Diagonalizzazione quantistica di Krylov basata su campioni di un modello a reticolo fermionico

Stima di utilizzo: Nove secondi su un processore Heron r2 (NOTA: questa è solo una stima. Il tempo di esecuzione potrebbe variare)

Risultati di apprendimento

Dopo aver seguito questo tutorial, gli utenti dovrebbero aver compreso:

Come utilizzare l 'add-on SQD Qiskit per approssimare l'energia dello stato fondamentale di un modello reticolare utilizzando stringhe di bit campionate da un'unità di elaborazione quantistica (QPU).
Come utilizzare ffsim per costruire circuiti di evoluzione temporale per la simulazione fermionica.
Come combinare campioni provenienti da più circuiti per la post-elaborazione con l'algoritmo di diagonalizzazione di Krylov basato sui campioni (SKQD).

Prerequisiti

Consigliamo agli utenti di acquisire familiarità con i seguenti argomenti prima di seguire questo tutorial:

Sfondo

Questo tutorial mostra come utilizzare la diagonalizzazione quantistica basata su campioni (SQD) per stimare l'energia di stato fondamentale di un modello reticolare fermionico. In particolare, studiamo il modello di Anderson monodimensionale a singola impurità (SIAM), utilizzato per descrivere le impurità magnetiche incorporate nei metalli.

Questa esercitazione segue un flusso di lavoro simile a quello dell'esercitazione correlata Diagonalizzazione quantistica a campione di un'hamiltoniana chimica. Tuttavia, una differenza fondamentale sta nel modo in cui vengono costruiti i circuiti quantistici. L'altro tutorial utilizza un ansatz variazionale euristico, interessante per gli hamiltoniani della chimica con potenzialmente milioni di termini di interazione. D'altra parte, questo tutorial utilizza circuiti che approssimano l'evoluzione del tempo tramite l'hamiltoniana. Tali circuiti possono essere profondi, il che rende questo approccio migliore per le applicazioni ai modelli reticolari. I vettori di stato preparati da questi circuiti formano la base di un sottospazio di Krylov e, di conseguenza, l'algoritmo converge in modo dimostrabile ed efficiente allo stato fondamentale, sotto opportune ipotesi.

L'approccio utilizzato in questa esercitazione può essere visto come una combinazione delle tecniche utilizzate in SQD e nella diagonalizzazione quantistica di Krylov (KQD). L'approccio combinato viene talvolta definito diagonalizzazione quantistica di Krylov basata su campioni (SQKD). Per un tutorial sul metodo KQD, vedere la diagonalizzazione quantistica di Krylov degli hamiltoniani reticolari.

Questa esercitazione si basa sul lavoro "Quantum-Centric Algorithm for Sample-Based Krylov Diagonalization", a cui si rimanda per maggiori dettagli.

Modello di Anderson a singola impurità (SIAM)

L'hamiltoniana SIAM monodimensionale è una somma di tre termini:

H = H_{\textrm{imp}}+ H_\textrm{bath} + H_\textrm{hyb},

Dove

\begin{align*} H_\textrm{imp} &= \varepsilon \left( \hat{n}_{d\uparrow} + \hat{n}_{d\downarrow} \right) + U \hat{n}_{d\uparrow}\hat{n}_{d\downarrow}, \\ H_\textrm{bath} &= -t \sum_{\substack{\mathbf{j} = 0\\ \sigma\in \{\uparrow, \downarrow\}}}^{L-1} \left(\hat{c}^\dagger_{\mathbf{j}, \sigma}\hat{c}_{\mathbf{j}+1, \sigma} + \hat{c}^\dagger_{\mathbf{j}+1, \sigma}\hat{c}_{\mathbf{j}, \sigma} \right), \\ H_\textrm{hyb} &= V\sum_{\sigma \in \{\uparrow, \downarrow \}} \left(\hat{d}^\dagger_\sigma \hat{c}_{0, \sigma} + \hat{c}^\dagger_{0, \sigma} \hat{d}_{\sigma} \right). \end{align*}

Qui, $c^\dagger_{\mathbf{j},\sigma}/c_{\mathbf{j},\sigma}$ sono gli operatori fermionici di creazione/annientamento per il sito del bagno $\mathbf{j}^{\textrm{th}}$ con spin $\sigma$ , $\hat{d}^\dagger_{\sigma}/\hat{d}_{\sigma}$ sono gli operatori di creazione/annientamento per il modo dell'impurità, e $\hat{n}_{d\sigma} = \hat{d}^\dagger_{\sigma} \hat{d}_{\sigma}$ . $t$ , $U$ , e $V$ sono numeri reali che descrivono le interazioni di hopping, on-site, ibridazione, e $\varepsilon$ è un numero reale che specifica il potenziale chimico.

