샘플 기반 크릴로프 양자 대각화법 (SKQD)

샘플 기반 크릴로프 양자 대각선화(SKQD)에 대한 이 강의는 이전 강의에서 설명한 방법을 결합한 것입니다. 이 예제는 키스킷 패턴 프레임워크를 활용하는 단일 예제로 구성되어 있습니다:

1단계: 양자 회로 및 연산자에 문제 매핑하기
2단계: 대상 하드웨어에 최적화
3단계: IBM Quantum 기본 함수를 사용하여 실행하기
4단계: 포스트 프로세스

샘플 기반 양자 대각선화 방법에서 중요한 단계는 하위 공간에 대한 품질 벡터를 생성하는 것입니다. 이전 단원에서는 화학 해밀턴의 아공간 벡터를 생성하기 위해 LUCJ 안사츠를 사용했습니다. 이 단원에서는 2강에서 설명한 대로 양자 크릴로프 상태 [1] 를 사용합니다. 먼저 시간 진화 연산을 사용하여 양자 컴퓨터에서 크릴로프 공간을 생성하는 방법을 살펴봅니다. 그런 다음 샘플을 추출합니다. 시스템 해밀턴을 샘플링된 하위 공간에 투영하고 대각선으로 대각선화하여 기저 상태 에너지를 추정합니다. 이 알고리즘은 2과에서 설명한 가정 하에서 증명 가능하고 효율적으로 기저 상태로 수렴합니다.

0. 크릴로프 공간

차수 $r$ 의 크릴로프 공간 $\mathcal{K}^r$ 은 행렬 $A$ 의 상위 거듭제곱을 $r-1$ 까지 곱하여 얻은 벡터와 참조 벡터 $\vert v \rangle$ 로 이루어진 공간이라는 점을 기억하세요.

\mathcal{K}^r = \left\{ \vert v \rangle, A \vert v \rangle, A^2 \vert v \rangle, ..., A^{r-1} \vert v \rangle \right\}

행렬 $A$ 이 해밀턴 $H$ 인 경우, 해당 공간을 파워 크릴로프 공간 $\mathcal{K}_P$ 이라고 합니다. $A$ 이 해밀턴 $U=e^{-iH(dt)}$ 에 의해 생성된 시간 진화 연산자인 경우, 해당 공간을 단일 크릴로프 공간 $\mathcal{K}_U$ 이라고 합니다. 파워 크릴로프 부분공간은 $H$ 이 단일 연산자가 아니므로 양자 컴퓨터에서 직접 생성할 수 없습니다. 대신 시간 진화 연산자 $U = e^{-iH(dt)}$ 를 사용하면 파워 크릴로프 공간과 유사한 수렴을 보장하는 것으로 나타낼 수 있습니다. $U$ $U^k = e^{-iH(k dt)}$ 의 값은 에서 다른 시간 단계가 됩니다. $k = 0, 1, 2, ..., (r-1)$

\mathcal{K}_U^r = \left\{ \vert \psi \rangle, U \vert \psi \rangle, U^2 \vert \psi \rangle, ..., U^{r-1} \vert \psi \rangle \right\}

1. 문제를 양자 회로 및 연산자로 매핑한다

이 단원에서는 주기적 경계 조건이 있는 $L = 22$ 사이트가 있는 반자성 XX-Z spin-1/2 사슬에 대한 해밀턴을 고려합니다:

H = \sum_{i, j}^{N} J_{xy} (X_{i} X_{j} + Y_{i} Y_{j}) + Z_{i} Z_{j}

from qiskit.transpiler import CouplingMap
from qiskit_addon_utils.problem_generators import generate_xyz_hamiltonian

num_spins = 22
coupling_map = CouplingMap.from_ring(num_spins)
H_op = generate_xyz_hamiltonian(coupling_map, coupling_constants=(0.3, 0.3, 1.0))

크릴로프 공간을 구성하려면 세 가지 주요 요소가 필요합니다:

크릴로프 차원( $r$ ) 및 시간 단계( $dt$ ) 선택.
목표(지면) 상태와 다항식으로 겹치는 초기(기준) 상태(위의 벡터 $\vert v \rangle$ )로, 목표 상태가 희박한 경우입니다. 다항식 중첩에 대한 이러한 요구 사항은 양자 위상 추정 알고리즘에서와 동일합니다.
시간 진화 연산자 $U^{k}=e^{-iH(k * dt)}$ ( $k = 0, 1, 2, ..., r-1$ ).

