Algoritmos variacionales

Este curso cubre los aspectos específicos de los algoritmos variacionales y los algoritmos híbridos cuántico-clásicos a corto plazo basados en el teorema variacional de la mecánica cuántica. Estos algoritmos pueden aprovechar la utilidad que ofrecen los actuales ordenadores cuánticos no tolerantes a fallos, lo que los convierte en candidatos ideales para lograr Demostración práctica de la capacidad de un ordenador cuántico para resolver determinados problemas de cálculo más rápidamente que los ordenadores clásicos..

A lo largo de este curso, exploraremos:

Cada paso en el flujo de trabajo del diseño del algoritmo variacional
Compromisos asociados a cada paso
Cómo utilizar las primitivas de « IBM Quantum » para optimizar la velocidad y la precisión

Aunque este curso pretende ser un punto de partida para que investigadores y desarrolladores exploren la utilidad de los ordenadores cuánticos, no dude en explorar los conocimientos teóricos y fundamentales en torno a la informática cuántica en general en los Fundamentos de la información y la computación cuánticas (también disponible en una serie de vídeos en YouTube ).

Flujo de trabajo híbrido simplificado

Flujo de un algoritmo variacional que muestra los pasos: inicializar el problema, preparar el ansatz, evaluar la función de coste, optimizar los parámetros.

Los algoritmos variacionales incluyen varios componentes modulares que pueden combinarse y optimizarse en función de los avances en algoritmos, software y hardware. Esto incluye una función de coste que describe un problema específico con un conjunto de parámetros, un ansatz para expresar el espacio de búsqueda con estos parámetros y un optimizador para explorar iterativamente el espacio de búsqueda. Durante cada iteración, el optimizador evalúa la Función matemática utilizada para medir la diferencia entre el resultado previsto de un modelo o algoritmo y el resultado real, con el objetivo de minimizar esta diferencia mediante la optimización. con los parámetros actuales y selecciona los parámetros de la iteración siguiente hasta que Alcanzar una solución estable y óptima, en la que nuevas iteraciones o modificaciones del algoritmo ya no produzcan mejoras o cambios significativos en la solución. en una solución óptima. La naturaleza híbrida de esta familia de algoritmos proviene del hecho de que las funciones de coste se evalúan utilizando recursos cuánticos y se optimizan mediante recursos clásicos.

Problema de inicialización : Los algoritmos variacionales comienzan inicializando el ordenador cuántico en un estado por defecto $|0\rangle$ , transformándolo después a algún estado deseado (no parametrizado) $|\rho\rangle$ , que llamaremos estado de referencia.

Esta transformación se representa mediante la aplicación de un operador de referencia unitario $U_R$ sobre el estado por defecto, tal que $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$ .
Preparar ansatz : Para empezar a optimizar iterativamente desde el estado por defecto $|0\rangle$ al estado objetivo $|\psi(\vec\theta)\rangle$ , debemos definir una forma variacional $U_V(\vec\theta)$ para representar una colección de estados parametrizados para que nuestro algoritmo variacional los explore.

Nos referimos a cualquier combinación particular de estado de referencia y forma variacional como un ansatz, tal que así: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$ . En última instancia, los ansatze adoptarán la forma de circuitos cuánticos parametrizados capaces de llevar el estado por defecto $|0\rangle$ al estado objetivo $|\psi(\vec\theta)\rangle$ .

En total tendremos:

\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}

Evaluar la función de coste : Podemos expresar nuestro problema mediante una función de coste $C(\vec\theta)$ como una combinación lineal de operadores de Pauli, aplicada a un sistema cuántico. Aunque puede tratarse de información sobre un sistema físico, como la energía o el espín, también podemos codificar problemas no físicos. Podemos aprovechar las primitivas de « IBM Quantum » para hacer frente al ruido mediante la supresión y la mitigación de errores, al tiempo que evaluamos nuestra función de coste.
Optimizar parámetros : Las evaluaciones se llevan a un ordenador clásico, donde un optimizador clásico las analiza y elige el siguiente conjunto de valores para los parámetros variacionales. Si tenemos una solución óptima preexistente, podemos establecerla como punto inicial $\vec\theta_0$ para arrancar nuestra optimización. El uso de este estado inicial $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ podría ayudar a nuestro optimizador a encontrar una solución válida más rápidamente.
Se ajustan los parámetros del ansatz con los resultados y se vuelve a ejecutar : Todo el proceso se repite hasta que se cumplen los criterios de finalización del optimizador clásico y se obtiene un conjunto óptimo de valores de los parámetros $\vec\theta^*$ . El estado de solución propuesto para nuestro problema será entonces $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$ .

