클래식 정보

양자 정보와 그 작동 원리를 설명하기 위해 표준(A)클래식이라는 용어는 양자 이론이 발견되기 이전의 물리 이론(예: 뉴턴 물리학)에 기반한 개념, 아이디어 및 설명을 의미합니다. 정보의 맥락에서는 양자 정보와 특별히 연결되지 않은 의미로 해석할 수 있습니다 정보에 대한 개요부터 설명하겠습니다. 양자 정보에 관한 강의에서 고전 정보에 왜 그렇게 많은 관심을 기울이는지 궁금해하는 것은 당연한 일이지만, 그럴 만한 이유가 있습니다.

우선 양자 정보와 고전적 정보는 몇 가지 놀라운 방식으로 다르지만, 수학적 설명은 실제로 매우 유사합니다. 고전적인 정보는 양자 정보를 연구할 때 친숙한 참고 자료가 될 뿐만 아니라 놀랍도록 먼 길을 가는 유추의 원천이 되기도 합니다. 사람들은 양자 정보에 대해 자연스러운 고전적 아날로그를 가진 질문을 하는 것이 일반적이며, 이러한 질문에는 양자 정보에 대한 원래의 질문에 대한 명확성과 통찰력을 모두 제공할 수 있는 간단한 답변이 있는 경우가 많습니다. 사실, 고전적 정보를 이해하지 않고는 양자 정보를 진정으로 이해할 수 없다고 주장하는 것은 전혀 무리가 아닙니다.

이 섹션에서 논의할 내용을 이미 잘 알고 있는 독자도 있을 것이고 그렇지 않은 독자도 있을 수 있지만, 이 논의는 두 독자 모두를 위한 것입니다. 이 섹션에서는 양자 정보 입문과 가장 관련이 있는 고전적 정보의 측면을 강조하는 것 외에도 양자 정보 및 계산에서 벡터와 행렬을 설명하는 데 자주 사용되는 디랙 표기법을 소개합니다. 디락 표기법은 양자 정보에만 국한된 것이 아니라 고전 정보뿐만 아니라 벡터와 행렬이 발생하는 다른 많은 환경에서도 똑같이 잘 사용될 수 있습니다.

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클래식 상태 및 확률 벡터

정보를 저장하는 시스템이 과정에서 시스템은 정보를 저장하는 물리적 장치 또는 매체를 추상화한 것입니다. 사이트가 있다고 가정해 보겠습니다. 좀 더 구체적으로, 이 시스템은 매 순간 유한한 수의 고전적 상태 중 하나에 있을 수 있다고 가정하겠습니다. 여기서 클래식 상태라는 용어는 모호하지 않게 인식하고 설명할 수 있는 구성으로 직관적인 용어로 이해해야 합니다.

반복해서 돌아오게 될 전형적인 예는 고전적인 상태가 $0$ 와 인 시스템인 비트의 예입니다 $1.$ 다른 예로는 표준 6면 주사위(고전적 상태는 $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ 및 $6$ (위에 있는 면의 해당 점 수로 표시)), DNA 한 가닥의 뉴클레오베이스(고전적 상태는 A, C, G, T ), 선풍기의 스위치(고전적 상태는 (일반적으로) 높음, 중간, 낮음, 꺼짐 )가 있습니다. 수학적 용어로 말하면, 시스템의 고전적 상태를 명시하는 것은 사실상 시작점입니다. 우리는 비트를 고전적 상태 $0$ 와 $1,$ 갖는 시스템으로 정의하고, 서로 다른 고전적 상태 집합을 갖는 시스템에 대해서도 마찬가지입니다.

이 논의를 위해 고려 중인 시스템에 $\mathsf{X}$ 이라는 이름을 부여하고 $\Sigma$ 이라는 기호를 사용하여 다음과 같은 고전적인 상태 집합을 지칭해 보겠습니다 $\mathsf{X}.$ 이미 언급한 $\Sigma$ 이 유한하다는 가정에 더하여, $\Sigma$ 이 비어 있지 않다고 가정합니다. 물리적 시스템에 상태가 전혀 없다는 것은 말이 안 되기 때문입니다. 고전적인 상태가 무한히 많은 물리 시스템을 고려하는 것은 의미가 있지만, 흥미롭기는 하지만 이 과정과는 관련이 없는 이 가능성은 무시하겠습니다. 이러한 이유와 편의성 및 간결성을 위해 여기서는 고전적 상태 집합이라는 용어를 유한하고 비어 있지 않은 집합을 의미하는 용어로 사용하겠습니다.