Si noti che l'hamiltoniana è un'istanza specifica dell'hamiltoniana generica interazione-elettrone,

\begin{align*} H &= \sum_{\substack{p, q \\ \sigma}} h_{pq} \hat{a}^\dagger_{p\sigma} \hat{a}_{q\sigma} + \sum_{\substack{p, q, r, s \\ \sigma \tau}} \frac{h_{pqrs}}{2} \hat{a}^\dagger_{p\sigma} \hat{a}^\dagger_{q\tau} \hat{a}_{s\tau} \hat{a}_{r\sigma} \\ &= H_1 + H_2, \end{align*}

dove $H_1$ consiste di termini a un corpo, che sono quadratici negli operatori di creazione e annichilazione fermionici, e $H_2$ consiste di termini a due corpi, che sono quartici. Per il SIAM,

H_2 = U \hat{n}_{d\uparrow}\hat{n}_{d\downarrow}

e $H_1$ contiene il resto dei termini dell'hamiltoniana. Per rappresentare programmaticamente l'hamiltoniana, memorizziamo la matrice $h_{pq}$ e il tensore $h_{pqrs}$ .

Basi di posizione e quantità di moto

A causa della simmetria traslazionale approssimativa in $H_\textrm{bath}$ , non ci aspettiamo che lo stato fondamentale sia rado nella base di posizione (la base orbitale in cui l'Hamiltoniana è specificata sopra). Le prestazioni di SQD sono garantite solo se lo stato fondamentale è rado, cioè ha un peso significativo solo su un piccolo numero di stati base computazionali. Per migliorare la sparsità dello stato fondamentale, eseguiamo la simulazione nella base orbitale in cui $H_\textrm{bath}$ è diagonale. Chiamiamo questa base la base del momento. Poiché $H_\textrm{bath}$ è un'hamiltoniana fermionica quadratica, può essere efficientemente diagonalizzata da una rotazione orbitale.

Evoluzione temporale approssimativa mediante l'Hamiltoniano

Per approssimare l'evoluzione temporale dell'hamiltoniana, utilizziamo una decomposizione di Trotter-Suzuki del secondo ordine,

e^{-i \Delta t H} \approx e^{-i\frac{\Delta t}{2} H_2} e^{-i\Delta t H_1} e^{-i\frac{\Delta t}{2} H_2}.

Sotto la trasformazione di Jordan-Wigner, l'evoluzione temporale di $H_2$ equivale a un singolo gate CPhase tra gli orbitali di spin-up e spin-down nel sito dell'impurità. Poiché $H_1$ è un'hamiltoniana fermionica quadratica, l'evoluzione temporale di $H_1$ equivale a una rotazione orbitale.

Gli stati base di Krylov $\{ |\psi_k\rangle \}_{k=0}^{D-1}$ , dove $D$ è la dimensione del sottospazio di Krylov, sono formati dall'applicazione ripetuta di un singolo passo di Trotter, quindi

|\psi_k\rangle \approx \left[e^{-i\frac{\Delta t}{2} H_2} e^{-i\Delta t H_1} e^{-i\frac{\Delta t}{2} H_2} \right]^k\ket{\psi_0}.

Nel seguente flusso di lavoro basato su SQD, campioneremo da questo insieme di circuiti e post-processeremo l'insieme combinato di bitstring con SQD. Questo approccio contrasta con quello utilizzato nel tutorial correlato Diagonalizzazione quantistica basata su campioni di un'hamiltoniana chimica, dove i campioni sono stati estratti da un singolo circuito variazionale euristico.

