A natureza dos estados quânticos: variáveis ocultas versus desigualdade de Bell

Para este módulo do Qiskit in Classrooms, os alunos devem ter um ambiente Python em funcionamento com os seguintes pacotes instalados:

• qiskit v2.1.0 ou mais recente
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 ou mais recente
• qiskit-aer v0.17.0 ou mais recente
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Para configurar e instalar os pacotes acima, consulte o guia Instalar o Qiskit. Para executar trabalhos em computadores quânticos reais, os alunos precisarão configurar uma conta no IBM Quantum® seguindo as etapas do guia Configurar sua conta IBM Cloud.

Esse módulo foi testado e usou 12 segundos de tempo de QPU. Essa é apenas uma estimativa. Seu uso real pode variar.

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Assista ao passo a passo do módulo pela Dra. Katie McCormick abaixo, ou clique aqui para assisti-lo em YouTube.

Segundo plano

Em muitos cálculos da mecânica quântica, você começa com um estado conhecido de um sistema, e esse estado é normalmente conhecido por meio de uma medição. Hoje, queremos responder à pergunta: "O que você pode dizer sobre o estado de uma partícula antes de qualquer medição?" Um corolário óbvio é: "Como podemos saber, se não temos permissão para medir?"

Essa pergunta remonta aos primórdios da mecânica quântica. Os pioneiros da área se dividiram em facções, com Einstein e muitos outros afirmando que uma partícula está simplesmente em um estado desconhecido antes da medição. Outros, notadamente Max Born e, mais tarde, Niels Bohr, fizeram uma afirmação mais radical, dizendo que o estado de uma partícula era realmente indeterminado pela natureza antes da medição, e não apenas desconhecido pelos seres humanos. A medição, então, colapsa probabilisticamente a partícula em um estado definido. Einstein, insatisfeito com essa explicação, fez a famosa piada: "Gott würfelt nicht", que significa "Deus não joga dados"

Durante décadas após o surgimento desse desacordo, muitos pensaram que ele nunca seria respondido ou que era uma questão de perspectiva. Então, em 1964, John Bell, um físico da Irlanda do Norte, escreveu um artigo no qual explorava as estatísticas de certos experimentos que poderiam responder a essa pergunta de forma definitiva. Ele mostrou que, em um teste específico, chega-se a um conjunto de estatísticas de estados quânticos definidos (mas desconhecidos) e a um conjunto diferente de estatísticas de estados quânticos indeterminados pela natureza.

Na época do artigo de Bell, os testes experimentais das estatísticas envolvidas eram inacessíveis para todos, exceto para os pesquisadores que estavam na vanguarda da física. Mas hoje, o IBM Quantum possibilitou que estudantes de todo o mundo usassem dispositivos quânticos reais, remotamente pela nuvem e gratuitamente, para explorar a natureza dos estados quânticos. É isso que você fará hoje.

Configuração do experimento mental: entrelaçamento de spin

Há processos nos quais uma partícula sem spin decai em duas partículas que têm spin. Como o spin é um tipo de momento angular, a lei da conservação do momento angular sugere que as duas partículas que saem devem ter spins exatamente desalinhados. De fato, isso é observado experimentalmente.

Um exemplo: um méson pi neutro às vezes decai em um pósitron e um elétron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Não se preocupe se você não sabe o que são essas partículas e não se preocupe se você as conhece tão bem que sabe que esse tipo de decaimento é relativamente improvável. Basta saber que, se uma das partículas de saída tiver spin up, a outra deve ter spin down e vice-versa. É claro que não há nada de especial em "para cima" e "para baixo"; o mesmo desalinhamento é observado se as medições forem feitas ao longo do que costumamos chamar de $x$ ou $y$. Esse decaimento é um contexto interessante para considerarmos, pois podemos evitar perguntas sobre quais medições ocorreram no passado; o pósitron e o elétron nem sequer existiam até o momento do decaimento.

Podemos deixar os mésons $\pi^0$ decaírem e observar a deflexão das partículas que saem sob a influência de um campo magnético não homogêneo. Um campo não homogêneo usado para desviar spins é geralmente chamado de dispositivo Stern-Gerlach, em homenagem aos pesquisadores que o usaram pela primeira vez para obter (acidentalmente) evidências da existência do spin mecânico quântico. Observe que a história aqui é mais complicada do que no experimento original, pois o elétron e o pósitron também são carregados (ao contrário dos átomos de prata no experimento de Stern Gerlach). Mas sabemos como as partículas carregadas se movem em um campo magnético e podemos subtrair esse efeito. A seguir, assumiremos que as deflexões usadas em nossos cálculos são devidas ao spin das partículas e não à carga. Consequentemente, para nossos propósitos, não importa qual observador recebe o pósitron e qual recebe o elétron. A configuração experimental é mais ou menos assim:

Quando o méson decai, um elétron é expulso em uma direção e um pósitron na outra. Cada uma dessas duas partículas viajará por um campo magnético não homogêneo, fazendo com que ela seja desviada na direção do campo magnético ou na direção oposta ao campo magnético.

Se tivermos uma fonte de muitos mésons, poderemos coletar estatísticas sobre isso. Se um observador à esquerda e outro à direita (chame-os de Lucas e Rihanna, respectivamente) sempre medirem ao longo do mesmo eixo, essas estatísticas não serão muito interessantes: toda vez que um mede para cima, o outro mede para baixo; toda vez que um mede para dentro da página, o outro medirá para fora da página, e assim por diante. No entanto, se os jogadores tiverem liberdade para medir o giro em qualquer direção que desejarem, poderemos encontrar algo mais interessante.

