Información cuántica

Ahora estamos preparados para pasar a la información cuántica en el entorno de sistemas múltiples. Al igual que en la lección anterior sobre sistemas individuales, la descripción matemática de la información cuántica para sistemas múltiples es bastante similar al caso probabilístico y hace uso de conceptos y técnicas similares.

---

Estados cuánticos

Los sistemas múltiples pueden considerarse colectivamente como sistemas compuestos únicos. Ya lo hemos observado en el entorno probabilístico, y el entorno cuántico es análogo. Por lo tanto, los estados cuánticos de sistemas múltiples se representan mediante vectores columna con entradas de números complejos y norma euclidiana igual a $1,$ al igual que los estados cuánticos de sistemas individuales. En el caso de sistemas múltiples, las entradas de estos vectores se colocan en correspondencia con el producto cartesiano de los conjuntos de estados clásicos asociados a cada uno de los sistemas individuales, porque ése es el conjunto de estados clásicos del sistema compuesto.

Por ejemplo, si $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son qubits, entonces el conjunto de estados clásicos del par de qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ vistos colectivamente como un único sistema, es el producto cartesiano $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Al representar pares de valores binarios como cadenas binarias de longitud dos, asociamos este conjunto de producto cartesiano con el conjunto $\{00,01,10,11\}.$ Por lo tanto, los siguientes vectores son todos ejemplos de vectores de estado cuántico del par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Existen variaciones sobre cómo se expresan los vectores de estado cuántico de múltiples sistemas, y podemos elegir la variación que se adapte a nuestras preferencias. He aquí algunos ejemplos para el primer vector de estado cuántico anterior.

1. Podemos utilizar el hecho de que $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (para cualquier estado clásico $a$ y $b$ ) para escribir en su lugar

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Podemos optar por escribir el símbolo del producto tensorial explícitamente así:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Podemos poner subíndices a las kets para indicar cómo corresponden a los sistemas considerados, así:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Por supuesto, también podemos escribir los vectores de estado cuántico explícitamente como vectores columna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Según el contexto en el que aparezca, puede preferirse una de estas variantes, pero todas son equivalentes en el sentido de que describen el mismo vector.

Productos tensoriales de vectores de estado cuántico

De forma similar a lo que ocurre con los vectores de probabilidad, los productos tensoriales de los vectores de estado cuántico también son vectores de estado cuántico y, de nuevo, representan la independencia entre sistemas.

Con más detalle, y empezando por el caso de dos sistemas, supongamos que $\vert \phi \rangle$ es un vector de estado cuántico de un sistema $\mathsf{X}$ y $\vert \psi \rangle$ es un vector de estado cuántico de un sistema $\mathsf{Y}.$ El producto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ que puede escribirse alternativamente como $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ o como $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ es entonces un vector de estado cuántico del sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ De nuevo nos referimos a un estado de esta forma como un estado producto.

Intuitivamente hablando, cuando un par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está en un estado producto $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ podemos interpretarlo como que $\mathsf{X}$ está en el estado cuántico $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ está en el estado cuántico $\vert \psi \rangle,$ y los estados de los dos sistemas no tienen nada que ver entre sí.

El hecho de que el vector producto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ sea efectivamente un vector de estado cuántico es coherente con que la norma euclidiana sea multiplicativa con respecto a los productos tensoriales:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Dado que $\vert \phi \rangle$ y $\vert \psi \rangle$ son vectores de estado cuántico, tenemos $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ y $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ y por tanto $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ por lo que $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ también es un vector de estado cuántico.

Esto se generaliza a más de dos sistemas. Si $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ son vectores de estado cuántico de los sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ entonces $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ es un vector de estado cuántico que representa un estado producto del sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ De nuevo, sabemos que se trata de un vector de estado cuántico porque

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Estados entrelazados

No todos los vectores de estado cuántico de los sistemas múltiples son estados producto. Por ejemplo, el vector de estado cuántico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

de dos qubits no es un estado producto. Para razonar esto, podemos seguir exactamente el mismo argumento que utilizamos en la sección anterior para un estado probabilístico. Es decir, si $(1)$ fuera un estado producto, existirían vectores de estado cuántico $\vert\phi\rangle$ y $\vert\psi\rangle$ para los cuales

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Pero entonces se daría necesariamente el caso de que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

lo que implica que $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ o $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (o ambos). Eso contradice el hecho de que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

y

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

son ambos distintos de cero. Así, el vector de estado cuántico $(1)$ representa una correlación entre dos sistemas, y concretamente decimos que los sistemas están entrelazados.