Requisiti

Prima di iniziare questa esercitazione, assicuratevi di aver installato quanto segue:

Qiskit SDK v1.0 o versioni successive, con supporto alla visualizzazione
Qiskit Runtime v0.22 o successivamente (pip install qiskit-ibm-runtime)
Componente aggiuntivo SQD Qiskit v0.11 o versioni successive (pip install qiskit-addon-sqd)
ffsim v0.0.72 o versioni successive (pip install ffsim)

Esempio di simulatore su piccola scala

Passaggio 1: mappare il problema su un circuito quantistico

In primo luogo, generiamo l'hamiltoniana SIAM nella base di posizione. L'hamiltoniana è rappresentata dalla matrice $h_{pq}$ e dal tensore $h_{pqrs}$ . Poi, la ruotiamo nella base del momento. Nella base di posizione, collochiamo l'impurità nel primo sito. Tuttavia, quando si passa alla base di quantità di moto, si sposta l'impurità in un sito centrale per facilitare le interazioni con gli altri orbitali.

import numpy as np
import pyscf.fci


def siam_hamiltonian(
    norb: int,
    hopping: float,
    onsite: float,
    hybridization: float,
    chemical_potential: float,
) -> tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
    """Hamiltonian for the single-impurity Anderson model."""
    # Place the impurity on the first site
    impurity_orb = 0

    # One body matrix elements in the "position" basis
    h1e = np.zeros((norb, norb))
    np.fill_diagonal(h1e[:, 1:], -hopping)
    np.fill_diagonal(h1e[1:, :], -hopping)
    h1e[impurity_orb, impurity_orb + 1] = -hybridization
    h1e[impurity_orb + 1, impurity_orb] = -hybridization
    h1e[impurity_orb, impurity_orb] = chemical_potential

    # Two body matrix elements in the "position" basis
    h2e = np.zeros((norb, norb, norb, norb))
    h2e[impurity_orb, impurity_orb, impurity_orb, impurity_orb] = onsite

    return h1e, h2e


def momentum_basis(norb: int) -> np.ndarray:
    """Get the orbital rotation to change from the position to the momentum basis."""
    n_bath = norb - 1

    # Orbital rotation that diagonalizes the bath (non-interacting system)
    hopping_matrix = np.zeros((n_bath, n_bath))
    np.fill_diagonal(hopping_matrix[:, 1:], -1)
    np.fill_diagonal(hopping_matrix[1:, :], -1)
    _, vecs = np.linalg.eigh(hopping_matrix)

    # Expand to include impurity
    orbital_rotation = np.zeros((norb, norb))
    # Impurity is on the first site
    orbital_rotation[0, 0] = 1
    orbital_rotation[1:, 1:] = vecs

    # Move the impurity to the center
    new_index = n_bath // 2
    perm = np.r_[1 : (new_index + 1), 0, (new_index + 1) : norb]
    orbital_rotation = orbital_rotation[:, perm]

    return orbital_rotation


def rotated(
    h1e: np.ndarray, h2e: np.ndarray, orbital_rotation: np.ndarray
) -> tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
    """Rotate the orbital basis of a Hamiltonian."""
    h1e_rotated = np.einsum(
        "ab,Aa,Bb->AB",
        h1e,
        orbital_rotation,
        orbital_rotation.conj(),
        optimize="greedy",
    )
    h2e_rotated = np.einsum(
        "abcd,Aa,Bb,Cc,Dd->ABCD",
        h2e,
        orbital_rotation,
        orbital_rotation.conj(),
        orbital_rotation,
        orbital_rotation.conj(),
        optimize="greedy",
    )
    return h1e_rotated, h2e_rotated


# Total number of spatial orbitals, including the bath sites and the impurity
# This should be an even number
norb = 8

# System is half-filled
nelec = (norb // 2, norb // 2)
# One orbital is the impurity, the rest are bath sites
n_bath = norb - 1

# Hamiltonian parameters
hybridization = 1.0
hopping = 1.0
onsite = 10.0
chemical_potential = -0.5 * onsite

# Generate Hamiltonian in position basis
h1e, h2e = siam_hamiltonian(
    norb=norb,
    hopping=hopping,
    onsite=onsite,
    hybridization=hybridization,
    chemical_potential=chemical_potential,
)

# Rotate to momentum basis
orbital_rotation = momentum_basis(norb)
h1e_momentum, h2e_momentum = rotated(h1e, h2e, orbital_rotation.T.conj())
# In the momentum basis, the impurity is placed in the center
impurity_index = n_bath // 2