O experimento descrito acima, no qual as partículas voam com momento angular de rotação que é medido por dois observadores, foi inicialmente proposto por Einstein, Podolsky e Rosen (EPR) neste artigo, e às vezes é chamado de "experimento EPR".

Nossas opções

Vamos reafirmar os dois pontos de vista históricos, para maior clareza:

Opção 1 (Einstein): Os dois spins (do elétron e do pósitron) são determinados, no sentido de que o resultado de qualquer medição ao longo de qualquer eixo é predeterminado pela natureza, mesmo que não saibamos qual é. Podemos pensar nisso como se os spins tivessem alguma orientação real e bem definida no espaço, que não é conhecida por nós, mas que existe. Ou podemos pensar nisso como um conjunto de informações ou instruções que determinam os resultados das medições ao longo de $x$, $y$, $z$, ou qualquer outra coisa no meio. A medição do spin do pósitron (digamos, ao longo de z) força-o a se orientar e se alinhar na direção z ou -z. Isso não tem influência causal no spin do elétron, embora saibamos que o spin do elétron começou oposto ao spin do pósitron, portanto, se o spin do pósitron for medido ao longo de +z, o spin do elétron será medido ao longo de -z. Além da condição inicial de instruções que conservam o momento angular (os spins estão desalinhados), não há conexão entre os dois spins. Essa opção às vezes é chamada de "variáveis ocultas", como em: as projeções ao longo de diferentes eixos são determinadas, mas estão ocultas para nós.

Opção 2 (Born): Os spins são ambos indeterminados em seus estados iniciais... não apenas desconhecidos, mas mal definidos fisicamente, sem orientação definida ou instruções sobre resultados experimentais, até que sejam medidos. A medição do spin do pósitron "colapsa" o espaço de todas as possibilidades para um único estado determinado, seja ao longo dos eixos +z ou -z. Essa medição do pósitron força o spin do elétron a também entrar em colapso em uma projeção bem definida ao longo de z, exatamente oposta à do pósitron. Esse efeito ocorre espalhado pelo espaço entre o pósitron e o elétron. Isso tem sido chamado de "ação assustadora à distância", mas pode-se chamar de forma menos dramática de "física não local".

Verifique sua compreensão

Seria ótimo distinguir experimentalmente entre as opções de Einstein e Born. Quais seriam alguns experimentos que produziriam os mesmos resultados, independentemente de qual opção fosse a correta? Você consegue pensar em algum experimento que produziria resultados diferentes para as duas opções?

Observação: seria realmente impressionante se você conseguisse conceber um experimento que produzisse resultados diferentes para as opções de Einstein e de Born; levou décadas para que os seres humanos conseguissem criar um.

• Resposta

  Mantendo o experimento descrito até agora (ou seja, nenhum spin líquido com o pósitron e o elétron desalinhados), a medição de ambos os spins ao longo de $\pm x$, $\pm y$, ou $\pm z$ sempre produziria sinais opostos devido à conservação do momento angular, independentemente da opção correta. Medir o spin de uma partícula (digamos, o elétron) ao longo de uma direção (digamos, $+z$ ) significa que o spin da outra partícula, o pósitron, seria medido ao longo de $-z$. Se, em vez disso, você medir o spin do pósitron ao longo da direção $x$, será igualmente provável que o resultado seja $+x$ ou $-x$. Isso pode ocorrer porque é isso que as instruções ocultas dizem (opção 1 de Einstein) ou porque a distribuição de probabilidade do spin do pósitron é atualizada após a medição do spin do elétron e a nova distribuição de probabilidade é consistente com uma divisão 50-50 entre $\pm x$ (opção 2 de Born). Esses pontos são explicados em mais detalhes a seguir.

  A resposta é apenas ligeiramente diferente se considerarmos o decaimento de uma partícula com spin-1, de modo que as duas partículas emergentes (como o pósitron e o elétron) devem ter seus spins alinhados, em vez de desalinhados. Se uma partícula for medida ao longo de $+y$, a medição da outra partícula ao longo do eixo $y$ também deverá produzir $+y$, e assim por diante. Como antes, isso poderia resultar de qualquer uma das opções.

  O restante desta lição é dedicado a um experimento que pode distinguir entre as opções de Einstein e Born e, portanto, não entraremos em muitos detalhes aqui. No entanto, parte do truque é medir as duas partículas ao longo de diferentes direções (como $x$ e $z$, ou mesmo alguma direção entre os eixos cartesianos tradicionais). O restante vem da consideração cuidadosa da probabilidade precisa de obter resultados diferentes, considerando as previsões da mecânica quântica e as das informações clássicas, como nas variáveis ocultas.

Em qualquer uma das opções, se os dois observadores, Lucas e Rihanna, medirem ao longo do mesmo eixo, esperamos que eles obtenham spins desalinhados, independentemente de qual opção seja verdadeira. Para entender o motivo, considere os diagramas abaixo.

