Information quantique

Nous sommes maintenant prêts à passer à l'information quantique dans le cadre de systèmes multiples. Comme dans la leçon précédente sur les systèmes uniques, la description mathématique de l'information quantique pour les systèmes multiples est assez similaire au cas probabiliste et fait appel à des concepts et des techniques similaires.

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États quantiques

Les systèmes multiples peuvent être considérés collectivement comme des systèmes composés uniques. Nous avons déjà observé ce phénomène dans le cadre probabiliste, et le cadre quantique est analogue. Les états quantiques des systèmes multiples sont donc représentés par des vecteurs colonnes ayant des entrées complexes et une norme euclidienne égale à $1,$, tout comme les états quantiques des systèmes uniques. Dans le cas d'un système multiple, les entrées de ces vecteurs sont placées en correspondance avec le produit cartésien des ensembles d'états classiques associés à chacun des systèmes individuels, car il s'agit de l'ensemble d'états classiques du système composé.

Par exemple, si $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits, l'ensemble d'états classiques de la paire de qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$, considérée collectivement comme un système unique, est le produit cartésien $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ En représentant les paires de valeurs binaires comme des chaînes binaires de longueur deux, nous associons cet ensemble de produit cartésien à l'ensemble $\{00,01,10,11\}.$ Les vecteurs suivants sont donc tous des exemples de vecteurs d'état quantique de la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Il existe différentes manières d'exprimer les vecteurs d'états quantiques de plusieurs systèmes, et nous pouvons choisir la variante qui nous convient le mieux. Voici quelques exemples pour le premier vecteur d'état quantique ci-dessus.

1. Nous pouvons utiliser le fait que $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (pour tout état classique $a$ et $b$ ) pour écrire à la place

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Nous pouvons choisir d'écrire explicitement le symbole du produit tensoriel comme suit :

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Nous pouvons inscrire les kets en indice pour indiquer comment ils correspondent aux systèmes considérés, comme suit :

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Bien entendu, nous pouvons également écrire les vecteurs d'états quantiques explicitement comme des vecteurs-colonnes :

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Selon le contexte dans lequel elle apparaît, l'une de ces variantes peut être préférée - mais elles sont toutes équivalentes en ce sens qu'elles décrivent le même vecteur.

Produits tensoriels de vecteurs d'états quantiques

Comme pour les vecteurs de probabilité, les produits tensoriels des vecteurs d'états quantiques sont également des vecteurs d'états quantiques - et, là encore, ils représentent l' indépendance entre les systèmes.

Plus en détail, et en commençant par le cas de deux systèmes, supposons que $\vert \phi \rangle$ est un vecteur d'état quantique d'un système $\mathsf{X}$ et que $\vert \psi \rangle$ est un vecteur d'état quantique d'un système $\mathsf{Y}.$ Le produit tensoriel $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ qui peut être écrit alternativement comme $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ ou $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ est alors un vecteur d'état quantique du système conjoint $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Une fois de plus, nous nous référons à un état de cette forme comme étant un état produit.

Intuitivement, lorsqu'une paire de systèmes $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est dans un état produit $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$, nous pouvons interpréter cela comme signifiant que $\mathsf{X}$ est dans l'état quantique $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ est dans l'état quantique $\vert \psi \rangle,$ et que les états des deux systèmes n'ont rien à voir l'un avec l'autre.

Le fait que le vecteur produit par le tenseur $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ soit effectivement un vecteur d'état quantique est compatible avec la norme euclidienne qui est multiplicative en ce qui concerne les produits tensoriels :

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Comme $\vert \phi \rangle$ et $\vert \psi \rangle$ sont des vecteurs d'états quantiques, nous avons $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ et $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ et donc $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$, de sorte que $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ est également un vecteur d'états quantiques.

Cela se généralise à plus de deux systèmes. Si $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ sont des vecteurs d'état quantique des systèmes $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$, alors $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ est un vecteur d'état quantique représentant un état produit du système commun $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Là encore, nous savons qu'il s'agit d'un vecteur d'état quantique parce que

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

États intriqués

Tous les vecteurs d'états quantiques de systèmes multiples ne sont pas des états produits. Par exemple, le vecteur d'état quantique

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

de deux qubits n'est pas un état produit. Pour raisonner ainsi, nous pouvons suivre exactement le même argument que celui que nous avons utilisé dans la section précédente pour un état probabiliste. En d'autres termes, si $(1)$ était un état produit, il existerait des vecteurs d'états quantiques $\vert\phi\rangle$ et $\vert\psi\rangle$ pour lesquels

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Mais dans ce cas, il faudrait nécessairement que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

ce qui implique que $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ ou $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (ou les deux). Cela contredit le fait que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

et

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

sont tous deux non nuls. Ainsi, le vecteur d'état quantique $(1)$ représente une corrélation entre deux systèmes, et nous disons spécifiquement que les systèmes sont intriqués.