# Use PySCF to compute the exact ground state energy
reference_energy, _ = pyscf.fci.direct_spin1.kernel(h1e, h2e, norb, nelec)

Quindi, generiamo i circuiti per produrre gli stati della base di Krylov. Per ogni specie di spin, lo stato iniziale $\ket{\psi_0}$ è dato dalla sovrapposizione di tutte le possibili eccitazioni dei tre elettroni più vicini al livello di Fermi nei 4 modi vuoti più vicini a partire dallo stato $|00\cdots 0011 \cdots 11\rangle$ , e realizzato mediante l'applicazione di sette XXPlusYYGates. Gli stati evoluti nel tempo sono prodotti da applicazioni successive di un passo di Trotter del secondo ordine.

Per una descrizione più dettagliata di questo modello e di come sono stati progettati i circuiti, si rimanda a "Quantum-Centric Algorithm for Sample-Based Krylov Diagonalization".

from typing import Sequence

import ffsim
import scipy
from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister
from qiskit.circuit import CircuitInstruction, Qubit
from qiskit.circuit.library import CPhaseGate, XGate, XXPlusYYGate


def prepare_initial_state(qubits: Sequence[Qubit], norb: int, nocc: int):
    """Prepare initial state."""
    assert norb >= 8
    x_gate = XGate()
    rot = XXPlusYYGate(0.5 * np.pi, -0.5 * np.pi)
    for i in range(nocc):
        yield CircuitInstruction(x_gate, [qubits[i]])
        yield CircuitInstruction(x_gate, [qubits[norb + i]])
    for i in range(3):
        for j in range(nocc - i - 1, nocc + i, 2):
            yield CircuitInstruction(rot, [qubits[j], qubits[j + 1]])
            yield CircuitInstruction(
                rot, [qubits[norb + j], qubits[norb + j + 1]]
            )
    yield CircuitInstruction(rot, [qubits[j + 1], qubits[j + 2]])
    yield CircuitInstruction(
        rot, [qubits[norb + j + 1], qubits[norb + j + 2]]
    )


def trotter_step(
    qubits: Sequence[Qubit],
    time_step: float,
    one_body_evolution: np.ndarray,
    h2e: np.ndarray,
    impurity_index: int,
    norb: int,
):
    """A Trotter step."""
    # Assume the two-body interaction is just the on-site interaction of the impurity
    onsite = h2e[
        impurity_index, impurity_index, impurity_index, impurity_index
    ]
    # Two-body evolution for half the time
    yield CircuitInstruction(
        CPhaseGate(-0.5 * time_step * onsite),
        [qubits[impurity_index], qubits[norb + impurity_index]],
    )
    # One-body evolution for the full time
    yield CircuitInstruction(
        ffsim.qiskit.OrbitalRotationJW(norb, one_body_evolution), qubits
    )
    # Two-body evolution for half the time
    yield CircuitInstruction(
        CPhaseGate(-0.5 * time_step * onsite),
        [qubits[impurity_index], qubits[norb + impurity_index]],
    )


# Time step
time_step = 0.2
# Number of Krylov basis states
krylov_dim = 8

# Initialize circuit
qubits = QuantumRegister(2 * norb, name="q")
circuit = QuantumCircuit(qubits)

# Generate initial state
for instruction in prepare_initial_state(qubits, norb=norb, nocc=norb // 2):
    circuit.append(instruction)
circuit.measure_all()

# Create list of circuits, starting with the initial state circuit
circuits = [circuit.copy()]

# Add time evolution circuits to the list
one_body_evolution = scipy.linalg.expm(-1j * time_step * h1e_momentum)
for i in range(krylov_dim - 1):
    # Remove measurements
    circuit.remove_final_measurements()
    # Append another Trotter step
    for instruction in trotter_step(
        qubits,
        time_step,
        one_body_evolution,
        h2e_momentum,
        impurity_index,
        norb,
    ):
        circuit.append(instruction)
    # Measure qubits
    circuit.measure_all()
    # Add a copy of the circuit to the list
    circuits.append(circuit.copy())

circuits[0].draw("mpl", scale=0.4, fold=-1)

Output:

circuits[-1].draw("mpl", scale=0.4, fold=-1)

Output:

Fase 2: Ottimizzazione del problema per l'esecuzione quantistica

Successivamente, ottimizziamo il circuito per un hardware specifico. Per ora, creeremo un backend generico con un numero specificato di qubit e un insieme di porte in cui i circuiti di evoluzione temporale si scompongono naturalmente.