A figura acima mostra a opção de Einstein. As direções dos giros são opostas e determinadas. Se medirmos ao longo do eixo $z$, um estará ao longo de $+z$ e o outro ao longo de $-z$. Não temos motivos para supor que o pósitron estaria ao longo de $+z$ e o elétron ao longo de $-z$; a imagem mostra apenas que os spins serão medidos em direções opostas. De fato, um determinado spin não precisa ter um componente de seu spin ao longo da direção eventualmente medida, no caso da opção de Einstein. A afirmação mais fraca da opção de Einstein é a de que há um conjunto de instruções armazenadas no spin que determina quais serão os resultados das medições quando medidas ao longo de qualquer eixo. Não precisamos imaginar que essas instruções estão na forma de um vetor simples (veja o diagrama abaixo); voltaremos a esse assunto mais tarde.

A figura abaixo mostra a opção de Born, na qual as direções dos spins do pósitron e do elétron são espalhadas em uma distribuição de probabilidade e não têm direção definida. Não dê muita importância ao formato da distribuição. Na verdade, cada spin poderia ter uma probabilidade diferente de zero de apontar para qualquer direção, desde que estejam opostos um ao outro; simplesmente os desenhamos como frações do círculo para que possamos distingui-los visualmente para discussão. Observe que, no caso da opção de Born, ainda é verdade que o momento angular deve ser conservado. Portanto, se uma onda de probabilidade for "colapsada" de modo que o spin aponte para $+z$, a outra apontará para $-z$ e será desviada na direção oposta. As opções parecem idênticas.

Mas o que acontece quando os observadores L e R podem medir ao longo de qualquer um dos três eixos, com cada par a 120 graus de distância, conforme mostrado nas Figuras 4 e 5. Cada observador pode decidir aleatoriamente ao longo de qual eixo medirá o giro (a, b ou c). Os dois não precisam medir ao longo do mesmo eixo. Quando cada observador mede, ele pode encontrar uma projeção positiva em seu eixo de escolha, ou pode encontrar uma projeção negativa. Por exemplo, Lucas e Rihanna podem medir +a e -b ou +b e +c. Observe que, se eles optarem por medir ao longo do mesmo eixo, DEVEM obter sinais opostos em suas projeções: +a e -a, +b e -b, ou +c e -c; ambos não podem encontrar, por exemplo, +a. Na próxima seção, veremos como calcular a probabilidade de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal em seus eixos medidos (++ ou --) e sinais opostos (+-) ou (-+).

As duas figuras acima ilustram possíveis interpretações de variáveis ocultas nesse novo cenário de medição de três eixos. Ou seja, ou os spins já estão determinados, como vetores, ou existe um conjunto de instruções físicas de alguma forma incorporado ao sistema, de modo que os resultados de todas as medições possíveis são predeterminados, mesmo que sejam desconhecidos pelos pesquisadores antes da medição. A alternativa é ilustrada abaixo. Existe alguma distribuição de probabilidade de resultados, e essa distribuição pode nos dizer algumas coisas sobre a probabilidade de diferentes resultados de medição, mas os resultados são indeterminados por natureza antes da medição.

Podemos nos perguntar: "Com que frequência os dois jogadores devem encontrar o mesmo sinal da projeção do giro?" Ou seja, não estamos nem mesmo registrando ao longo de qual eixo eles escolheram medir; estamos simplesmente registrando se eles encontraram o mesmo sinal ou um sinal diferente. Não é óbvio se as opções de Einstein e Born produzirão o mesmo resultado nesse esquema de medição mais complicado. No entanto, as Figuras 4 e 5 deixam claro que é $possible$ possível que haja uma diferença. Para o caso mostrado na opção de Einstein, uma medição da projeção do spin de $e+$ no eixo $a$ produzirá definitivamente $+a$, e a projeção do spin de $e-$ no eixo $b$ produzirá $-b$ (quase nada). Mas na opção do Born, as possibilidades são amplas. É verdade que o momento angular ainda é conservado. Porém, como os dois campos magnéticos não estão orientados ao longo do mesmo eixo, forçamos as partículas a uma situação em que elas devem colapsar em eixos diferentes (por meio de interações com o campo). Na próxima seção, usaremos a mecânica quântica para determinar quais devem ser as probabilidades, dada a opção de Born, de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal em seus eixos medidos (++ ou --) e as probabilidades de obterem sinais opostos (+- ou -+).

Predições

O que a opção de Einstein (variáveis ocultas) prevê?

Se a opção de Einstein for verdadeira, então qualquer par de $e+$ e $e-$ terá um conjunto de componentes vetoriais para seus spins. Por exemplo, o elétron pode ter componentes $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$ e, nesse caso, o pósitron deve ter componentes $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Estamos especificando aqui apenas o sinal da projeção em cada eixo, não a magnitude. Imagine que permitimos a ocorrência de um número muito grande $N$ desses decaimentos e coletamos medições para preencher a tabela abaixo.

Para cada caso da tabela acima, há 9 opções possíveis para os eixos de Lucas e Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$, e $cc$. Lendo essa tabela, a probabilidade de os dois observadores medirem o mesmo sinal para as linhas 1 e 8 é zero. Para as linhas 2-7, há quatro maneiras de obter o mesmo sinal, que mostraremos apenas para a linha 2:

Os mesmos sinais: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Sinais opostos: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Portanto, se a opção de Einstein for a interpretação correta dos estados quânticos, a probabilidade total, somada a todas as populações possíveis, de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal de projeção de spin em seus eixos escolhidos aleatoriamente seria: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Onde a igualdade é válida somente se $N_1=N_8=0$.