Notez que la valeur spécifique $1/\sqrt{2}$ n'est pas importante pour cet argument - tout ce qui importe est que cette valeur soit non nulle. Ainsi, par exemple, l'état quantique

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

n'est pas non plus un état produit, selon le même argument.

L'intrication est une caractéristique essentielle de l'information quantique qui sera abordée plus en détail dans une leçon ultérieure. L'intrication peut être compliquée, en particulier pour les types d'états quantiques bruyants qui peuvent être décrits par des matrices de densité (qui sont abordées dans le cours Formulation générale de l'information quantique, qui est le troisième cours de la série Comprendre l'information et l'informatique quantiques ). Pour les vecteurs d'états quantiques, cependant, l'intrication est équivalente à la corrélation : tout vecteur d'état quantique qui n'est pas un état produit représente un état intriqué.

En revanche, le vecteur d'état quantique

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

est un exemple d'état d'un produit.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Cet état n'est donc pas intriqué.

Bell déclare

Nous allons maintenant examiner quelques exemples importants d'états quantiques à qubits multiples, en commençant par les états de Bell. Il s'agit des quatre états à deux qubits suivants :

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Les états de Bell sont ainsi nommés en l'honneur de John BellJohn Stewart Bell (1928-1990) est un physicien qui a apporté d'importantes contributions aux fondements de la théorie quantique. Remarquez que le même argument qui établit que $\vert\phi^+\rangle$ n'est pas un état produit révèle qu'aucun des autres états de Bell n'est non plus un état produit : les quatre états de Bell représentent l'intrication entre deux qubits.

La collection des quatre états de Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

est connue sous le nom de base de Bell. Comme son nom l'indique, il s'agit d'une base; tout vecteur d'état quantique de deux qubits, ou même tout vecteur complexe ayant des entrées correspondant aux quatre états classiques de deux bits, peut être exprimé comme une combinaison linéaire des quatre états de Bell. Exemple :

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

États GHZ et W

Nous examinerons ensuite deux exemples intéressants d'états de trois qubits. Le premier exemple est l' état GHZ (nommé ainsi en l'honneur de Daniel Greenberger, Michael Horne et Anton Zeilinger, qui ont été les premiers à étudier certaines de ses propriétés) :

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Le deuxième exemple est l'état dit "W" :

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Aucun de ces états n'est un état produit, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être écrits sous la forme d'un produit tensoriel de vecteurs d'états quantiques à trois qubits. Nous examinerons ces deux états plus tard lorsque nous aborderons les mesures partielles d'états quantiques de systèmes multiples.

Autres exemples

Les exemples d'états quantiques de systèmes multiples que nous avons vus jusqu'à présent sont des états de deux ou trois qubits, mais nous pouvons également envisager des états quantiques de systèmes multiples ayant des ensembles d'états classiques différents.

Par exemple, voici un état quantique de trois systèmes, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ et $\mathsf{Z},$ où l'ensemble d'états classiques de $\mathsf{X}$ est l'alphabet binaire (donc $\mathsf{X}$ est un qubit) et l'ensemble d'états classiques de $\mathsf{Y}$ et $\mathsf{Z}$ est $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Voici un exemple d'état quantique de trois systèmes, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ et $\mathsf{Z},$, qui partagent tous le même ensemble d'états classiques $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Les systèmes ayant l'ensemble d'états classiques $\{0,1,2\}$ sont souvent appelés trits ou (en supposant qu'ils puissent être dans un état quantique) qutrits. Le terme qudit se réfère à un système ayant un ensemble d'états classiques $\{0,\ldots,d-1\}$ pour un choix arbitraire de $d.$

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Mesures des états quantiques

Les mesures de base standard des états quantiques de systèmes uniques ont été abordées dans la leçon précédente : si un système ayant un ensemble d'états classiques $\Sigma$ est dans un état quantique représenté par le vecteur $\vert \psi \rangle,$ et que ce système est mesuré (par rapport à une mesure de base standard), alors chaque état classique $a\in\Sigma$ apparaît avec une probabilité de 1,5 % $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Cela nous indique ce qui se passe lorsque nous disposons d'un état quantique de plusieurs systèmes et que nous choisissons de mesurer l'ensemble du système composé, ce qui équivaut à mesurer tous les systèmes.