Teorema variacional

Un objetivo común de los algoritmos variacionales es encontrar el estado cuántico con el valor propio más bajo o más alto de un determinado observable. Una idea clave que utilizaremos es el teorema variacional de la mecánica cuántica. Antes de entrar en su enunciado completo, exploremos algunas de las intuiciones matemáticas que lo sustentan.

Intuición matemática para la energía y los estados fundamentales

En mecánica cuántica, la energía adopta la forma de un observable cuántico denominado habitualmente Hamiltoniano, que denotaremos por $\hat{\mathcal{H}}$ . Consideremos su Proceso de expresar una matriz como suma de valores y vectores propios, lo que permite analizar y manipular sus propiedades y comportamiento. :

\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|

donde $N$ es la dimensionalidad del espacio de estados, $\lambda_{k}$ es el $k$ -ésimo eigenvalor o, físicamente, el $k$ -ésimo nivel de energía, y $|\phi_k\rangle$ es el correspondiente Estado de un sistema físico en el que una magnitud como la energía o el momento tiene un valor fijo. : $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$ , la energía esperada de un sistema en el estado (normalizado) $|\psi\rangle$ será:

\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}

Si tenemos en cuenta que $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$ , tenemos:

\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}

Como $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ es una base ortonormal, la probabilidad de medir $|\phi_{k} \rangle$ es $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$ , y la suma de todas las probabilidades es tal que $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$ . En resumen, la energía esperada de cualquier sistema es superior a la energía más baja o energía del estado fundamental:

\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.

El argumento anterior se aplica a cualquier estado cuántico válido (normalizado) $|\psi\rangle$ , por lo que es perfectamente posible considerar estados parametrizados $|\psi(\vec\theta)\rangle$ que dependan de un vector de parámetros $\vec\theta$ . Aquí es donde entra en juego la parte "variacional". Si consideramos una función de coste dada por $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ y queremos minimizarla, el mínimo siempre se satisfará:

\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.

El valor mínimo de $C(\vec\theta)$ será el más cercano posible a $\lambda_0$ utilizando los estados parametrizados $|\psi(\vec\theta)\rangle$ , y solo se alcanzará la igualdad si existe un vector de parámetros $\vec\theta^*$ tal que $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle$ .

Teorema variacional de la mecánica cuántica

Si el estado (normalizado) $|\psi\rangle$ de un sistema cuántico depende de un vector de parámetros $\vec\theta$ , entonces la aproximación óptima del estado fundamental (es decir, el estado propio $|\phi_0\rangle$ con el valor propio mínimo $\lambda_0$ ) es la que minimiza el Valor medio de una medición de un sistema cuántico en un estado determinado, ponderado por la probabilidad del resultado del estado. del Hamiltoniano $\hat{\mathcal{H}}$ :

\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0

La razón por la que el teorema variacional se enuncia en términos de mínimos de energía es que incluye una serie de supuestos matemáticos:

Por razones físicas, es necesario que exista un límite inferior finito para la energía $E \geq \lambda_0 > -\infty$ , incluso para $N\rightarrow\infty$ .
Por lo general, no existen límites superiores.

Sin embargo, matemáticamente hablando, no hay nada especial en el hamiltoniano $\hat{\mathcal{H}}$ más allá de estos supuestos, por lo que el teorema puede generalizarse a otros observables cuánticos y sus estados propios siempre que sigan las mismas restricciones. También hay que tener en cuenta que si existen límites superiores finitos, se podrían utilizar los mismos argumentos matemáticos para maximizar los valores propios cambiando los límites inferiores por los superiores.

Resumen

Con esta lección, has aprendido la visión de alto nivel de los algoritmos variacionales. A lo largo de las siguientes lecciones, exploraremos cada paso con mayor detalle, así como sus ventajas y desventajas asociadas.

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