Verifique sua compreensão

Na linha 2 do gráfico acima, listamos todas as maneiras possíveis de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal para suas medidas e todas as maneiras de obterem sinais diferentes. Repita isso para a terceira fileira.

• Resposta

  Os mesmos sinais: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

  Sinais opostos: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

A tabela acima se refere a "populações", o que significa que não sabemos quantos de cada tipo de instrução a natureza produz, se o tratamento de variáveis ocultas estiver correto. Mostre que, independentemente da distribuição de $N_1$ a $N_8$, a probabilidade de obter o mesmo sinal a partir das medições é sempre menor ou igual a 4/9.

• Resposta

  Vamos começar supondo um número constante de tentativas de medição total, de modo que $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ seja constante. Observe que, no caso especial em que $N_1=N_8=0$, a expressão se reduz a

  $$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

  Agora, suponha que $N_1 \neq 0$ ou $N_8 \neq 0$

  $$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

  A soma de todas as tentativas, $N_tot$, ainda é a mesma de antes. Mas como $N'_1$ ou $N'_8$ aumentou de 0, a soma de $N'_2$ a $N'_7$ deve ser menor do que antes. Em particular, a soma de $N'_2$ a $N'_7$ é menor do que $N_{tot}$. Portanto

  $$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

  Combinando todos os casos possíveis, temos $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Generalização

No tratamento acima, consideramos medições ao longo de eixos específicos. É claro que é possível fazer medições ao longo de qualquer eixo. Vamos chamar os dois vetores de spin de duas partículas de $\vec{a}$ e $\vec{b}$. Seja $\lambda$ uma variável oculta, de modo que um estado do sistema de duas partículas corresponda a um valor bem definido de $lambda$. Seja $\rho(\lambda)$ a densidade de probabilidade em $\lambda$. Por fim, escolhemos os símbolos $A(\vec{a},\lambda)$ e $B(\vec{b},\lambda)$ para ser o resultado predeterminado de uma medição realizada em uma das partículas (A ou B), dados os vetores de spin e a variável oculta. De forma crítica, observe que $A$ é independente de $\vec{b}$ e $B$ é independente de $\vec{a}$. Pode-se agora fazer qualquer número de perguntas relacionadas às correlações entre as medições em A e B. Em particular, pode-se perguntar sobre o valor esperado dado por

Com algumas suposições padrão sobre esses valores, como $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$ e normalização sobre $\rho(\lambda)$, é possível mostrar que as correlações entre as duas partículas obedecem à relação

em que $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são os estados de spin do seu sistema e $\vec{c}$ e $\vec{d}$ são estados de spin de referência (quaisquer outros estados de spin possíveis do sistema). Essa é uma de uma classe inteira de desigualdades conhecidas atualmente como "desigualdades de Bell". Não usaremos essa forma geral aqui. Em vez disso, vamos nos concentrar em uma configuração experimental específica, para que possamos mapear essa configuração em um circuito quântico.

O que prevê a opção de Born (mecânica quântica não determinística)?

Lucas escolherá um eixo e descobrirá que o spin de uma partícula está na direção positiva ou negativa. Independentemente do que ele obtiver, vamos orientar nossos eixos de modo que o eixo $z$ seja essa direção. Então, podemos escrever o estado inicial após o decaimento do méson e antes de qualquer medição como

Rihanna medirá o giro de sua partícula ao longo de alguma outra direção em um ângulo $\theta$ em relação ao de Lucas. O operador de spin ao longo de alguma direção arbitrária $\hat{n}$ é dado por

Os estados próprios desse operador são

Verifique sua compreensão

Verifique se $|+\rangle_{\hat{n}}$ é um estado próprio do operador $\hat{S}_{\hat{n}}$ acima e encontre o valor próprio.

• Resposta
  $$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

  Usando $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ e $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, temos

  $$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

  Isso demonstra que $|+\rangle_{\hat{n}}$ é um estado próprio e o valor próprio correspondente é $\frac{\hbar}{2}$.

A probabilidade de Lucas medir um spin na direção positiva ao longo do eixo que ele escolheu $|+\rangle$ $and$ de Rihanna também medir um spin positivo ao longo da direção escolhida $|+\rangle_{\hat{n}}$ é

Verifique sua compreensão

Faça o mesmo para $P_{--}$. Verifique se ele também é igual a $\frac{1}{2}\sin^2(\theta).$

• Resposta
  $$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Somando esses resultados, descobrimos que a probabilidade de os sinais dos dois eixos medidos serem os mesmos $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Verifique sua compreensão

O que você poderia fazer para verificar a matemática desse resultado? Para deixar claro, não estamos pedindo que você verifique ainda se isso corresponde à natureza, apenas para ter certeza de que nada deu errado em toda a matemática.

• Resposta

  (1) Faça o mesmo cálculo para $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ para verificar a conservação da probabilidade.

  (2) Verifique um caso conhecido. Insira $\theta = 0$. Então $P_{\text{same}}$ corresponde aos dois observadores que medem seu giro ao longo do mesmo eixo, o que violaria a conservação do momento angular. Portanto, você esperaria que essa probabilidade fosse zero e, de fato, ao inserir $\theta = 0$, obtém-se $\sin^2(0/2) = 0$.

  (3) Verifique um caso conhecido diferente. Tente $\theta = \pi$. O que você deve obter. Cuidado com o site $\frac{1}{2}$.