Pour préciser, supposons que $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sont des systèmes ayant des ensembles d'états classiques $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ respectivement. Nous pouvons alors considérer $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ collectivement comme un système unique dont l'ensemble d'états classiques est le produit cartésien $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Si un état quantique de ce système est représenté par le vecteur d'état quantique $\vert\psi\rangle,$ et que tous les systèmes sont mesurés, alors chaque résultat possible $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ apparaît avec la probabilité suivante $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Par exemple, si les systèmes $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont conjointement dans l'état quantique

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

en mesurant les deux systèmes avec des mesures de base standard, on obtient le résultat $(0,\heartsuit)$ avec la probabilité $9/25$ et le résultat $(1,\spadesuit)$ avec la probabilité $16/25.$

Mesures partielles

Considérons maintenant la situation dans laquelle nous avons plusieurs systèmes dans un certain état quantique, et nous mesurons un sous-ensemble approprié de ces systèmes. Comme précédemment, nous commencerons par deux systèmes $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ ayant respectivement des ensembles d'états classiques $\Sigma$ et $\Gamma,$.

En général, un vecteur d'état quantique de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ prend la forme suivante

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

où $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ est un ensemble de nombres complexes satisfaisant aux conditions suivantes

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

ce qui revient à dire que $\vert \psi \rangle$ est un vecteur unitaire.

Nous savons déjà, d'après la discussion ci-dessus, que si $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont tous deux mesurés, chaque résultat possible $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ apparaît avec la probabilité suivante

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Si nous supposons au contraire que seul le premier système $\mathsf{X}$ est mesuré, la probabilité d'apparition de chaque résultat $a\in\Sigma$ doit donc être égale à

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Ceci est cohérent avec ce que nous avons déjà vu dans le cadre probabiliste, ainsi qu'avec notre compréhension actuelle de la physique : la probabilité que chaque résultat apparaisse lorsque $\mathsf{X}$ est mesuré ne peut pas dépendre du fait que $\mathsf{Y}$ a également été mesuré, car cela permettrait une communication plus rapide que la lumière.

Ayant obtenu un résultat particulier $a\in\Sigma$ d'une mesure de base standard de $\mathsf{X},$, nous nous attendons naturellement à ce que l'état quantique de $\mathsf{X}$ change de manière à être égal à $\vert a\rangle,$, tout comme nous l'avions fait pour les systèmes uniques. Mais qu'advient-il de l'état quantique de $\mathsf{Y}$?

Pour répondre à cette question, nous pouvons d'abord exprimer le vecteur $\vert\psi\rangle$ comme suit

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

où

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

pour chaque $a\in\Sigma.$ Nous suivons ici la même méthodologie que dans le cas probabiliste, qui consiste à isoler les états de base standard du système mesuré. La probabilité que la mesure de base standard de $\mathsf{X}$ donne chaque résultat $a$ est la suivante :

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Et, comme la mesure de base standard de $\mathsf{X}$ donne le résultat $a,$, l'état quantique de la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

En d'autres termes, l'état "s'effondre" comme dans le cas d'un système unique, mais seulement dans la mesure nécessaire pour que l'état soit cohérent avec la mesure de $\mathsf{X}$ qui a produit le résultat $a.$

De manière informelle, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ représente la composante de $\vert \psi\rangle$ qui est cohérente avec une mesure de $\mathsf{X}$ aboutissant au résultat $a.$ Nous normalisons ensuite ce vecteur - en le divisant par sa norme euclidienne, qui est égale à $\|\vert\phi_a\rangle\|$ - pour obtenir un vecteur d'état quantique valide dont la norme euclidienne est égale à $1.$ Cette étape de normalisation est analogue à ce que nous avons fait dans le cadre probabiliste lorsque nous avons divisé les vecteurs par la somme de leurs entrées pour obtenir un vecteur de probabilité.