선택한 값 $r$ (및, $dt$ )에 대해 $r$ 별도의 양자 회로를 생성하고 샘플을 생성합니다. 각 양자 회로는 기준 상태의 양자 회로 표현과 시간 진화 연산자를 $k$ 값에 결합하여 만들어집니다.

크릴로프 차원이 클수록 예상 에너지의 수렴이 향상됩니다. 이 단원에서는 컨버전스 추세를 설명하기 위해 차원을 $5$ 으로 설정했습니다.

참고 [2]에 따르면 KQD의 충분히 작은 시간 단계는 $\pi / \vert \vert H \vert \vert$ 이며, 이 값을 과대평가하는 것보다 과소평가하는 것이 바람직하다고 합니다. 반면에 $dt$ 을 너무 작게 선택하면 크릴로프 기저 벡터가 시간 간격마다 덜 달라지기 때문에 크릴로프 아공간이 더 나빠집니다. 또한, 이러한 선택( $dt$ )은 SKQD의 융합에 적합한 것으로 입증되었지만, 샘플링 기반 맥락에서 실제로 최적의 선택( $dt$ )은 계속 연구 중인 주제입니다. 이 단원에서는 $dt = 0.15$ 을 설정합니다.

크릴로프 차원과 시간 단계 외에도 시간 진화를 위한 트로터 단계 수를 설정해야 합니다. 너무 적은 단계를 사용하면 트로터화 오류가 커지고, 너무 많은 단계를 사용하면 회로가 더 깊어집니다. 이 레슨에서는 트로터 걸음 수를 $6$ 로 설정합니다.

# Set parameters for quantum Krylov algorithm
krylov_dim = 5  # size of krylov subspace
dt = 0.15
num_trotter_steps = 6

다음으로, 지상 상태와 일부 겹치는 참조 상태 $\vert \psi \rangle$ 를 선택해야 합니다. 이 해밀턴의 경우, 1s 와 0s $\vert ...101...010...101 \rangle$ 를 번갈아 가며 Neel 상태를 참조 상태로 사용합니다.

# Prep `Neel` state as the reference state for evolution
from qiskit import QuantumCircuit

qc_state_prep = QuantumCircuit(num_spins)
for i in range(num_spins):
    if i % 2 == 0:
        qc_state_prep.x(i)

마지막으로 시간 진화 연산자를 양자 회로에 매핑해야 합니다. 이 작업은 2강에서 수행했지만 여기서는 키스킷의 메서드, 특히 합성이라는 메서드를 활용하겠습니다. 양자 게이트가 있는 양자 회로에 수학 연산자를 합성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이러한 많은 기술은 키스킷 합성 모듈에서 사용할 수 있습니다. 합성을 위해 LieTrotter 접근 방식을 사용합니다 [3] [4].

from qiskit.circuit import QuantumRegister
from qiskit.circuit.library import PauliEvolutionGate
from qiskit.synthesis import LieTrotter

evol_gate = PauliEvolutionGate(
    H_op, time=(dt / num_trotter_steps), synthesis=LieTrotter(reps=num_trotter_steps)
)  # `U` operator

qr = QuantumRegister(num_spins)
qc_evol = QuantumCircuit(qr)
qc_evol.append(evol_gate, qargs=qr)

circuits = []
for rep in range(krylov_dim):
    circ = qc_state_prep.copy()

    # Repeating the `U` operator to implement U^0, U^1, U^2, and so on, for power Krylov space
    for _ in range(rep):
        circ.compose(other=qc_evol, inplace=True)

    circ.measure_all()
    circuits.append(circ)

circuits[1].decompose().draw("mpl", fold=-1)

Output:

circuits[2].decompose().draw("mpl", fold=-1)

Output:

2. 대상 하드웨어에 최적화

이제 회로를 만들었으니 대상 하드웨어에 맞게 최적화할 수 있습니다. 유틸리티 스케일 QPU를 선택합니다.