Observe que el valor específico $1/\sqrt{2}$ no es importante para este argumento - todo lo que es importante es que este valor es distinto de cero. Así, por ejemplo, el estado cuántico

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

tampoco es un estado producto, por el mismo argumento.

El entrelazamiento es una característica esencial de la información cuántica que se tratará con más detalle en una lección posterior. El entrelazamiento puede ser complicado, sobre todo para los tipos de estados cuánticos ruidosos que pueden describirse mediante matrices de densidad (que se tratan en el curso Formulación general de la información cuántica, que es el tercero de la serie Entender la información y la computación cuánticas ). Sin embargo, para los vectores de estados cuánticos, el entrelazamiento es equivalente a la correlación: cualquier vector de estado cuántico que no sea un estado producto representa un estado entrelazado.

En cambio, el vector de estado cuántico

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

es un ejemplo de estado de un producto.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Por lo tanto, este estado no está enredado.

Bell afirma

A continuación veremos algunos ejemplos importantes de estados cuánticos de qubits múltiples, empezando por los estados de Bell. Se trata de los siguientes cuatro estados de dos qubits:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Los estados de Bell se llaman así en honor de John BellJohn Stewart Bell (1928-1990) fue un físico que realizó importantes contribuciones a los fundamentos de la teoría cuántica. Observe que el mismo argumento que establece que $\vert\phi^+\rangle$ no es un estado producto revela que ninguno de los otros estados de Bell son tampoco estados producto: los cuatro estados de Bell representan el entrelazamiento entre dos qubits.

La colección de los cuatro estados de Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

se conoce como la base de Bell. Fiel a su nombre, se trata de una base; cualquier vector de estado cuántico de dos qubits, o de hecho cualquier vector complejo que tenga entradas correspondientes a los cuatro estados clásicos de dos bits, puede expresarse como una combinación lineal de los cuatro estados de Bell. Por ejemplo:

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Estados GHZ y W

A continuación consideraremos dos interesantes ejemplos de estados de tres qubits. El primer ejemplo es el estado GHZ (llamado así en honor de Daniel Greenberger, Michael Horne y Anton Zeilinger, quienes estudiaron por primera vez algunas de sus propiedades):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

El segundo ejemplo es el llamado estado W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Ninguno de estos estados es un estado producto, lo que significa que no pueden escribirse como un producto tensorial de tres vectores de estado cuántico qubit. Examinaremos ambos estados más adelante, cuando hablemos de las mediciones parciales de estados cuánticos de sistemas múltiples.

Ejemplos adicionales

Los ejemplos de estados cuánticos de sistemas múltiples que hemos visto hasta ahora son estados de dos o tres qubits, pero también podemos considerar estados cuánticos de sistemas múltiples que tengan diferentes conjuntos de estados clásicos.

Por ejemplo, he aquí un estado cuántico de tres sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ y $\mathsf{Z},$ donde el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{X}$ es el alfabeto binario (por lo que $\mathsf{X}$ es un qubit) y el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{Y}$ y $\mathsf{Z}$ es $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Y he aquí un ejemplo de estado cuántico de tres sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ y $\mathsf{Z},$ que comparten el mismo conjunto de estados clásicos $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Los sistemas que tienen el conjunto de estados clásicos $\{0,1,2\}$ suelen denominarse trits o (suponiendo que puedan estar en un estado cuántico) qutrits. El término qudit se refiere a un sistema que tiene un conjunto de estados clásico $\{0,\ldots,d-1\}$ para una elección arbitraria de $d.$

---

Mediciones de estados cuánticos

Las mediciones de base estándar de estados cuánticos de sistemas individuales se discutieron en la lección anterior: si un sistema que tiene el conjunto de estados clásicos $\Sigma$ está en un estado cuántico representado por el vector $\vert \psi \rangle,$ y ese sistema se mide (con respecto a una medición de base estándar), entonces cada estado clásico $a\in\Sigma$ aparece con probabilidad $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Esto nos dice lo que ocurre cuando tenemos un estado cuántico de múltiples sistemas y elegimos medir todo el sistema compuesto, lo que equivale a medir todos los sistemas.