Estávamos esboçando especificamente o caso em que os eixos estão em $120\deg$ um em relação ao outro. Lembre-se, qualquer que seja a direção ( $\pm a$, $\pm b$, ou $\pm c$ ) obtida por Lucas, nós a chamamos de $z$. Então, Rihanna escolhe aleatoriamente medir ao longo de $\pm a$, $\pm b$ ou $\pm c$. Se a escolha dela for igual à de Lucas (até um sinal), então ambos estão medindo ao longo de $z$, e a probabilidade de Rihanna também medir $+z$ é zero. Isso deve acontecer em 1/3 das vezes, já que a escolha do eixo pela Rihanna é independente da escolha do Lucas. Para qualquer outra opção, Rihanna estará medindo ao longo de um eixo $120\deg = 2\pi/3$ radianos de $z$ (1/3 do tempo) ou $240\deg = 4\pi/3$ radianos de $z$ (1/3 do tempo). E, é claro, ao longo de qualquer um desses eixos, o giro pode ser medido na direção positiva ou negativa. Isso nos dá uma probabilidade total de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal:

COMO

Acabamos de mostrar que

Vamos dar um passo atrás.

As opções de Einstein e Born pareciam que sempre produziriam os mesmos resultados, pois diferiam apenas na descrição do que acontece antes da medição. E ainda, supondo que houvesse instruções que predeterminassem o sinal da medição do spin ao longo de determinados eixos, obtivemos uma restrição na probabilidade de as medições produzirem o mesmo sinal $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Em seguida, assumimos as distribuições de probabilidade como na mecânica quântica... e obteve um valor diferente para $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. A previsão da mecânica quântica é maior do que a permitida pelo tratamento de variáveis ocultas. Assim, podemos realmente fazer um experimento e descobrir se os estados da mecânica quântica são determinados pela natureza antes da medição ou se eles estão realmente em uma superposição probabilística de estados possíveis.

Esse experimento foi feito muitas vezes usando muitos sistemas físicos diferentes, geralmente fótons. Há muitas considerações sutis, como vieses na medição, o tempo (simultaneidade) das medições e muitas outras. Com o passar das décadas, as preocupações com essas sutilezas foram sendo constantemente reduzidas. Os testes ainda estão sendo implementados, à medida que aprendemos mais sobre a realidade, mas agora há um amplo consenso de que a resposta que você obterá aqui, usando computadores quânticos IBM®, está correta.

Teste usando computadores quânticos reais!

De acordo com nosso tratamento acima, vamos definir a direção da medição de Lucas como sendo $+z$. Isso foi conveniente até mesmo na abordagem algébrica, mas é especialmente conveniente para a computação quântica, já que o que é normalmente medido é a projeção do qubit ao longo de $z$. Queremos criar um circuito quântico que nos forneça as mesmas condições de probabilidade que as mencionadas acima para $P_{++}$. Temos a liberdade de orientar nosso plano de tal forma que $\phi=0$, e obtemos

Precisamos saber algumas coisas sobre os computadores quânticos IBM para orientar nossa discussão. Em primeiro lugar, os qubits começam inicializados no estado $|0\rangle = |+\rangle_z$. Conforme mencionado anteriormente, quando as medições são feitas, elas estão ao longo do eixo $z$. Portanto, o objetivo é determinar quais operadores podemos inserir entre os estados da base de medição $\langle 0|\langle 0|$ e os estados iniciais dos qubits $|0\rangle |0\rangle$ para obter a complicada expressão acima. Para isso, precisaremos revisar algumas portas básicas da computação quântica.

$X$ gate: Equivalente a uma operação NOT. Porta de um único qubit.

No Qiskit, a criação de um circuito com uma porta $X$ tem a seguinte aparência:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Output:

$H$ Porta Hadamard: Cria um estado de superposição. Porta de um único qubit.

Um circuito com uma porta Hadamard é feito da seguinte forma:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Output:

Porta CNOT Controlled-NOT: Essa porta usa dois qubits: um de controle e um de destino. Verifica o estado de um qubit de controle que não é alterado. Mas se o qubit de controle estiver no estado $|1\rangle$, o portão mudará o estado do qubit de destino; se o estado do qubit de controle for $|0\rangle$, nenhuma mudança será feita. Na notação abaixo, suponha que o primeiro qubit seja o controle e o segundo seja o alvo.

Uma porta CNOT tem uma aparência um pouco diferente em um circuito, pois requer dois qubits. É assim que ele é implementado:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Output:

Observe que o primeiro qubit listado em qc.cx(0,1) é o controle, e o segundo é o alvo. Diagramaticamente, o alvo é aquele com o sinal "+" ou uma cruz sobre ele.

$R_y(\theta)$ Porta Y de rotação: Gira o estado em torno do eixo y. Essa é uma porta de um único qubit.

Por fim, as portas de rotação são implementadas especificando o tipo de porta, a quantidade de rotação e o qubit no qual a porta é colocada, nessa ordem:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Output:

O nome da porta ry especifica o eixo sobre o qual a rotação ocorre. O primeiro argumento $\pi/2$ refere-se à quantidade de rotação, e o segundo argumento especifica o qubit no qual a porta deve ser colocada.

Verifique sua compreensão

Usando a sintaxe introduzida ou atualizada acima, crie qualquer circuito quântico que envolva quatro tipos diferentes de portas quânticas.