import warnings

from qiskit import generate_preset_pass_manager
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

warnings.filterwarnings("ignore")

service = QiskitRuntimeService()
# Use the least-busy backend or specify a quantum computer using the syntax commented out below.
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
# backend = service.backend("ibm_brisbane")

이제 사전 설정된 패스 관리자를 사용하여 회로를 대상 백엔드로 트랜스파일합니다.

pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=3)
isa_circuits = pm.run(circuits=circuits)

3. 대상 하드웨어에서 실행

하드웨어 실행을 위해 회로를 최적화한 후, 대상 하드웨어에서 실행하고 접지 상태 에너지 추정을 위한 샘플을 수집할 준비가 되었습니다.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

sampler = Sampler(mode=backend)
job = sampler.run(isa_circuits, shots=100_000)  # Takes approximately 2m 58s of QPU time

counts_all = [job.result()[k].data.meas.get_counts() for k in range(krylov_dim)]

4. 결과 후처리

다음으로, 크릴로프 차원을 증가시키는 횟수를 누적 방식으로 집계합니다. 누적 카운트를 사용하여 크릴로프 차원을 증가시키기 위해 하위 공간을 확장하고 수렴 동작을 분석합니다.

from collections import Counter

counts_cumulative = []
for i in range(krylov_dim):
    counter = Counter()
    for d in counts_all[: i + 1]:
        counter.update(d)

    counts = dict(counter)
    counts_cumulative.append(counts)

해밀턴을 투영하고 대각선화하기 위해 다음과 같은 기능을 사용합니다 qiskit-addon-sqd. 이 애드온은 폴리 문자열 기반 해밀턴을 하위 공간에 투영하고 SciPy 을 사용하여 고유값을 푸는 기능을 제공합니다.

from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays
from qiskit_addon_sqd.qubit import solve_qubit

원칙적으로 하위 공간에 걸쳐서 잘못된 패턴의 비트스트링을 필터링할 수 있습니다. 예를 들어, 이 단원의 반자기 해밀턴의 기저 상태는 일반적으로 "위" 및 "아래" 스핀의 수가 같으며, 즉 비트 문자열의 "1"의 수는 시스템의 총 비트(스핀) 수의 정확히 절반이 되어야 합니다. 다음 함수는 카운트에서 "1"의 개수가 잘못된 비트 문자열을 필터링합니다.

# Filters out bitstrings that do not have specified number (`num_ones`) of `1` bits.
def postselect_counts(counts, num_ones):
    filtered_counts = {}
    for bitstring, freq in counts.items():
        if bitstring.count("1") == num_ones:
            filtered_counts[bitstring] = freq

    return filtered_counts

정확한 수의 위/아래 전자를 가진 비트스트링을 사용하여 서브스페이스를 확장하고 크릴로프 차원을 증가시키기 위한 고유값을 계산합니다. 문제 크기와 사용 가능한 클래식 리소스에 따라 하위 공간 차원을 유지하기 위해 서브샘플링을 채택해야 할 수도 있습니다( SQD에 대한 강의와 유사). 또한 4강과 유사한 구성 복구의 개념을 적용할 수 있습니다. 재구성된 고유 상태로부터 사이트당 전자 점유량을 계산하고 이 정보를 사용해 위/아래 전자 수가 잘못된 비트스트링을 수정할 수 있습니다. 관심 있는 독자들을 위한 연습 문제로 남겨두겠습니다.

import numpy as np

num_batches = 10
rand_seed = 0
scipy_kwargs = {"k": 2, "which": "SA"}

ground_state_energies = []
for idx, counts in enumerate(counts_cumulative):
    counts = postselect_counts(counts, num_ones=num_spins // 2)
    bitstring_matrix, probs = counts_to_arrays(counts=counts)

    eigenvals, eigenstates = solve_qubit(
        bitstring_matrix, H_op, verbose=False, **scipy_kwargs
    )
    gs_en = np.min(eigenvals)
    ground_state_energies.append(gs_en)