Para decirlo con precisión, supongamos que $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ son sistemas que tienen conjuntos de estados clásicos $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ respectivamente. Entonces podemos ver $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ colectivamente como un único sistema cuyo conjunto de estados clásicos es el producto cartesiano $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Si un estado cuántico de este sistema está representado por el vector de estado cuántico $\vert\psi\rangle,$ y se miden todos los sistemas, entonces cada resultado posible $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ aparece con probabilidad $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Por ejemplo, si los sistemas $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ se encuentran conjuntamente en el estado cuántico

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

entonces midiendo ambos sistemas con medidas de base estándar se obtiene el resultado $(0,\heartsuit)$ con probabilidad $9/25$ y el resultado $(1,\spadesuit)$ con probabilidad $16/25.$

Mediciones parciales

Consideremos ahora la situación en la que tenemos múltiples sistemas en algún estado cuántico, y medimos un subconjunto adecuado de los sistemas. Como antes, comenzaremos con dos sistemas $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ que tienen conjuntos de estados clásicos $\Sigma$ y $\Gamma,$ respectivamente.

En general, un vector de estado cuántico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adopta la forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

donde $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ es una colección de números complejos que satisfacen

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

lo que equivale a que $\vert \psi \rangle$ sea un vector unitario.

Ya sabemos, por la discusión anterior, que si se miden tanto $\mathsf{X}$ como $\mathsf{Y}$, entonces cada resultado posible $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ aparece con probabilidad

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Si en cambio suponemos que sólo se mide el primer sistema $\mathsf{X}$, la probabilidad de que aparezca cada resultado $a\in\Sigma$ debe ser, por tanto, igual a

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Esto es coherente con lo que ya vimos en el escenario probabilístico, así como con nuestra comprensión actual de la física: la probabilidad de que aparezca cada resultado cuando se mide $\mathsf{X}$ no puede depender de si también se midió $\mathsf{Y}$, ya que eso permitiría una comunicación más rápida que la luz.

Habiendo obtenido un resultado particular $a\in\Sigma$ de una medición de base estándar de $\mathsf{X},$ naturalmente esperamos que el estado cuántico de $\mathsf{X}$ cambie de modo que sea igual a $\vert a\rangle,$ tal y como teníamos para sistemas simples. Pero, ¿qué ocurre con el estado cuántico de $\mathsf{Y}$?

Para responder a esta pregunta, podemos expresar primero el vector $\vert\psi\rangle$ como

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

donde

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

para cada $a\in\Sigma.$ Aquí seguimos la misma metodología que en el caso probabilístico, de aislar los estados base estándar del sistema que se está midiendo. La probabilidad de que la medición de base estándar de $\mathsf{X}$ dé cada resultado $a$ es la siguiente:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Y, como resultado de la medición de base estándar de $\mathsf{X}$ que da el resultado $a,$ el estado cuántico del par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ juntos se convierte en

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Es decir, el estado "colapsa" como en el caso de un único sistema, pero sólo en la medida necesaria para que el estado sea coherente con la medición de $\mathsf{X}$ que ha producido el resultado $a.$

Informalmente hablando, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ representa el componente de $\vert \psi\rangle$ que es consistente con una medida de $\mathsf{X}$ que produce el resultado $a.$ A continuación, normalizamos este vector -dividiéndolo por su norma euclídea, que es igual a $\|\vert\phi_a\rangle\|$ - para obtener un vector de estado cuántico válido que tenga una norma euclídea igual a $1.$ Este paso de normalización es análogo a lo que hicimos en el entorno probabilístico cuando dividimos los vectores por la suma de sus entradas para obtener un vector de probabilidad.