• Resposta

  É claro que existem infinitas possibilidades. A seguir há um exemplo:

  
  qc=QuantumCircuit(2)
  qc.ry(pi/2,0)
  qc.cx(1,0)
  qc.x(1)
  qc.h(0)
  qc.cx(0,1)
  qc.draw("mpl")

Da experiência física aos circuitos quânticos

A partir das operações dessas portas, podemos ver, por exemplo, que os kets nas expressões para $P_{++}$ :

provavelmente envolverão uma porta Hadamard para obter a superposição e uma porta CNOT para criar o entrelaçamento.

Agora usaremos as portas H, X e CNOT para transformar $|0\rangle_L|0\rangle_R$ em $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$ :

Aqui, $CNOT_{LR}$ significa uma porta CNOT usando L como controle e R como alvo. Agora podemos considerar a parte R do estado:

Agora escrevemos o ket inteiramente como portas quânticas operando no estado inicial padrão dos qubits.

Agora podemos usar o $R_y(\theta)$ atuando em $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ para obter o sutiã na expressão para $P_{++}$.

Combinando esses resultados, podemos escrever a probabilidade $P_{++}$ como

Isso nos dá instruções explícitas sobre como construir nosso circuito quântico. Aplicaremos portas X, H, CNOT e $R_y$ aos qubits que representam os estados quânticos das partículas medidas por Lucas e Rihanna e faremos medições para obter a probabilidade.

IBM A Quantum recomenda a abordagem de problemas de computação quântica usando uma estrutura que chamamos de padrões Qiskit. Ele consiste nas seguintes etapas.

• Etapa 1: Mapeie seu problema em um circuito quântico
• Etapa 2: otimize seu circuito para execução em hardware quântico real
• Etapa 3: Execute seu trabalho em computadores quânticos IBM usando primitivas de tempo de execução
• Etapa 4: Pós-processar os resultados

Basicamente, todo o trabalho que fizemos acima foi a etapa 1. Vamos construir o circuito resultante usando o Qiskit!

Passo 1: Mapeando nossos resultados para um circuito quântico

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a
# histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Lembre-se de que 1/3 das vezes o eixo escolhido por Rihanna estará a $2\pi/3$ radianos do eixo de Lucas, 1/3 das vezes estará a $4 \pi/3$ radianos do eixo de Lucas e 1/3 das vezes eles escolherão o mesmo eixo. Portanto, na verdade, precisamos fazer 3 circuitos quânticos para esses 3 casos e somar os resultados. Explicaremos cuidadosamente o primeiro, e os dois últimos simplesmente declararemos.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two
# classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's)
# as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and
# store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Output:

O código abaixo constrói rapidamente todos os três circuitos de uma forma mais simplificada. Observe que a única diferença entre os três circuitos é a distância em que giramos os dois qubits em torno do eixo $y$.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Output:

Agora, usaremos uma primitiva do Qiskit chamada StatevectorSampler. Um amostrador é um primitivo projetado para obter amostras de todos os estados possíveis de um sistema e retornar probabilidades (ou, em alguns casos, quase-probabilidades) de obter cada estado. Podemos especificar um número de "tiros" e observar as "contagens" de cada estado.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Se observarmos as contagens de cada circuito, veremos que duas delas eram basicamente idênticas e a terceira era bem diferente.

plot_histogram(counts_list)

Output:

Vamos fazer uma lista dos resultados possíveis e somar todas as contagens de cada estado de cada um dos três circuitos para obter as probabilidades gerais.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Agora podemos imprimir as contagens totais de cada resultado e traçar o histograma.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

Output:

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Verifique sua compreensão

O quadro acima é consistente com os resultados previstos pelas variáveis ocultas e pelo determinismo? Ou isso é consistente com a mecânica quântica probabilística (e não local)?

• Resposta

  Ele é compatível com a mecânica quântica probabilística e não local. O tratamento de variáveis ocultas previu que a probabilidade de obter o mesmo sinal era menor ou igual a 4/9. A mecânica quântica previu uma probabilidade de 50%. O histograma acima descreve uma probabilidade de 00 ou 11 igual a 49.97 %. Isso é muito próximo da previsão da mecânica quântica probabilística, mas, o mais importante, é maior do que o intervalo permitido no tratamento de variáveis ocultas.

Isso prova alguma coisa sobre a natureza?

• Resposta

  Não! Estávamos usando um simulador! Esse é um computador programado para se comportar de acordo com as leis da mecânica quântica probabilística. Se propusermos uma regra e depois programarmos um computador para seguir essa regra, sua capacidade de seguir a regra não é prova de que a regra está correta! A única maneira de provar isso é usar um computador quântico real!

Etapa 2: Otimize seu circuito quântico para execução em hardware real

Embora inicialmente tenhamos usado um simulador para depurar nosso código, realmente queremos executá-lo em um hardware real. Afinal, um simulador está apenas fingindo ser mecânico quântico, com base nas equações acima. Se o simulador nos dissesse que essas equações estavam corretas, isso não nos convenceria muito. Queremos um computador quântico de verdade para nos dizer o que está acontecendo! Portanto, selecionaremos o computador quântico que queremos usar. Às vezes, pode ser importante escolher um dispositivo específico que tenha as propriedades que você deseja, mas muitas vezes queremos simplesmente usar o dispositivo que estiver menos ocupado.