from qiskit.providers.fake_provider import GenericBackendV2

backend = GenericBackendV2(
    2 * norb, basis_gates=["cp", "xx_plus_yy", "p", "x"]
)

A questo punto, usiamo Qiskit per transpilare i circuiti nel backend di destinazione.

from qiskit.transpiler import generate_preset_pass_manager

pass_manager = generate_preset_pass_manager(
    optimization_level=3, backend=backend
)
isa_circuits = pass_manager.run(circuits)

Passaggio 3: Eseguire utilizzando Qiskit primitives

Dopo aver ottimizzato i circuiti per l'esecuzione hardware, siamo pronti a eseguirli sull'hardware di destinazione e a raccogliere campioni per la stima dell'energia dello stato di massa. Dopo aver utilizzato la primitiva Sampler per campionare le stringhe di bit di ciascun circuito, combiniamo tutti i risultati in un unico dizionario di conteggi e tracciamo le 20 stringhe più comunemente campionate.

from qiskit.visualization import plot_histogram
from qiskit.primitives import StatevectorSampler

# Sample from the circuits
sampler = StatevectorSampler()
job = sampler.run(isa_circuits, shots=500)

from qiskit.primitives import BitArray

# Combine the shots from the individual Trotter circuits
bit_array = BitArray.concatenate_shots(
    [result.data.meas for result in job.result()]
)

plot_histogram(bit_array.get_counts(), number_to_keep=20)

Output:

Fase 4: Post-elaborazione e restituzione del risultato nel formato classico desiderato

Ora eseguiamo l'algoritmo SQD utilizzando la funzione diagonalize_fermionic_hamiltonian . Per spiegazioni sugli argomenti di questa funzione, consultare la documentazione API.

from qiskit_addon_sqd.fermion import (
    SCIResult,
    diagonalize_fermionic_hamiltonian,
)

# List to capture intermediate results
result_history = []


def callback(results: list[SCIResult]):
    result_history.append(results)
    iteration = len(result_history)
    print(f"Iteration {iteration}")
    for i, result in enumerate(results):
        print(f"\tSubsample {i}")
        print(f"\t\tEnergy: {result.energy}")
        print(
            f"\t\tSubspace dimension: {np.prod(result.sci_state.amplitudes.shape)}"
        )


rng = np.random.default_rng(24)
result = diagonalize_fermionic_hamiltonian(
    h1e_momentum,
    h2e_momentum,
    bit_array,
    samples_per_batch=100,
    norb=norb,
    nelec=nelec,
    num_batches=3,
    max_iterations=5,
    symmetrize_spin=True,
    callback=callback,
    seed=rng,
)

Output:

Iteration 1
	Subsample 0
		Energy: -13.4222953188441
		Subspace dimension: 529
	Subsample 1
		Energy: -13.42237556285828
		Subspace dimension: 784
	Subsample 2
		Energy: -13.422045397387413
		Subspace dimension: 529
Iteration 2
	Subsample 0
		Energy: -13.422379583305478
		Subspace dimension: 900
	Subsample 1
		Energy: -13.422376197704326
		Subspace dimension: 841
	Subsample 2
		Energy: -13.422421162849295
		Subspace dimension: 1089
Iteration 3
	Subsample 0
		Energy: -13.422421164670345
		Subspace dimension: 1156
	Subsample 1
		Energy: -13.422421492737689
		Subspace dimension: 1156
	Subsample 2
		Energy: -13.422421205869572
		Subspace dimension: 1156
Iteration 4
	Subsample 0
		Energy: -13.422421494558726
		Subspace dimension: 1225
	Subsample 1
		Energy: -13.422421492737689
		Subspace dimension: 1156
	Subsample 2
		Energy: -13.422421492737689
		Subspace dimension: 1156

La seguente cella di codice visualizza i risultati. Il primo grafico mostra l'energia calcolata in funzione del numero di iterazioni di recupero della configurazione, mentre il secondo grafico mostra l'occupazione media di ciascun orbitale spaziale dopo l'iterazione finale. Trattandosi di un problema così semplice, già la prima iterazione ci avvicina molto all'energia esatta (si noti la scala dell'asse y).

