionano in modo simile, con le matrici unitarie che hanno righe e colonne corrispondenti al prodotto cartesiano degli insiemi di stati classici dei sistemi. Ne abbiamo già visto un esempio in questa lezione: l'operazione a tre qubit

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

dove i numeri in bras e ket indicano le loro codifiche binarie $3$. Oltre a essere un'operazione deterministica, è anche un'operazione unitaria. Le operazioni che sono sia deterministiche che unitarie sono chiamate operazioni reversibili. La trasposizione coniugata di questa matrice può essere scritta in questo modo:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Questo rappresenta l' inverso, o in termini matematici l' inverso, dell'operazione originale, che è ciò che ci aspettiamo dalla trasposizione coniugata di una matrice unitaria. Vedremo altri esempi di operazioni unitarie su sistemi multipli nel corso della lezione.

Operazioni unitarie eseguite in modo indipendente su singoli sistemi

Quando le operazioni unitarie vengono eseguite in modo indipendente su un insieme di sistemi individuali, l'azione combinata di queste operazioni indipendenti è descritta dal prodotto tensoriale delle matrici unitarie che le rappresentano. Vale a dire che, se $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sono sistemi quantistici, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ sono matrici unitarie che rappresentano operazioni su tali sistemi e le operazioni vengono eseguite indipendentemente sui sistemi, l’azione combinata su $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ è rappresentata dalla matrice $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$. Ancora una volta, constatiamo che i contesti probabilistico e quantistico sono analoghi sotto questo aspetto.

Dalla lettura del paragrafo precedente ci si aspetterebbe naturalmente che il prodotto tensoriale di un insieme di matrici unitarie sia unitario. Questo è vero e possiamo verificarlo come segue.

Notiamo innanzitutto che l'operazione di trasposizione coniugata soddisfa

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

per qualsiasi matrice $M_0,\ldots,M_{n-1}$ scelta. Ciò può essere verificato tornando alla definizione del prodotto tensoriale e della trasposta coniugata, e controllando che ogni elemento delle due parti dell'equazione coincida. Ciò significa che

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Poiché il prodotto tensoriale di matrici è moltiplicativo, troviamo che

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Qui abbiamo indicato con $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ le matrici che rappresentano l’operazione di identità sui sistemi $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$; in altre parole, si tratta di matrici identitarie le cui dimensioni coincidono con il numero di stati classici di $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$.

Infine, il prodotto tensoriale $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ è uguale alla matrice identità, il cui numero di righe e colonne coincide con il prodotto del numero di righe e colonne delle matrici $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$. Questa matrice identità più grande rappresenta l’operazione identità sul sistema congiunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$.

In sintesi, abbiamo la seguente sequenza di uguaglianze:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Concludiamo quindi che $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ è unitario.

Una situazione importante che si verifica spesso è quella in cui un’operazione unitaria viene applicata a un solo sistema — o a un sottoinsieme proprio di sistemi — all’interno di un sistema congiunto più ampio. Ad esempio, supponiamo che $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ siano sistemi che possiamo considerare insieme come un unico sistema composto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, e che si esegua un’operazione solo sul sistema $\mathsf{X}$. Per essere precisi, supponiamo che $U$ sia una matrice unitaria che rappresenta un’operazione su $\mathsf{X}$, in modo tale che le sue righe e colonne siano state messe in corrispondenza con gli stati classici di $\mathsf{X}$.

Dire che eseguiamo l'operazione rappresentata da $U$ solo sul sistema $\mathsf{X}$ implica che non facciamo nulla su $\mathsf{Y}$, il che significa che eseguiamo indipendentemente $U$ su $\mathsf{X}$ e l' operazione di identità su $\mathsf{Y}$. Cioè, "non fare nulla" su $\mathsf{Y}$ equivale a eseguire l'operazione di identità su $\mathsf{Y}$, che è rappresentata dalla matrice identità $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$. (A questo proposito, l’indice $\mathsf{Y}$ ci indica che $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ si riferisce alla matrice identità avente un numero di righe e colonne corrispondente all’insieme degli stati classici di $\mathsf{Y}$.) L’operazione su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ che si ottiene quando si esegue $U$ su $\mathsf{X}$ e non si interviene su $\mathsf{Y}$ è quindi rappresentata dalla matrice unitaria