다음은 몇 가지 예제입니다.

1. $\mathsf{X}$ 이 비트면 $\Sigma = \{0,1\}.$ 이 세트를 이진 알파벳이라고 합니다.
2. $\mathsf{X}$ 이 6면 주사위라면 다음과 같습니다 $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}.$
3. $\mathsf{X}$ 가 선풍기 스위치인 경우 $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}.$

$\mathsf{X}$ 을 정보 전달자로 생각할 때 $\mathsf{X}$ 의 다양한 고전적 상태에는 특정 의미가 부여되어 다른 결과나 결과를 초래할 수 있습니다. 이러한 경우 $\mathsf{X}$ 을 단순히 가능한 클래식 상태 중 하나에 있다고 설명하는 것으로 충분할 수 있습니다. 예를 들어 $\mathsf{X}$ 이 팬 스위치인 경우, 팬이 높음으로 설정되어 있다는 것을 확실하게 알게 되면 중간으로 전환할 수 있습니다

그러나 정보 처리 과정에서 우리의 지식은 불확실한 경우가 많습니다. 시스템의 고전적 상태( $\mathsf{X}$ )에 대한 지식을 표현하는 한 가지 방법은 확률을 여러 가지 가능한 고전적 상태와 연관시키는 것으로, 이를 확률적 상태라고 부릅니다.

예를 들어 $\mathsf{X}$ 이라고 가정해 보겠습니다. 과거에 $\mathsf{X}$ 에 일어난 일에 대해 우리가 알고 있거나 예상하는 것을 바탕으로, 우리는 $\mathsf{X}$ 이 확률이 있는 고전적인 상태 $0$ 에 있고 확률이 있는 상태 $3/4$ 와 확률이 있는 상태 $1$ 에 있다고 믿을 수 있습니다 $1/4.$ 우리는 이렇게 작성하여 이러한 믿음을 나타낼 수 있습니다:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

이 확률적 상태를 보다 간결하게 표현하는 방법은 컬럼 벡터를 사용하는 것입니다.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

비트가 $0$ 일 확률은 벡터의 맨 위에, 비트가 $1$ 일 확률은 맨 아래에 배치되는데, 이는 집합을 정렬하는 일반적인 방식이기 때문입니다 $\{0,1\}.$

일반적으로 모든 고전적 상태 집합을 가진 시스템의 확률적 상태를 같은 방식으로 확률 벡터로 나타낼 수 있습니다. 확률은 원하는 방식으로 정렬할 수 있지만, 일반적으로 자연스럽거나 기본값으로 정렬하는 것이 일반적입니다. 정확히 말하면, 두 가지 속성을 만족하는 컬럼 벡터를 통해 모든 확률 상태를 표현할 수 있습니다:

1. 벡터의 모든 항목은 음수가 아닌 실수입니다.
2. 항목의 합계는 다음과 같습니다 $1.$

반대로, 이 두 가지 속성을 만족하는 모든 열 벡터는 확률적 상태를 나타내는 것으로 간주할 수 있습니다. 여기서는 이러한 형태의 벡터를 확률 벡터라고 합니다.

이 표기법의 간결함과 더불어 확률 상태를 열 벡터로 식별하면 곧 설명할 것처럼 확률 상태에 대한 연산이 행렬-벡터 곱셈을 통해 표현된다는 이점이 있습니다.

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확률 상태 측정

다음으로 시스템이 확률적 상태에 있을 때 시스템을 측정하면 어떤 일이 발생하는지 생각해 보겠습니다. 여기서 시스템을 측정한다는 것은 단순히 시스템을 보고 어떤 고전적인 상태인지 모호함 없이 인식한다는 의미입니다. 직관적으로 말하자면, 우리는 시스템의 확률적 상태를 '볼' 수 없으며, 단지 가능한 고전적 상태 중 하나를 볼 수 있을 뿐입니다.

시스템을 측정함으로써 시스템에 대한 지식도 변경될 수 있으며, 따라서 시스템과 연관된 확률적 상태도 변경될 수 있습니다. 즉, $\mathsf{X}$ 이 고전적인 상태 $a\in\Sigma,$ 에 있다는 것을 인식하면 $\mathsf{X}$ 상태에 대한 지식을 나타내는 새로운 확률 벡터는 $a$ 에 해당하는 항목에 $1$, 다른 모든 항목에 대해 $0$ 를 갖는 벡터가 됩니다. 이 벡터는 $\mathsf{X}$ 이 고전적인 상태 $a$ 에 있음을 확실하게 나타내며(방금 인식했으므로 알 수 있습니다), 곧 설명할 이유 때문에 이 벡터를 $\vert a\rangle,$ 로 표시하고 "ket $a$ "로 읽습니다. 이러한 종류의 벡터를 표준 기준 벡터라고도 합니다.