À titre d'exemple, considérons l'état de deux qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ depuis le début de la section :

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Pour comprendre ce qui se passe lorsque le premier système $\mathsf{X}$ est mesuré, nous commençons par écrire

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Nous voyons maintenant, sur la base de la description ci-dessus, que la probabilité que la mesure aboutisse au résultat $0$ est la suivante

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

dans ce cas, l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

et la probabilité que la mesure aboutisse au résultat $1$ est la suivante

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

dans ce cas, l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

La même technique, utilisée de manière symétrique, décrit ce qui se passe si l'on mesure le deuxième système $\mathsf{Y}$ plutôt que le premier. Cette fois, nous réécrivons le vecteur $\vert \psi \rangle$ comme suit

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

La probabilité que la mesure de $\mathsf{Y}$ donne le résultat $0$ est la suivante

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

dans ce cas, l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

et la probabilité que le résultat de la mesure soit $1$ est de

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

dans ce cas, l'état de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devient

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Remarque sur les états quantiques réduits

L'exemple précédent montre une limite de la description simplifiée de l'information quantique, à savoir qu'elle ne nous permet pas de décrire l'état quantique réduit (ou marginal) d'un seul des deux systèmes (ou d'un sous-ensemble approprié d'un nombre quelconque de systèmes), comme dans le cas probabiliste.

Plus précisément, pour un état probabiliste de deux systèmes $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ décrit par un vecteur de probabilité

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

nous pouvons écrire l'état probabiliste réduit ou marginal de $\mathsf{X}$ seul comme suit

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Pour les vecteurs d'états quantiques, il n'existe pas de méthode analogue. En particulier, pour un vecteur d'état quantique

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

le vecteur

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

n'est pas un vecteur d'état quantique en général et ne représente pas correctement le concept d'état réduit ou marginal.

Ce que nous pouvons faire à la place, c'est nous tourner vers la notion de matrice de densité, qui est discutée dans le cours sur la formulation générale de l'information quantique. Les matrices de densité nous offrent un moyen significatif de définir des états quantiques réduits qui sont analogues au cadre probabiliste.

Mesures partielles pour trois systèmes ou plus

Les mesures partielles pour trois systèmes ou plus, où un sous-ensemble approprié des systèmes est mesuré, peuvent être ramenées au cas de deux systèmes en divisant les systèmes en deux collections, ceux qui sont mesurés et ceux qui ne le sont pas. Voici un exemple concret qui illustre comment cela peut se faire. Il montre en particulier comment il peut être utile d'inscrire en indice les kets par les noms des systèmes qu'ils représentent - en l'occurrence, parce que cela nous donne un moyen simple de décrire les permutations des systèmes.

Pour cet exemple, nous considérerons un état quantique d'un ensemble de 5 systèmes $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ où les cinq systèmes partagent le même ensemble d'états classiques $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Nous examinerons la situation dans laquelle les premier et troisième systèmes sont mesurés, et les autres systèmes sont laissés à eux-mêmes.

D'un point de vue conceptuel, il n'y a pas de différence fondamentale entre cette situation et celle où l'un des deux systèmes est mesuré. Malheureusement, comme les systèmes mesurés sont entrecoupés de systèmes non mesurés, nous nous heurtons à un obstacle lorsqu'il s'agit d'écrire les expressions nécessaires pour effectuer ces calculs.

Une façon de procéder, comme suggéré ci-dessus, est d'inscrire les kets en indice pour indiquer à quels systèmes ils se réfèrent. Cela nous permet de garder une trace des systèmes lorsque nous permutons l'ordre des kets, ce qui simplifie les mathématiques.

Tout d'abord, le vecteur d'état quantique ci-dessus peut être écrit comme suit

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Rien n'a changé, si ce n'est que chaque ket comporte désormais un indice indiquant à quel système il correspond. Ici, nous avons utilisé les indices $0,\ldots,4,$, mais les noms des systèmes eux-mêmes pourraient également être utilisés (dans une situation où nous avons des noms de systèmes tels que $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ et $\mathsf{Z},$ par exemple).

Nous pouvons maintenant réorganiser les kets et collecter les termes comme suit :

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Les produits tensoriels sont toujours implicites, même lorsque des parenthèses sont utilisées, comme dans cet exemple.