import matplotlib.pyplot as plt

min_es = [
    min(result, key=lambda res: res.energy).energy
    for result in result_history
]
min_id, min_e = min(enumerate(min_es), key=lambda x: x[1])

# Data for energies plot
x1 = range(len(result_history))

# Data for avg spatial orbital occupancy
y2 = np.sum(result.orbital_occupancies, axis=0)
x2 = range(len(y2))

fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))

# Plot energies
axs[0].plot(x1, min_es, label="energy", marker="o")
axs[0].set_xticks(x1)
axs[0].set_xticklabels(x1)
axs[0].axhline(
    y=reference_energy,
    color="#BF5700",
    linestyle="--",
    label="reference energy",
)
axs[0].set_title("Approximated Ground State Energy vs SQD Iterations")
axs[0].set_xlabel("Iteration Index", fontdict={"fontsize": 12})
axs[0].set_ylabel("Energy", fontdict={"fontsize": 12})
axs[0].legend()

# Plot orbital occupancy
axs[1].bar(x2, y2, width=0.8)
axs[1].set_xticks(x2)
axs[1].set_xticklabels(x2)
axs[1].set_title("Avg Occupancy per Spatial Orbital")
axs[1].set_xlabel("Orbital Index", fontdict={"fontsize": 12})
axs[1].set_ylabel("Avg Occupancy", fontdict={"fontsize": 12})

print(f"Reference energy: {reference_energy:.5f}")
print(f"SQD energy: {min_e:.5f}")
print(f"Absolute error: {abs(min_e - reference_energy):.5f}")
plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

Reference energy: -13.42249
SQD energy: -13.42242
Absolute error: 0.00007

Verificare l'energia

Si garantisce che l'energia restituita da SQD costituisca un limite superiore dell'energia effettiva dello stato fondamentale. È possibile verificare il valore dell'energia poiché SQD restituisce anche i coefficienti del vettore di stato che approssima lo stato fondamentale. È possibile calcolare l'energia a partire dal vettore di stato utilizzando le matrici di densità ridotte a una e a due particelle, come illustrato nella seguente cella di codice.

rdm1 = result.sci_state.rdm(rank=1, spin_summed=True)
rdm2 = result.sci_state.rdm(rank=2, spin_summed=True)

energy = np.sum(h1e_momentum * rdm1) + 0.5 * np.sum(h2e_momentum * rdm2)

print(f"Recomputed energy: {energy:.5f}")

Output:

Recomputed energy: -13.42242

Esempio di hardware su larga scala

Ora eseguiamo un esempio più complesso su una QPU reale. Per l'energia di riferimento, utilizziamo i risultati di un calcolo DMRG effettuato separatamente.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Model parameters
norb = 20
nelec = (norb // 2, norb // 2)
n_bath = norb - 1
hybridization = 1.0
hopping = 1.0
onsite = 10.0
chemical_potential = -0.5 * onsite

# Generate Hamiltonian and orbital rotation
h1e, h2e = siam_hamiltonian(
    norb=norb,
    hopping=hopping,
    onsite=onsite,
    hybridization=hybridization,
    chemical_potential=chemical_potential,
)
orbital_rotation = momentum_basis(norb)
h1e_momentum, h2e_momentum = rotated(h1e, h2e, orbital_rotation.T.conj())
impurity_index = n_bath // 2

# Set reference energy to DMRG value computed separately
reference_energy = -28.70659686

# Algorithm parameters
time_step = 0.2
krylov_dim = 8

# Construct circuits
qubits = QuantumRegister(2 * norb, name="q")
circuit = QuantumCircuit(qubits)
for instruction in prepare_initial_state(qubits, norb=norb, nocc=norb // 2):
    circuit.append(instruction)
circuit.measure_all()
circuits = [circuit.copy()]
one_body_evolution = scipy.linalg.expm(-1j * time_step * h1e_momentum)
for i in range(krylov_dim - 1):
    circuit.remove_final_measurements()
    for instruction in trotter_step(
        qubits,
        time_step,
        one_body_evolution,
        h2e_momentum,
        impurity_index,
        norb,
    ):
        circuit.append(instruction)
    circuit.measure_all()
    circuits.append(circuit.copy())

# Initialize hardware backend
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
print(f"Using backend {backend.name}")