Como ejemplo, consideremos el estado de dos qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ desde el principio de la sección:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Para entender lo que ocurre cuando se mide el primer sistema $\mathsf{X}$, empezamos escribiendo

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Ahora vemos, basándonos en la descripción anterior, que la probabilidad de que la medición dé lugar al resultado $0$ es

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ pasa a ser

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

y la probabilidad de que la medición produzca el resultado $1$ es

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ pasa a ser

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

La misma técnica, utilizada de forma simétrica, describe lo que ocurre si se mide el segundo sistema $\mathsf{Y}$ en lugar del primero. Esta vez reescribimos el vector $\vert \psi \rangle$ como

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

La probabilidad de que la medida de $\mathsf{Y}$ dé el resultado $0$ es

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ pasa a ser

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

y la probabilidad de que el resultado de la medición sea $1$ es

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ pasa a ser

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Observación sobre los estados cuánticos reducidos

El ejemplo anterior muestra una limitación de la descripción simplificada de la información cuántica, y es que no nos ofrece una forma de describir el estado cuántico reducido (o marginal) de sólo uno de dos sistemas (o de un subconjunto adecuado de cualquier número de sistemas) como en el caso probabilístico.

En concreto, para un estado probabilístico de dos sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descrito por un vector de probabilidad

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

podemos escribir el estado probabilístico reducido o marginal de $\mathsf{X}$ solo como

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Para los vectores de estado cuántico, no existe una forma análoga de hacerlo. En particular, para un vector de estado cuántico

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

el vector

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

no es un vector de estado cuántico en general, y no representa adecuadamente el concepto de estado reducido o marginal.

Lo que podemos hacer en su lugar es recurrir a la noción de matriz de densidad, que se trata en el curso Formulación general de la información cuántica. Las matrices de densidad nos proporcionan una forma significativa de definir los estados cuánticos reducidos que es análoga al entorno probabilístico.

Mediciones parciales para tres o más sistemas

Las mediciones parciales para tres o más sistemas, en las que se mide algún subconjunto adecuado de los sistemas, pueden reducirse al caso de dos sistemas dividiendo los sistemas en dos colecciones, las que se miden y las que no. He aquí un ejemplo concreto que ilustra cómo puede hacerse. Demuestra específicamente cómo puede ser útil subtitular los kets por los nombres de los sistemas que representan, en este caso porque nos proporciona una forma sencilla de describir permutaciones de los sistemas.

Para este ejemplo, consideraremos un estado cuántico de una 5-tupla de sistemas $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ donde los cinco de estos sistemas comparten el mismo conjunto de estados clásicos $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Consideraremos la situación en la que se miden el primer y el tercer sistema, y se dejan solos los sistemas restantes.

Conceptualmente hablando, no hay ninguna diferencia fundamental entre esta situación y otra en la que se mide uno de los dos sistemas. Desgraciadamente, como los sistemas medidos están entremezclados con los no medidos, nos enfrentamos a un obstáculo a la hora de escribir las expresiones necesarias para realizar estos cálculos.

Una forma de proceder, como se ha sugerido anteriormente, es subtitular las kets para indicar a qué sistemas se refieren. Esto nos permite seguir la pista de los sistemas a medida que permutamos el orden de los kets, lo que simplifica las matemáticas.

En primer lugar, el vector de estado cuántico anterior puede escribirse alternativamente como

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nada ha cambiado, salvo que ahora cada ket tiene un subíndice que indica a qué sistema corresponde. Aquí hemos utilizado los subíndices $0,\ldots,4,$, pero también podrían utilizarse los nombres de los propios sistemas (en una situación en la que tengamos nombres de sistemas como $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ y $\mathsf{Z},$, por ejemplo).

Ahora podemos reordenar los kets y recoger los términos de la siguiente manera:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Los productos tensoriales siguen siendo implícitos, incluso cuando se utilizan paréntesis, como en este ejemplo.