다음으로, 계산된 에너지를 크릴로프 차원의 함수로 플롯하고 정확한 에너지와 비교합니다. 정확한 에너지는 고전적인 무차별 대입 방법을 사용하여 별도로 계산합니다. 예상 접지 상태 에너지는 크릴로프 공간 차원이 증가함에 따라 수렴하는 것을 볼 수 있습니다. $5$ 의 크릴로프 차원은 제한적이지만, 결과는 여전히 인상적인 수렴을 보여주며, 더 큰 크릴로프 차원으로 개선될 것으로 예상됩니다 [1].

import matplotlib.pyplot as plt

exact_gs_en = -23.934184
plt.plot(
    range(1, krylov_dim + 1),
    ground_state_energies,
    color="blue",
    linestyle="-.",
    label="estimate",
)
plt.plot(
    range(1, krylov_dim + 1),
    [exact_gs_en] * krylov_dim,
    color="red",
    linestyle="-",
    label="exact",
)
plt.xticks(range(1, krylov_dim + 1), range(1, krylov_dim + 1))
plt.legend()
plt.xlabel("Krylov space dimension")
plt.ylabel("Energy")
plt.ylim([-24, -22.50])
plt.title(
    "Estimating Ground state energy with Sample-based Krylov Quantum Diagonalization"
)
plt.show()

Output:

이해도 점검

아래 질문을 읽고 답을 생각한 다음 삼각형을 클릭하면 해답을 확인할 수 있습니다.

응답:
크릴로프 차원을 늘립니다. 일반적으로 촬영 횟수를 늘릴 수도 있지만, 위의 계산에서 이미 상당히 높은 수치입니다.
응답:
다른 유효한 답변이 있을 수 있지만 완전한 답변에는 다음이 포함되어야 합니다:
(a) SKQD에는 SQD에는 없는 융합 보증이 제공됩니다. SQD에서는 계산 기반에서 기저 상태 지원과 매우 잘 겹치는 안사츠에 대해 매우 잘 추측하거나, 계산에 변형 구성 요소를 도입하여 안사츠의 제품군을 샘플링해야 합니다.
(b) SKQD는 하다마드 테스트를 통한 행렬 요소의 값비싼 계산을 피하기 때문에 훨씬 적은 QPU 시간을 필요로 합니다.

5. 요약

크릴로프 기저 상태 샘플링을 통한 기저 상태 에너지 추정은 스핀 시스템, 응축 물질 문제, 격자 게이지 이론을 포함한 격자 모델에 매우 적합합니다. 이 접근 방식은 VQE에서처럼 가변적 해법이나 휴리스틱 해법 기반 SQD(예: 이전 단원의 화학 문제)에서 많은 매개 변수에 대한 최적화가 필요하지 않으므로 VQE보다 훨씬 더 확장성이 뛰어납니다.
- 회로 깊이를 낮게 유지하려면 사전 내결함성 하드웨어에 적합한 격자 문제를 해결하는 것이 현명합니다.
SKQD는 VQE와 같은 양자 측정 문제가 발생하지 않습니다. 출퇴근하는 폴리 운영자 그룹을 추정할 수 없습니다.
SKQD는 문제별 사후 선별 루틴(예를 들어, 문제별 패턴을 따르지 않는 비트열을 걸러내는 방식)을 사용하거나, 전통적인 대각화 오버헤드(즉, 더 큰 부분공간에서 대각화하는 방식)를 감수함으로써 노이즈의 영향을 효과적으로 제거할 수 있으므로 노이즈가 포함된 샘플에 대해 견고한 성능을 보인다.

참조

[1] 제프리 유 외., "샘플 기반 크릴로프 대각선화를 위한 양자 중심 알고리즘" (2025). arxiv:quant-ph/2501.09702.

[2] 에단 N. 에펄리, 린 린, 나카츠카사 유지. "양자 아공간 대각선화 이론". SIAM 행렬 분석 및 응용 저널 43, 1263-1290 (2022).

[2] N. 하타노와 M. 스즈키, "고차 지수의 지수 곱 공식 찾기"(2005). arXiv:math-ph/0506007.

[4] D. 베리, G. 아호카스, R. 클레브, B. 샌더스, "희소 해밀턴 시뮬레이션을 위한 효율적인 양자 알고리즘"(2006). arXiv:quant-ph/0508139.

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