Há um código abaixo para salvar suas credenciais na primeira utilização. Certifique-se de excluir essas informações do notebook depois de salvá-lo em seu ambiente, para que suas credenciais não sejam compartilhadas acidentalmente quando você compartilhar o notebook. Consulte Configurar sua conta IBM Cloud e Inicializar o serviço em um ambiente não confiável para obter mais orientações.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform',
# instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Output:

Etapa 3: Execute seu trabalho em computadores quânticos IBM usando primitivas de tempo de execução

Agora que otimizamos nossos circuitos para serem executados em hardware quântico real e depuramos nosso código usando simuladores, estamos prontos para coletar estatísticas de um computador quântico real e resolver a discordância entre Einstein e Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex
# Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning
# repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

Output:

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted
# time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check
# of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

Output:

[None, None, None]

Etapa 4: Pós-processamento e análise

Vamos dar um passo atrás e recapitular: Usando um tratamento de variáveis ocultas e os três eixos de deslocamento, obtivemos uma restrição sobre a probabilidade de as medições produzirem o mesmo sinal $P_{same,hv} =4/9$. Em seguida, assumimos distribuições de probabilidade como na mecânica quântica e obtivemos um valor diferente para essa probabilidade: $P_{same,gm} = 1/2$. A previsão da mecânica quântica é maior do que a permitida pelo tratamento de variáveis ocultas. Portanto, é possível saber experimentalmente se os estados da mecânica quântica são determinados pela natureza antes da medição ou se eles estão realmente em uma superposição probabilística de estados possíveis.

Projetamos nossos circuitos quânticos de modo que haja quatro resultados possíveis correspondentes a Lucas e Rihanna medindo um sinal da projeção de spin ou o outro: 00, 01, 10 e 11. Nos casos de 00 e 11, Lucas e Rihanna medem o mesmo sinal, e nos casos de 01 e 10, eles medem sinais opostos. Vemos que, para uma aproximação muito boa, a chance de Lucas e Rihanna terem o mesmo sinal é de cerca de 50%, definitivamente maior do que $4/9$. Isso significa que não há nenhum conjunto de variáveis ocultas que possa explicar essa distribuição de probabilidades, e o tratamento de variáveis ocultas não é compatível com o experimento.

Há diferentes interpretações dos resultados experimentais da mecânica quântica, e há muitas sutilezas nas configurações experimentais que são revisadas de tempos em tempos. Mas, até o momento, os princípios da mecânica quântica e a interpretação probabilística dos estados quânticos descreveram com precisão os resultados. Max Born parece estar correto.

Vamos parar por mais um momento para refletir sobre o significado disso. Duas partículas emergem de um evento de decaimento, e as duas partículas viajam em direções diferentes, possivelmente por um longo tempo. Seus spins não estão em nenhum estado bem definido e não carregam consigo nenhuma instrução de variável oculta para determinar os resultados de medições futuras. Mas a medição de uma (ao longo, digamos, de $+z$ ) determina necessariamente o resultado de um experimento sobre o spin da outra partícula ao longo da direção $z$ (deve ser $-z$ ). Isso significa que algo sobre a física de uma partícula é determinado pelo que é feito com a outra partícula, possivelmente distante. Essa é uma situação que levou as pessoas a se referirem à realidade como sendo "não local".

Duas partículas como as que descrevemos estão de alguma forma "conectadas" no sentido de que as medições em uma podem influenciar a outra. Nós nos referimos a essas partículas como sendo "emaranhadas". O entrelaçamento é mais do que apenas correlações. Por exemplo, poderíamos construir uma máquina clássica que lança um ímã para um lado com a extremidade norte para cima e um ímã para o outro lado com a extremidade norte para baixo. Esses ímãs poderiam ser perfeitamente anticorrelacionados. Mas a medição de um não afetaria em nada o outro. No entrelaçamento mecânico quântico, a partícula A pode estar em um estado indefinido (ou uma mistura de muitos estados) e podemos fixá-la em um estado definido por meio de medições em uma partícula totalmente diferente (digamos, B). Não existe nada parecido com isso no mundo clássico.

Isso geralmente traz um mundo totalmente novo de perguntas e possibilidades. Algumas das ideias que ele evoca são reais, como o uso de emaranhamento para computação, como nos computadores quânticos! Algumas são enganosamente atraentes, mas acabam fracassando, como a tentativa de usar o entrelaçamento para enviar informações mais rapidamente do que a luz. Recomendamos que você faça todas as perguntas que lhe ocorrerem e leia sobre como outras pessoas investigaram esses fenômenos. Há um mundo inteiro de mecânica quântica a ser explorado, mas aqui estão apenas alguns recursos que você pode conferir:

IBM Cursos quânticos:

• Computação quântica na prática
• Noções básicas de informação quântica

Artigos interessantes sobre mecânica quântica:

• Paradoxo de Einstein Podolsky e Rosen
• O artigo original de John Bell de 1964
• artigo de 2019 sobre a captura e a reversão de um "salto quântico" no meio da transição

Alguns recursos de instrução sobre mecânica quântica:

• Materiais do curso Quantum I da Universidade do Colorado.

Algumas pesquisas educacionais sobre mecânica quântica:

• Revisão das dificuldades dos alunos em mecânica quântica de nível superior por C. Singh e E. Marshman

Perguntas

Os instrutores podem solicitar versões desses cadernos com chaves de resposta e orientação sobre a colocação em currículos comuns preenchendo esta pesquisa rápida sobre como os cadernos estão sendo usados.