예를 들어, 우리가 염두에 두고 있는 시스템이 비트라고 가정하면, 표준 기준 벡터는 다음과 같이 주어집니다

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

모든 2차원 열 벡터는 이 두 벡터의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

이 사실은 모든 고전적인 상태 집합으로 자연스럽게 일반화됩니다. 모든 열 벡터는 표준 기저 상태의 선형 조합으로 작성할 수 있습니다. 우리는 종종 이런 식으로 벡터를 표현합니다.

측정 시 확률적 상태의 변화로 돌아가서, 우리는 일상적인 경험과 다음과 같은 연관성을 발견할 수 있습니다. 공정한 동전을 던졌지만 동전을 보기 전에 동전을 가린다고 가정해 봅시다. 그러면 그 확률적 상태는 다음과 같다고 말할 수 있습니다

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

여기서 코인의 고전적인 상태 집합은 $\{\text{heads},\text{tails}\}.$ 이러한 상태는 앞쪽이 먼저, 뒤쪽이 나중에 정렬되도록 선택합니다.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

동전을 꺼내서 보면 앞면 또는 뒷면이라는 두 가지 고전적인 상태 중 하나를 볼 수 있습니다. 결과가 꼬리라고 가정하면, 우리는 자연스럽게 동전의 확률적 상태에 대한 설명을 업데이트하여 다음과 같이 될 것입니다 $|\text{tails}\rangle.$ 물론, 동전을 은폐했다가 다시 꺼내서 보면 고전적인 상태는 여전히 꼬리가 될 것이며, 이는 벡터로 설명되는 확률적 상태와 일치합니다 $|\text{tails}\rangle.$

사소해 보일 수도 있고, 어떤 의미에서는 그렇습니다. 그러나 양자 시스템은 완전히 유사한 방식으로 작동하지만, 측정 속성은 종종 이상하거나 특이한 것으로 간주됩니다. 고전적 시스템의 유사 속성을 확립함으로써 양자 정보가 작동하는 방식이 덜 낯설게 보일 수 있습니다.

확률적 상태의 측정과 관련하여 마지막으로 한 가지 말씀드리고 싶은 것은 이것입니다: 확률적 상태는 지식이나 믿음을 설명하는 것이지 반드시 실제적인 것이 아니며, 측정은 우리의 지식을 변화시킬 뿐 시스템 자체를 변화시키지 않습니다. 예를 들어, 동전을 뒤집은 후 보기 전의 동전 상태는 앞면 또는 뒷면 중 하나이지만, 보기 전까지는 어느 쪽인지 알 수 없습니다. 예를 들어, 고전적인 상태가 꼬리라는 것을 알게 되면 우리는 자연스럽게 지식을 설명하는 벡터를 $|\text{tails}\rangle,$ 로 업데이트하지만 동전이 발견될 때 동전을 보지 못한 다른 사람에게는 확률적 상태가 그대로 유지될 것입니다. 개인마다 특정 시스템에 대한 지식이나 신념이 다를 수 있으며, 따라서 해당 시스템을 다른 확률 벡터로 설명할 수 있습니다.

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클래식 연산

클래식 정보에 대한 간략한 요약의 마지막 부분에서는 클래식 시스템에서 수행할 수 있는 작업의 종류에 대해 살펴보겠습니다.

결정론적 연산 ###

첫째, DETERMINISTIC우연이나 불확실성 요소 없이 입력에 의해 결과가 완전히 결정되는 경우 연산을 결정론적이라고 합니다. 연산이 있는데, 각 클래식 상태 $a\in\Sigma$ 가 어떤 함수 $f$ 의 경우 $f(a)$ 로 변환됩니다 $f:\Sigma\rightarrow\Sigma.$

예를 들어 $\Sigma = \{0,1\},$ 이 형식의 함수는 $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ $f_4,$ 네 가지가 있으며, 다음과 같이 값 테이블로 표현할 수 있습니다:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

첫 번째와 마지막 함수는 상수입니다. 각 $a\in\Sigma.$ 에 대해 $f_1(a) = 0$ 과 $f_4(a) = 1$ 가운데 두 개는 상수가 아니며 균형적입니다. 두 출력 값은 가능한 입력을 탐색할 때 각각 같은 횟수(이 경우 한 번)로 발생합니다. $f_2$ 함수는 ID 기능ID 함수는 입력값을 변경하지 않고 반환합니다. : $f_2(a) = a$ 각각에 대한 함수입니다 $a\in\Sigma.$ 그리고 $f_3$ 함수는 $f_3(0) = 1$ 및 $f_3(1) = 0,$ 함수로 더 잘 알려져 있습니다.