Para ser claros sobre la permutación de los kets, los productos tensoriales no son conmutativos: si $\vert \phi\rangle$ y $\vert \pi \rangle$ son vectores, entonces, en general, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ es diferente de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ y lo mismo para los productos tensoriales de tres o más vectores. Por ejemplo, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ es un vector diferente de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ La reordenación de los kets que acabamos de hacer no debe interpretarse en sentido contrario.

Para realizar los cálculos, simplemente decidimos que es más conveniente agrupar los sistemas en $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ en lugar de en $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Los subíndices en los kets sirven para mantener todo esto claro, y somos libres de volver al orden original más tarde si queremos hacerlo.

Ahora vemos que, si se miden los sistemas $\mathsf{X}_4$ y $\mathsf{X}_2$, las probabilidades (no nulas) de los diferentes resultados son las siguientes:

• El resultado de la medición $(\heartsuit,\diamondsuit)$ se produce con probabilidad

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• El resultado de la medición $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ se produce con probabilidad

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• El resultado de la medición $(\spadesuit,\clubsuit)$ se produce con probabilidad

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Si el resultado de la medición es $(\heartsuit,\diamondsuit),$, por ejemplo, el estado resultante de nuestros cinco sistemas será

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Aquí, para la respuesta final, hemos vuelto a nuestro orden original de los sistemas, sólo para ilustrar que podemos hacerlo. Para los demás resultados de medición posibles, el estado puede determinarse de forma similar.

Por último, he aquí dos ejemplos prometidos anteriormente, empezando por el estado GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Si sólo se mide el primer sistema, obtenemos el resultado $0$ con probabilidad $1/2,$ en cuyo caso el estado de los tres qubits pasa a ser $\vert 000\rangle;$ y también obtenemos el resultado $1$ con probabilidad $1/2,$ en cuyo caso el estado de los tres qubits pasa a ser $\vert 111\rangle.$

Para un estado W, por otra parte, suponiendo de nuevo que sólo se mide el primer sistema, empezamos escribiendo este estado así:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

La probabilidad de que una medición del primer qubit dé como resultado 0 es, por tanto, igual a

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

y condicionado a que la medición produzca este resultado, el estado cuántico de los tres qubits pasa a ser

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

La probabilidad de que el resultado de la medición sea 1 es $1/3,$ en cuyo caso el estado de los tres qubits pasa a ser $\vert 100\rangle.$

El estado W es simétrico, en el sentido de que no cambia si permutamos los qubits. Por tanto, obtenemos una descripción similar para medir el segundo o tercer qubit en lugar del primero.

---

Operaciones unitarias

En principio, cualquier matriz unitaria cuyas filas y columnas correspondan a los estados clásicos de un sistema representa una operación cuántica válida sobre dicho sistema. Esto, por supuesto, sigue siendo cierto para los sistemas compuestos, cuyos conjuntos de estados clásicos resultan ser productos cartesianos de los conjuntos de estados clásicos de los sistemas individuales.

Centrándonos en dos sistemas, si $\mathsf{X}$ es un sistema que tiene el conjunto de estados clásicos $\Sigma,$ y $\mathsf{Y}$ es un sistema que tiene el conjunto de estados clásicos $\Gamma,$ entonces el conjunto de estados clásicos del sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ es $\Sigma\times\Gamma.$ Por lo tanto, las operaciones cuánticas sobre este sistema conjunto se representan mediante matrices unitarias cuyas filas y columnas se colocan en correspondencia con el conjunto $\Sigma\times\Gamma.$ El orden de las filas y columnas de estas matrices es el mismo que el orden utilizado para los vectores de estado cuántico del sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Por ejemplo, supongamos que $\Sigma = \{1,2,3\}$ y $\Gamma = \{0,1\},$ y recordemos que la convención estándar para ordenar los elementos del producto cartesiano $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ es ésta:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

He aquí un ejemplo de matriz unitaria que representa una operación sobre $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Esta matriz unitaria no es especial, es sólo un ejemplo. Para comprobar que $U$ es unitario, basta con calcular y comprobar que $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ por ejemplo. Alternativamente, podemos comprobar que las filas (o las columnas) son ortonormales, lo que resulta más sencillo en este caso dada la forma particular de la matriz $U.$