Conceitos críticos:

• Houve uma discordância histórica sobre se os estados quânticos eram meramente desconhecidos ou indeterminados pela natureza antes da medição, se a mecânica quântica é determinística ou probabilística.
• As variáveis ocultas e, portanto, o realismo local não são consistentes com as observações da mecânica quântica. Ou seja, as correlações observadas na mecânica quântica não podem ser explicadas por variáveis bem definidas que são simplesmente desconhecidas para nós.
• A mecânica quântica é probabilística.
• O entrelaçamento é real e observável.
• O entrelaçamento não é apenas correlações.
• Podemos mapear cenários do mundo real para computadores quânticos.
• Variáveis ocultas referem-se a quantidades especificadas pela natureza, mas desconhecidas pelos seres humanos; elas não existem nesse contexto.

Questões verdadeiro/falso:

1. T/F Albert Einstein argumentou que a mecânica quântica era incompleta como teoria porque descrevia apenas as probabilidades de resultados, e não o mecanismo subjacente que determinava esses resultados.
2. T/F "Variáveis ocultas" refere-se à ideia de que duas partículas mecânicas quânticas podem ser emaranhadas.
3. T/F Quaisquer dois sistemas correlacionados são mecanicamente emaranhados quânticos.
4. T/F O entrelaçamento da mecânica quântica é importante para fazer a matemática corretamente, mas não é possível vê-lo em um experimento.
5. T/F Na maioria dos casos, a mecânica quântica não pode informar o resultado exato de um experimento, apenas as probabilidades de que determinados resultados sejam medidos.
6. T/F Na mecânica quântica, sob certas condições, o estado da partícula A pode ser afetado pelo estado da partícula B, mesmo que as partículas A e B não estejam em contato e não troquem nenhuma partícula.
7. T/F Podemos mapear experimentos do mundo real em circuitos quânticos.

Perguntas do MC:

1. Suponha que uma partícula spin-0 decaia em duas partículas spin-1/2 A e B. É feita uma medição na partícula A que revela que seu spin tem uma projeção ao longo de $+z$. A partícula B agora

   • a. definitivamente tem uma projeção de giro ao longo de $-z$
   • b. definitivamente tem uma projeção de giro ao longo de $-x$
   • c. definitivamente tem uma projeção de giro ao longo de $-y$
   • d. definitivamente tem uma projeção de rotação negativa ao longo de qualquer eixo medido.

2. Uma partícula spin-0 decai em duas partículas spin-1/2 A e B. Se a partícula A for medida para ter uma projeção ao longo de $+z$, quais das seguintes projeções são possíveis para uma medição da partícula B? Circule todas as opções aplicáveis.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Suponha que uma partícula spin-0 decaia em duas partículas spin-1/2 A e B. O que melhor descreve o estado da partícula A antes de qualquer medição?

   • a. O spin da partícula A está ao longo de $+z$.
   • b. O spin da partícula A está ao longo de $-z$.
   • c. O spin da partícula A está ao longo de $+x$.
   • d. O spin da partícula A é definido em algumas direções, mas não em outras.
   • e. A orientação do spin da partícula A é indeterminada pela natureza antes de qualquer medição.

4. Qual das opções a seguir é verdadeira para a porta de Hadamard? Selecione todas as opções que se aplicam.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras em relação à porta X? Selecione todas as opções que se aplicam.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Qual das opções a seguir é uma porta de dois qubits?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Suponha que um qubit esteja no estado $|0\rangle$. Qual é a probabilidade de medir se ele está no estado $1\rangle$?

   • a. Exatamente 100% em um simulador sem ruído, quase 100% em um computador quântico real
   • b. Quase 100% em um simulador sem ruído, exatamente 100% em um computador quântico real
   • c. Exatamente 0% em um simulador sem ruído, quase 0% em um computador quântico real
   • d. Quase 0% em um simulador sem ruído, exatamente 0% em um computador quântico real

Questões para discussão:

1. Os amigos A, B e C estão discutindo os resultados desse laboratório, relacionados à desigualdade de Bell. Especificamente, eles estão olhando para a imagem que mostra que a probabilidade mecânica quântica de medir o mesmo sinal ao longo dos eixos é maior do que a permitida por um tratamento de variáveis ocultas: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. O amigo A diz: "Isso significa que não sabíamos os estados de spin antes de uma medição" O amigo B diz: "Não, é mais do que isso. Isso significa que os spins não estão apontando em uma direção específica antes da medição. Embora o estado do spin possa ser determinado ou armazenado de alguma forma." O amigo C diz: "Não, é ainda mais do que isso. Isso significa que o estado futuro do spin nem sequer foi decidido pela natureza antes da medição." Com quem você concorda e por quê?

2. Explique como os fenômenos da mecânica quântica, como o entrelaçamento, indicam que a realidade não é local.

3. Que experimentos adicionais você gostaria de fazer para se convencer dos resultados obtidos aqui?

4. A desigualdade de Bell poderia ser explorada somente com 3 eixos igualmente espaçados $a$, $b$ e $c$? Isso poderia ser feito com qualquer outro número de eixos? Como seria isso? Isso ainda produziria uma diferença nas probabilidades previstas pelas variáveis ocultas em relação à mecânica quântica probabilística?