확률적 상태에 대한 결정론적 연산의 동작은 행렬-벡터 곱셈으로 표현할 수 있습니다. 구체적으로, 주어진 함수 $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ 를 나타내는 행렬 $M$ 은 다음을 만족하는 행렬입니다

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

모든 $a\in\Sigma.$ 이러한 행렬은 항상 존재하며 이 요구 사항에 따라 고유하게 결정됩니다. 결정론적 연산을 나타내는 행렬은 항상 각 열에 정확히 하나의 $1$, 다른 모든 항목에 대해서는 $0$ 이 있습니다.

예를 들어, 위의 함수 $f_1,\ldots,f_4$ 에 해당하는 행렬 $M_1,\ldots,M_4$ 은 다음과 같습니다:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

다음은 첫 번째 행렬이 올바른지 빠르게 확인할 수 있는 예시입니다. 나머지 세 가지도 비슷하게 확인할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

이러한 행렬과 다른 형태의 행렬을 표현하는 편리한 방법은 앞서 설명한 열 벡터의 표기법과 유사한 행 벡터의 표기법을 사용합니다. $\langle a \vert$ 에 해당하는 항목에 $1$ 이 있는 행 벡터는 $a$ 로, 다른 모든 항목에 대해서는 0 으로 각각 표시합니다 $a\in\Sigma.$ 이 벡터는 "bra $a.$ "로 읽습니다

예를 들어 $\Sigma = \{0,1\},$

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

모든 클래식 상태 집합 $\Sigma,$ 의 경우 행 벡터와 열 벡터를 행렬로 보고 행렬 곱셈을 수행할 수 있습니다 $\vert b\rangle \langle a\vert.$ $1$ $(b,a),$ 쌍에 해당하는 항목의 행은 클래식 상태 $b$, 열은 클래식 상태 $a,$, 다른 모든 항목은 $0$ 에 해당하는 정사각형 행렬을 얻습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

이 표기법을 사용하면 주어진 함수 $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ 에 해당하는 행렬 $M$ 을 다음과 같이 표현할 수 있습니다

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

예를 들어, 위의 $f_4$ 함수를 고려하면 $\Sigma = \{0,1\}.$ 행렬을 얻습니다

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

그 이유는 다음과 같습니다. 다시 벡터를 행렬로 생각하고 이번에는 곱셈 $\langle a \vert \vert b \rangle,$ 을 고려하면 $1\times 1$ 행렬을 얻을 수 있으며, 이는 스칼라(즉, 숫자)로 생각할 수 있습니다. 깔끔함을 위해 이 제품은 다음과 같이 표기하지 않고 $\langle a \vert b\rangle$ 으로 표기합니다 $\langle a \vert \vert b \rangle.$ 이 제품은 다음과 같은 간단한 공식을 충족합니다:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

이 관찰을 행렬 곱셈이 연관적이고 선형적이라는 사실과 함께 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

각각에 대해 $b\in\Sigma,$ 이는 바로 매트릭스에 필요한 것입니다 $M.$

다음 단원에서 더 자세히 설명하겠지만, $\vert a\rangle$ 벡터와 $\langle a \vert b \rangle$ 벡터 사이의 내부 곱으로 볼 수도 있습니다 $\vert b\rangle.$ 내부 곱은 양자 정보에서 매우 중요하지만, 이에 대한 논의는 필요할 때까지 뒤로 미루겠습니다.

이 시점에서 "bra"와 "ket"이라는 이름을 알 수 있습니다. "bra" $\langle a\vert$ 와 "ket" $\vert b\rangle$ 을 합치면 "브래킷"이 됩니다 $\langle a \vert b\rangle.$ 이 표기법과 용어는 폴 디락폴 디랙은 양자 물리학의 발전에 크게 기여한 물리학자였습니다. 에 따른 것으로, 이러한 이유로 디락 표기법으로 알려져 있습니다.

확률 연산 및 확률 행렬

결정론적 연산 외에도 확률론적 연산 도 있습니다.