La acción de $U$ sobre el vector de base estándar $\vert 1, 1 \rangle,$, por ejemplo, es

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

que podemos ver examinando la segunda columna de $U,$ considerando nuestra ordenación del conjunto $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Como con cualquier matriz, es posible expresar $U$ utilizando la notación de Dirac, que requeriría 20 términos para las 20 entradas no nulas de $U.$ Sin embargo, si escribiéramos todos estos términos, en lugar de escribir una matriz $6\times 6$, sería desordenado y los patrones que son evidentes a partir de la expresión de la matriz probablemente no serían tan claros. En pocas palabras, la notación de Dirac no siempre es la mejor opción.

Las operaciones unitarias en tres o más sistemas funcionan de forma similar, y las matrices unitarias tienen filas y columnas correspondientes al producto cartesiano de los conjuntos de estados clásicos de los sistemas. Ya hemos visto un ejemplo en esta lección: la operación de tres qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

donde los números en bras y kets significan sus codificaciones binarias de $3$ -bit. Además de ser una operación determinista, también es una operación unitaria. Las operaciones que son a la vez deterministas y unitarias se denominan operaciones reversibles. La transpuesta conjugada de esta matriz puede escribirse así:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Esto representa la inversa, o en términos matemáticos la inversa, de la operación original, que es lo que esperamos de la transposición conjugada de una matriz unitaria. Veremos otros ejemplos de operaciones unitarias en sistemas múltiples a medida que avance la lección.

Operaciones unitarias realizadas de forma independiente en sistemas individuales

Cuando las operaciones unitarias se realizan de forma independiente en una colección de sistemas individuales, la acción combinada de estas operaciones independientes se describe mediante el producto tensorial de las matrices unitarias que las representan. Es decir, si $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ son sistemas cuánticos, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ son matrices unitarias que representan operaciones sobre estos sistemas, y las operaciones se realizan independientemente sobre los sistemas, la acción combinada sobre $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ está representada por la matriz $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Una vez más, encontramos que los entornos probabilístico y cuántico son análogos en este sentido.

De la lectura del párrafo anterior se desprende que el producto tensorial de cualquier colección de matrices unitarias es unitario. Efectivamente, esto es cierto, y podemos verificarlo de la siguiente manera.

Obsérvese en primer lugar que la operación de transposición conjugada satisface

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

para cualquier matriz elegida $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Esto se puede comprobar volviendo a la definición del producto tensorial y de la transposición conjugada, y comprobando que cada entrada de los dos lados de la ecuación concuerda. Esto significa que

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Como el producto tensorial de matrices es multiplicativo, encontramos que

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Aquí hemos escrito $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ para referirnos a las matrices que representan la operación de identidad en los sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ es decir que son matrices de identidad cuyos tamaños coinciden con el número de estados clásicos de $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Por último, el producto tensorial $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ es igual a la matriz identidad para la que tenemos un número de filas y columnas que coincide con el producto del número de filas y columnas de las matrices $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Esta matriz de identidad mayor representa la operación de identidad en el sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

En resumen, tenemos la siguiente secuencia de igualdades:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Por lo tanto, concluimos que $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ es unitario.

Una situación importante que se plantea a menudo es aquella en la que una operación unitaria se aplica a un solo sistema -o a un subconjunto adecuado de sistemas- dentro de un sistema conjunto mayor. Por ejemplo, supongamos que $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son sistemas que podemos ver juntos como formando un único sistema compuesto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ y realizamos una operación sólo sobre el sistema $\mathsf{X}.$ Para ser precisos, supongamos que $U$ es una matriz unitaria que representa una operación sobre $\mathsf{X},$ de modo que sus filas y columnas se han colocado en correspondencia con los estados clásicos de $\mathsf{X}.$

Decir que realizamos la operación representada por $U$ solo en el sistema $\mathsf{X}$ implica que no hacemos nada en $\mathsf{Y},$ lo que significa que realizamos independientemente $U$ en $\mathsf{X}$ y la operación identidad en $\mathsf{Y}.$ Es decir, "no hacer nada" en $\mathsf{Y}$ es equivalente a realizar la operación identidad en $\mathsf{Y},$ que está representada por la matriz identidad $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Aquí, por cierto, el subíndice $\mathsf{Y}$ nos dice que $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ se refiere a la matriz identidad que tiene un número de filas y columnas de acuerdo con el conjunto de estados clásico de $\mathsf{Y}.$ ). La operación en $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que se obtiene cuando realizamos $U$ en $\mathsf{X}$ y no hacemos nada en $\mathsf{Y}$ está, por lo tanto, representada por la matriz unitaria.