Pour être clair sur la permutation des kets, les produits tensoriels ne sont pas commutatifs : si $\vert \phi\rangle$ et $\vert \pi \rangle$ sont des vecteurs, alors, en général, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ est différent de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ et il en va de même pour les produits tensoriels de trois vecteurs ou plus. Par exemple, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ est un vecteur différent de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Le fait de réordonner les kets comme nous venons de le faire ne doit pas être interprété comme suggérant le contraire.

Pour les besoins des calculs, nous décidons simplement qu'il est plus pratique de rassembler les systèmes sous $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ plutôt que de les classer par ordre de priorité $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Les indices sur les kets servent à garder l'ordre, et nous sommes libres de revenir à l'ordre original plus tard si nous le souhaitons.

Nous voyons maintenant que, si les systèmes $\mathsf{X}_4$ et $\mathsf{X}_2$ sont mesurés, les probabilités (non nulles) des différents résultats sont les suivantes :

• Le résultat de la mesure $(\heartsuit,\diamondsuit)$ se produit avec une probabilité de

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Le résultat de la mesure $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ se produit avec une probabilité de

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Le résultat de la mesure $(\spadesuit,\clubsuit)$ se produit avec une probabilité de

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Si le résultat de la mesure est $(\heartsuit,\diamondsuit),$ par exemple, l'état résultant de nos cinq systèmes devient

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Ici, pour la réponse finale, nous sommes revenus à notre ordre initial des systèmes, juste pour illustrer le fait que nous pouvons le faire. Pour les autres résultats de mesure possibles, l'état peut être déterminé de manière similaire.

Enfin, voici deux exemples promis plus tôt, en commençant par l'état GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Si l'on ne mesure que le premier système, on obtient le résultat $0$ avec la probabilité $1/2,$, auquel cas l'état des trois qubits devient $\vert 000\rangle;$ et on obtient également le résultat $1$ avec la probabilité $1/2,$, auquel cas l'état des trois qubits devient $\vert 111\rangle.$

Pour un état W, en revanche, en supposant à nouveau que seul le premier système est mesuré, nous commençons par écrire cet état comme suit :

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

La probabilité qu'une mesure du premier qubit aboutisse au résultat 0 est donc égale à

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

et sous réserve que la mesure produise ce résultat, l'état quantique des trois qubits devient

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

La probabilité que le résultat de la mesure soit 1 est $1/3,$, auquel cas l'état des trois qubits devient $\vert 100\rangle.$

L'état W est symétrique, en ce sens qu'il ne change pas si l'on permute les qubits. On obtient donc une description similaire pour mesurer le deuxième ou le troisième qubit plutôt que le premier.

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Opérations unitaires

En principe, toute matrice unitaire dont les lignes et les colonnes correspondent aux états classiques d'un système représente une opération quantique valide sur ce système. Cela reste évidemment vrai pour les systèmes composés, dont les ensembles d'états classiques sont des produits cartésiens des ensembles d'états classiques des systèmes individuels.

En se concentrant sur deux systèmes, si $\mathsf{X}$ est un système ayant l'ensemble d'états classiques $\Sigma,$ et $\mathsf{Y}$ est un système ayant l'ensemble d'états classiques $\Gamma,$, l'ensemble d'états classiques du système conjoint $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est $\Sigma\times\Gamma.$ Par conséquent, les opérations quantiques sur ce système conjoint sont représentées par des matrices unitaires dont les lignes et les colonnes sont placées en correspondance avec l'ensemble d'états classiques et $\Sigma\times\Gamma.$ L'ordre des lignes et des colonnes de ces matrices est le même que l'ordre utilisé pour les vecteurs d'état quantique du système $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Par exemple, supposons que $\Sigma = \{1,2,3\}$ et $\Gamma = \{0,1\},$ et rappelons que la convention standard pour ordonner les éléments du produit cartésien $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ est la suivante :

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Voici un exemple de matrice unitaire représentant une opération sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Cette matrice unitaire n'est pas spéciale, c'est juste un exemple. Pour vérifier que $U$ est unitaire, il suffit de calculer et de vérifier que $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ par exemple. On peut également vérifier que les lignes (ou les colonnes) sont orthonormées, ce qui est plus simple dans ce cas étant donné la forme particulière de la matrice $U.$

L'action de $U$ sur le vecteur de base standard $\vert 1, 1 \rangle,$, par exemple, est la suivante

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

ce que nous pouvons voir en examinant la deuxième colonne de $U,$ en considérant notre ordre de l'ensemble $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Comme pour toute matrice, il est possible d'exprimer $U$ en utilisant la notation de Dirac, ce qui nécessiterait 20 termes pour les 20 entrées non nulles de $U.$ Cependant, si nous écrivions tous ces termes, au lieu d'écrire une matrice $6\times 6$, ce serait désordonné et les modèles qui ressortent de l'expression de la matrice ne seraient probablement pas aussi clairs. En clair, la notation de Dirac n'est pas toujours le meilleur choix.