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Per esempio, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sono qubit, eseguire un'operazione di Hadamard su $\mathsf{X}$ e non fare nulla a $\mathsf{Y}$ equivale a eseguire l'operazione

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

sul sistema di giunti $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Allo stesso modo, se un’operazione rappresentata dalla matrice unitaria $U$ viene applicata a $\mathsf{Y}$ e non viene effettuata alcuna operazione su $\mathsf{X}$, l’operazione risultante su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è rappresentata dalla matrice unitaria

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Ad esempio, se consideriamo nuovamente la situazione in cui sia $\mathsf{X}$ che $\mathsf{Y}$ sono qubit e $U$ è un'operazione di Hadamard, l'operazione risultante su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è rappresentata dalla matrice

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Non tutte le operazioni unitarie su un insieme di sistemi possono essere scritte come un prodotto tensoriale di operazioni unitarie come questa, così come non tutti i vettori di stati quantistici di questi sistemi sono stati prodotti. Ad esempio, né l'operazione di swap né l'operazione controlled-NOT su due qubit, descritte di seguito, possono essere espresse come un prodotto tensoriale di operazioni unitarie.

L'operazione di swap

Per concludere la lezione, esaminiamo due classi di esempi di operazioni unitarie su sistemi multipli, a partire dall' operazione di swap.

Supponiamo che $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ siano sistemi che condividono lo stesso insieme di stati classici $\Sigma$ . L'operazione di scambio sulla coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ consiste nello scambiare il contenuto dei due sistemi, lasciando per il resto i sistemi inalterati — in modo che $\mathsf{X}$ rimanga a sinistra e $\mathsf{Y}$ rimanga a destra. Indicheremo questa operazione con $\operatorname{SWAP}$; essa agisce in questo modo per ogni scelta di stati classici $a,b\in\Sigma$ :

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Un modo per scrivere la matrice associata a questa operazione utilizzando la notazione di Dirac è il seguente:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Potrebbe non risultare immediatamente chiaro che questa matrice rappresenti un’ $\operatorname{SWAP}$ e, ma possiamo verificare che soddisfi la condizione $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ per ogni scelta di stati classici $a,b\in\Sigma$. Come semplice esempio, quando $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sono qubit, si ottiene che

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operazioni controllate unitarie

Supponiamo ora che $\mathsf{Q}$ sia un qubit e che $\mathsf{R}$ sia un sistema arbitrario, in qualsiasi stato classico desideriamo. Per ogni operazione unitaria $U$ che agisce sul sistema $\mathsf{R}$, un'operazione controllata $U$ è un'operazione unitaria sulla coppia $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ definita come segue:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Ad esempio, se $\mathsf{R}$ è anch’esso un qubit e si considera l’operazione di Pauli $X$ su $\mathrm{R}$, allora un’operazione di controllo- $X$ è data da

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Abbiamo già incontrato questa operazione nel contesto delle operazioni informative e probabilistiche classiche nella lezione precedente. Sostituendo l'operazione Pauli $X$ su $\mathsf{R}$ con un'operazione $Z$ si ottiene questa operazione:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Se invece consideriamo $\mathsf{R}$ come due qubit, e prendiamo $U$ come l' operazione di swap tra questi due qubit, otteniamo questa operazione:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Questa operazione è nota anche come operazione Fredkin o, più comunemente, porta Fredkin La sua azione sugli stati base standard può essere descritta come segue:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Infine, un’ operazione controllata-controllata-NOT, che possiamo indicare con la notazione $CCX$, è detta operazione di Toffoli o porta di Toffoli. La sua rappresentazione matriciale è la seguente:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

In alternativa, possiamo esprimerla utilizzando la notazione di Dirac come segue:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$