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Por ejemplo, si $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son qubits, realizar una operación Hadamard en $\mathsf{X}$ y no hacer nada en $\mathsf{Y}$ equivale a realizar la operación

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

sobre el sistema de articulación $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

De forma similar, si se aplica a $\mathsf{Y}$ una operación representada por una matriz unitaria $U$ y no se hace nada en $\mathsf{X},$, la operación resultante en $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está representada por la matriz unitaria

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Por ejemplo, si consideramos de nuevo la situación en la que tanto $\mathsf{X}$ como $\mathsf{Y}$ son qubits y $U$ es una operación Hadamard, la operación resultante sobre $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está representada por la matriz

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

No toda operación unitaria sobre un conjunto de sistemas puede escribirse como un producto tensorial de operaciones unitarias como ésta, del mismo modo que no todo vector de estado cuántico de estos sistemas es un estado producto. Por ejemplo, ni la operación swap ni la operación controlada-NOT sobre dos qubits, que se describen a continuación, pueden expresarse como un producto tensorial de operaciones unitarias.

La operación de intercambio

Para concluir la lección, veamos dos clases de ejemplos de operaciones unitarias en sistemas múltiples, empezando por la operación swap.

Supongamos que $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son sistemas que comparten el mismo conjunto de estados clásicos $\Sigma.$ La operación de intercambio en el par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ es la operación que intercambia los contenidos de los dos sistemas, pero por lo demás los deja solos - de modo que $\mathsf{X}$ permanece a la izquierda y $\mathsf{Y}$ a la derecha. Denotaremos esta operación como $\operatorname{SWAP},$ y funciona así para cada elección de estados clásicos $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Una forma de escribir la matriz asociada a esta operación utilizando la notación de Dirac es la siguiente:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Puede que no sea inmediatamente evidente que esta matriz representa $\operatorname{SWAP},$ pero podemos comprobar que satisface la condición $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ para cualquier elección de estados clásicos $a,b\in\Sigma.$ Como ejemplo sencillo, cuando $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son qubits, encontramos que

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operaciones unitarias controladas

Supongamos ahora que $\mathsf{Q}$ es un qubit y $\mathsf{R}$ es un sistema arbitrario, con cualquier conjunto de estados clásicos que deseemos clásico que deseemos. Para cada operación unitaria $U$ que actúa sobre el sistema $\mathsf{R},$ una operación controlada-$U$ es una operación unitaria sobre el par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ definida como sigue:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Por ejemplo, si $\mathsf{R}$ es también un qubit, y consideramos la operación de Pauli $X$ sobre $\mathrm{R},$ entonces una operación controlada- $X$ viene dada por

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ya hemos visto esta operación en el contexto de la información clásica y las operaciones probabilísticas en esta lección. Sustituyendo la operación Pauli $X$ en $\mathsf{R}$ por una operación $Z$ se obtiene esta operación:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Si en su lugar tomamos $\mathsf{R}$ como dos qubits, y tomamos $U$ como la operación de intercambio entre estos dos qubits, obtenemos esta operación:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Esta operación también se conoce como operación Fredkin o, más comúnmente, puerta Fredkin. Su acción sobre los estados básicos estándar puede describirse del siguiente modo:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Por último, una operación controlada-controlada-NOT, que podemos denotar como $CCX,$ se denomina operación de Toffoli o puerta de Toffoli. Su representación matricial tiene el siguiente aspecto:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Alternativamente, podemos expresarlo utilizando la notación de Dirac de la siguiente manera:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$