Les opérations unitaires sur trois systèmes ou plus fonctionnent de manière similaire, les matrices unitaires ayant des lignes et des colonnes correspondant au produit cartésien des ensembles d'états classiques des systèmes. Nous avons déjà vu un exemple dans cette leçon : l'opération à trois qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

où les nombres en bras et en kets correspondent à leur codage binaire $3$ -bit. En plus d'être une opération déterministe, il s'agit également d'une opération unitaire. Les opérations qui sont à la fois déterministes et unitaires sont appelées opérations réversibles. La transposée conjuguée de cette matrice peut être écrite comme suit :

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Il s'agit de l' inverse, ou en termes mathématiques de l' inverse, de l'opération d'origine, ce qui correspond à ce que l'on attend de la transposition conjuguée d'une matrice unitaire. Nous verrons d'autres exemples d'opérations unitaires sur des systèmes multiples au fil de la leçon.

Opérations unitaires effectuées indépendamment sur des systèmes individuels

Lorsque des opérations unitaires sont effectuées indépendamment sur une collection de systèmes individuels, l'action combinée de ces opérations indépendantes est décrite par le produit tensoriel des matrices unitaires qui les représentent. En d'autres termes, si $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sont des systèmes quantiques, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ sont des matrices unitaires représentant des opérations sur ces systèmes, et que les opérations sont effectuées indépendamment sur les systèmes, l'action combinée sur $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ est représentée par la matrice $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Une fois de plus, nous constatons que les contextes probabiliste et quantique sont analogues à cet égard.

On s'attendrait naturellement, à la lecture du paragraphe précédent, à ce que le produit tensoriel de toute collection de matrices unitaires soit unitaire. C'est en effet vrai, et nous pouvons le vérifier comme suit.

Remarquez tout d'abord que l'opération de transposition conjuguée satisfait aux conditions suivantes

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

pour toute matrice choisie $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Ceci peut être vérifié en revenant à la définition du produit tensoriel et de la transposée conjuguée, et en vérifiant que chaque entrée des deux côtés de l'équation est en accord. Cela signifie que

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Le produit tensoriel des matrices étant multiplicatif, on trouve que

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Nous avons écrit ici $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ pour désigner les matrices représentant l'opération d'identité sur les systèmes $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$, c'est-à-dire qu'il s'agit de matrices d'identité dont la taille correspond au nombre d'états classiques de $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Enfin, le produit tensoriel $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ est égal à la matrice identité pour laquelle on dispose d'un nombre de lignes et de colonnes qui s'accorde avec le produit du nombre de lignes et de colonnes des matrices $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Cette matrice d'identité plus grande représente l'opération d'identité sur le système articulaire $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

En résumé, nous avons la séquence d'égalités suivante :

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Nous concluons donc que $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ est unitaire.

Une situation importante qui se présente souvent est celle dans laquelle une opération unitaire est appliquée à un seul système - ou à un sous-ensemble approprié de systèmes - au sein d'un système commun plus large. Par exemple, supposons que $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des systèmes que nous pouvons considérer ensemble comme formant un seul système composé $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ et que nous effectuons une opération uniquement sur le système $\mathsf{X}.$ Pour être précis, supposons que $U$ soit une matrice unitaire représentant une opération sur $\mathsf{X},$ de sorte que ses lignes et ses colonnes aient été placées en correspondance avec les états classiques de $\mathsf{X}.$

Dire que nous effectuons l'opération représentée par $U$ uniquement sur le système $\mathsf{X}$ implique que nous ne faisons rien sur $\mathsf{Y},$ ce qui signifie que nous effectuons indépendamment $U$ sur $\mathsf{X}$ et l' opération d'identité sur $\mathsf{Y}.$ Autrement dit, « ne rien faire » sur $\mathsf{Y}$ équivaut à effectuer l'opération d'identité sur $\mathsf{Y},$ qui est représentée par la matrice identité $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Ici, soit dit en passant, l'indice $\mathsf{Y}$ nous indique que $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ fait référence à la matrice identité ayant un nombre de lignes et de colonnes en accord avec l'ensemble d'état classique de $\mathsf{Y}.$ ). L'opération sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ qui est obtenue lorsque nous effectuons $U$ sur $\mathsf{X}$ et ne faisons rien sur $\mathsf{Y}$ est donc représentée par la matrice unitaire.