# Transpile to backend
pass_manager = generate_preset_pass_manager(
    optimization_level=3, backend=backend
)
isa_circuits = pass_manager.run(circuits)

# Sample from the circuits
sampler = Sampler(backend)
sampler.options.environment.job_tags = ["TUT_SKQD"]
job = sampler.run(isa_circuits, shots=500)

# Combine the shots from the individual Trotter circuits
bit_array = BitArray.concatenate_shots(
    [result.data.meas for result in job.result()]
)

# Run configuration recovery and diagonalization
result_history = []


def callback(results: list[SCIResult]):
    result_history.append(results)
    iteration = len(result_history)
    print(f"Iteration {iteration}")
    for i, result in enumerate(results):
        print(f"\tSubsample {i}")
        print(f"\t\tEnergy: {result.energy}")
        print(
            f"\t\tSubspace dimension: {np.prod(result.sci_state.amplitudes.shape)}"
        )


rng = np.random.default_rng(24)
result = diagonalize_fermionic_hamiltonian(
    h1e_momentum,
    h2e_momentum,
    bit_array,
    samples_per_batch=100,
    norb=norb,
    nelec=nelec,
    num_batches=3,
    max_iterations=5,
    symmetrize_spin=True,
    callback=callback,
    seed=rng,
)


# Plot results
min_es = [
    min(result, key=lambda res: res.energy).energy
    for result in result_history
]
min_id, min_e = min(enumerate(min_es), key=lambda x: x[1])
x1 = range(len(result_history))
y2 = np.sum(result.orbital_occupancies, axis=0)
x2 = range(len(y2))
fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))
axs[0].plot(x1, min_es, label="energy", marker="o")
axs[0].set_xticks(x1)
axs[0].set_xticklabels(x1)
axs[0].axhline(
    y=reference_energy,
    color="#BF5700",
    linestyle="--",
    label="reference energy",
)
axs[0].set_title("Approximated Ground State Energy vs SQD Iterations")
axs[0].set_xlabel("Iteration Index", fontdict={"fontsize": 12})
axs[0].set_ylabel("Energy", fontdict={"fontsize": 12})
axs[0].legend()
axs[1].bar(x2, y2, width=0.8)
axs[1].set_xticks(x2)
axs[1].set_xticklabels(x2)
axs[1].set_title("Avg Occupancy per Spatial Orbital")
axs[1].set_xlabel("Orbital Index", fontdict={"fontsize": 12})
axs[1].set_ylabel("Avg Occupancy", fontdict={"fontsize": 12})
print(f"Reference energy: {reference_energy:.5f}")
print(f"SQD energy: {min_e:.5f}")
print(f"Absolute error: {abs(min_e - reference_energy):.5f}")
plt.tight_layout()
plt.show()

Output:

Using backend ibm_boston
Iteration 1
	Subsample 0
		Energy: -28.63965951544449
		Subspace dimension: 9801
	Subsample 1
		Energy: -28.625588929202006
		Subspace dimension: 9409
	Subsample 2
		Energy: -28.647371834135498
		Subspace dimension: 8281
Iteration 2
	Subsample 0
		Energy: -28.67213260849567
		Subspace dimension: 29584
	Subsample 1
		Energy: -28.670340686158816
		Subspace dimension: 27225
	Subsample 2
		Energy: -28.669976379525988
		Subspace dimension: 31329
Iteration 3
	Subsample 0
		Energy: -28.68622875601382
		Subspace dimension: 36100
	Subsample 1
		Energy: -28.698569623143126
		Subspace dimension: 34225
	Subsample 2
		Energy: -28.694848533971882
		Subspace dimension: 33856
Iteration 4
	Subsample 0
		Energy: -28.69883392844593
		Subspace dimension: 42025
	Subsample 1
		Energy: -28.701289495200996
		Subspace dimension: 38025
	Subsample 2
		Energy: -28.699319594978245
		Subspace dimension: 45369
Iteration 5
	Subsample 0
		Energy: -28.701936886834154
		Subspace dimension: 51076
	Subsample 1
		Energy: -28.702468711812013
		Subspace dimension: 53824
	Subsample 2
		Energy: -28.702298147575938
		Subspace dimension: 52900
Reference energy: -28.70660
SQD energy: -28.70247
Absolute error: 0.00413

Passi successivi

Suggerimenti

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