예를 들어 비트에 대한 다음 연산을 생각해 보세요. $0$ 비트의 고전적 상태가 $0,$ 인 경우 그대로 두고, 비트의 고전적 상태가 $1,$ 인 경우 뒤집어서 확률 $1/2$ 및 확률 $1$ 이 되도록 합니다 $1/2.$ 이 연산은 행렬로 표현됩니다

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

이 행렬에 두 개의 표준 기저 벡터를 곱하면 이 행렬이 올바른 작업을 수행하는지 확인할 수 있습니다.

고전적인 상태 집합을 임의로 선택할 경우, 모든 확률 연산 집합을 수학 용어로 표현하면 이 두 가지 속성을 만족하는 행렬인 Stochastic확률적이란 대략 무작위라는 뜻입니다. 확률 행렬은 무작위 프로세스를 나타냅니다. 행렬로 표현되는 집합으로 설명할 수 있습니다:

1. 모든 항목은 음수가 아닌 실수입니다.
2. 모든 열의 항목의 합계는 다음과 같습니다 $1.$

마찬가지로 확률 행렬은 열이 모두 확률 벡터를 형성하는 행렬입니다.

확률 연산을 직관적인 수준에서 생각하면 위의 예시처럼 연산 중에 무작위성이 어떻게든 사용되거나 도입될 수 있는 연산으로 생각할 수 있습니다. 확률 연산에 대한 확률 행렬 설명과 관련하여 각 열은 해당 열에 해당하는 고전적 상태 입력이 주어졌을 때 생성되는 확률 상태의 벡터 표현으로 볼 수 있습니다.

확률 행렬은 확률 벡터를 항상 확률 벡터에 매핑하는 행렬이라고 생각할 수도 있습니다. 즉, 확률 행렬은 항상 확률 벡터를 확률 벡터에 매핑하며, 확률 벡터를 확률 벡터에 항상 매핑하는 행렬은 모두 확률 행렬이어야 합니다.

마지막으로, 확률 연산에 대한 또 다른 생각은 결정론적 연산에 대한 무작위 선택이라는 것입니다. 예를 들어, 위 예제의 연산은 각각 확률에 따라 동일성 함수 또는 상수 0 함수를 적용하는 것으로 생각할 수 있습니다 $1/2.$ 이는 다음 방정식과 일치합니다

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

이러한 표현은 고전적 상태 집합과 해당 고전적 상태 집합으로 식별되는 행과 열이 있는 확률 행렬을 임의로 선택하면 항상 가능합니다.

확률 연산 구성

$\mathsf{X}$ 이 고전적 상태 집합을 가진 시스템이고 $\Sigma,$ 과 $M_1,\ldots,M_n$ 이 시스템의 확률적 연산을 나타내는 확률 행렬이라고 가정해 보겠습니다 $\mathsf{X}.$

첫 번째 연산 $M_1$ 을 확률 벡터 $u,$ 로 표현되는 확률 상태에 적용하면 결과 확률 상태는 벡터로 표현됩니다 $M_1 u.$ 그런 다음 두 번째 확률 연산 $M_2$ 을 이 새로운 확률 벡터에 적용하면 확률 벡터를 얻을 수 있습니다

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

행렬 곱셈(특수한 경우로 행렬-벡터 곱셈을 포함)이 연관괄호의 위치를 이동하고 동일한 결과를 얻을 수 있다면 연산의 연관성이 있는 것입니다. 연산이라는 사실에서 동등성이 도출됩니다. 따라서 $M_1$ 을 먼저 적용한 다음 $M_2,$ 을 적용하는 첫 번째와 두 번째 확률 연산 작성컴포지션은 하나의 기능이나 작업을 차례로 적용하는 것을 말합니다. 을 통해 얻은 확률 연산은 반드시 확률적 행렬 $M_2 M_1,$ 로 표현됩니다.

보다 일반적으로 행렬 $M_1,\ldots,M_n$ 으로 표현되는 확률 연산을 $M_1$ 이 먼저 적용되고 $M_2$ 이 두 번째로 적용되고 $M_n$ 이 마지막으로 적용되는 순서로 구성하면 다음과 같이 표현됩니다 행렬 곱

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

행렬 곱셈은 연관성이 있지만 교환입력 순서를 바꿔도 결과가 바뀌지 않으면 연산은 순열 연산입니다. 연산이 아니므로 여기서 순서가 중요합니다. 예를 들어, 아래와 같은 명령문 다음에

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

그러면

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

즉, 확률 연산이 구성되는 순서가 중요하며, 구성에서 연산이 적용되는 순서를 변경하면 결과 연산이 달라질 수 있습니다.