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Par exemple, si $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits, effectuer une opération de Hadamard sur $\mathsf{X}$ et ne rien faire sur $\mathsf{Y}$ équivaut à effectuer l'opération suivante

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

sur le système de jointure $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

De même, si une opération représentée par la matrice unitaire $U$ est appliquée à $\mathsf{Y}$ et que rien n'est fait à $\mathsf{X},$, l'opération résultante sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est représentée par la matrice unitaire

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Par exemple, si nous considérons à nouveau la situation dans laquelle $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits et $U$ est une opération de Hadamard, l'opération résultante sur $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est représentée par la matrice suivante

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Toutes les opérations unitaires sur une collection de systèmes ne peuvent pas être écrites comme un produit tensoriel d'opérations unitaires comme celui-ci, de même que tous les vecteurs d'états quantiques de ces systèmes ne sont pas des produits d'états. Par exemple, ni l'opération de permutation ni l'opération NOT contrôlée sur deux qubits, qui sont décrites ci-dessous, ne peuvent être exprimées sous la forme d'un produit tensoriel d'opérations unitaires.

L'opération d'échange

Pour conclure la leçon, examinons deux classes d'exemples d'opérations unitaires sur des systèmes multiples, en commençant par l' opération de permutation.

Supposons que $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ soient des systèmes qui partagent le même ensemble d'états classiques $\Sigma.$ L'opération de permutation sur la paire $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ est l'opération qui échange le contenu des deux systèmes, mais qui laisse les systèmes tranquilles, de sorte que reste à gauche et à droite des deux systèmes, mais qui laisse les systèmes tranquilles, de sorte que $\mathsf{X}$ reste à gauche et à droite $\mathsf{Y}$ reste à droite. Nous désignerons cette opération par $\operatorname{SWAP},$ et elle fonctionne comme suit pour chaque choix d'états classiques $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Une façon d'écrire la matrice associée à cette opération en utilisant la notation de Dirac est la suivante :

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Il n'est peut-être pas évident que cette matrice représente $\operatorname{SWAP},$, mais nous pouvons vérifier qu'elle remplit la condition suivante $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ pour chaque choix d'états classiques $a,b\in\Sigma.$ Pour donner un exemple simple, lorsque $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont des qubits, nous trouvons que

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Opérations unitaires contrôlées

Supposons maintenant que $\mathsf{Q}$ soit un qubit et que $\mathsf{R}$ soit un système arbitraire, ayant l'ensemble d'états classiques que nous souhaitons classique que nous souhaitons. Pour chaque opération unitaire $U$ agissant sur le système $\mathsf{R},$, une opération contrôlée$U$ est une opération unitaire sur la paire définie de la manière suivante : la paire est une opération unitaire sur le système sur la paire $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ définie comme suit :

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Par exemple, si $\mathsf{R}$ est également un qubit, et que nous considérons l'opération de Pauli $X$ sur $\mathrm{R},$ alors une opération $X$ contrôlée est donnée par

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Nous avons déjà rencontré cette opération dans le contexte de l'information classique et des opérations probabilistes plus tôt dans la leçon. En remplaçant l'opération de Pauli $X$ sur $\mathsf{R}$ par une opération $Z$, on obtient cette opération :

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Si au contraire nous prenons $\mathsf{R}$ comme étant deux qubits, et nous prenons $U$ comme étant l' opération d'échange entre ces deux qubits, nous obtenons cette opération :

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Cette opération est également connue sous le nom d' opération Fredkin ou, plus communément, de porte Fredkin Son action sur les états de base standard peut être décrite comme suit :

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Enfin, une opération contrôlée-contrôlée-NOT, que nous pouvons désigner par $CCX,$, est appelée opération de Toffoli ou porte de Toffoli Sa représentation matricielle se présente comme suit :

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Nous pouvons également l'exprimer en utilisant la notation de Dirac comme suit :

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$