Les bases de la mécanique quantique

Présentation

Dans la vidéo suivante, Olivia Lanes vous guide à travers le contenu de cette leçon. Vous pouvez également ouvrir la vidéo « YouTube » de cette leçon dans une fenêtre distincte.

Dans la leçon précédente, nous avons appris à créer un état intriqué de deux qubits, appelé « état de Bell » Lorsque nous avons mesuré l'état, nous avons constaté que les mesures des deux qubits étaient corrélées : lorsqu'on mesurait l'un à 0 , l'autre était également mesuré à 0 , et lorsqu'on mesurait l'un 1 à, l'autre était également mesuré 1à. Nous avons vu que c'est là une caractéristique distinctive de l'intrication quantique. Aujourd'hui, nous allons approfondir cet état et ce qu'il révèle sur les principes fondamentaux de la physique quantique qui sous-tendent l'informatique quantique.

L'État de Bell

Bon nombre des phénomènes quantiques qui font que les ordinateurs quantiques se comportent différemment des ordinateurs classiques sont déjà présents dans l'état de Bell, d'une simplicité trompeuse, que nous avons généré lors de la leçon précédente. Revenons à ce circuit de Bell :

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

L'image ci-dessus représente le circuit quantique permettant de générer l'état de Bell $\vert\Phi^+\rangle$. Les deux lignes horizontales noires représentent nos deux qubits, tandis que les cases et autres symboles figurant sur ces lignes représentent les portes ou les opérations effectuées sur les qubits correspondants. La double ligne grise représente un bus d'informations classique qui nous permet de stocker les informations classiques obtenues en mesurant les deux qubits. Nous allons examiner en détail ce circuit et l'état de Bell qui en résulte afin de comprendre les principes fondamentaux de l'informatique quantique.

Les mathématiques de l'informatique quantique

Représentation des états quantiques

Tout d'abord, nous avons besoin d'un langage commun pour parler des états quantiques et des circuits quantiques. Il existe plusieurs façons de représenter les états quantiques. La première concerne la notation de Dirac. En notation de Dirac, l'état se présente comme suit :

Ici, l'état est indiqué entre crochets et barres verticales. Ces deux termes représentent chacun l'un des deux résultats possibles de la mesure de l'état. Ainsi, lorsque nous mesurons cet état, nous constaterons soit que les deux qubits sont dans l'état, 0 soit qu'ils sont tous les deux dans l'état 1. L' $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e est appelée « constante de normalisation » Cela permet de garantir que la somme des carrés de tous les coefficients de l'état totalise $1$. Nous verrons plus tard, dans la section consacrée aux mesures, pourquoi il en est ainsi.

La deuxième façon de représenter un état consiste à recourir au langage standard de l'algèbre linéaire : sous la forme d'un vecteur, où chaque composante du vecteur correspond à un résultat de mesure différent. Dans cette notation, notre état de Bell s'écrirait ainsi :

Par convention, les éléments du vecteur sont classés dans l'ordre suivant :

• La première entrée correspond à l'état à deux qubits $\vert00\rangle$
• La deuxième place revient à $\vert01\rangle$
• Le troisième sur $\vert10\rangle$
• Le quatrième sur $\vert11\rangle$

Comme on pouvait s'y attendre, dans l' $\vert\Phi^+\rangle$ du vecteur d'état de Bell, les premier et quatrième éléments sont différents de zéro, tandis que les deuxième et troisième éléments sont nuls. La constante de normalisation $1/\sqrt{2}$ garantit que la longueur du vecteur est de $1$.

Remarque concernant l'ordre des qubits

Qiskit utilise l'ordre «** little endian** ». Cela signifie que le qubit situé le plus à droite est considéré comme le premier (ou le moins significatif), et que celui situé le plus à gauche est le plus significatif. Ainsi, lorsque nous écrivons un état tel que $\vert01\rangle$ :

• le bit le plus à droite correspond à l' $0$ du qubit et se trouve dans l'état $\vert1\rangle$.
• le bit le plus à gauche correspond à l' $1$ du qubit et se trouve dans l'état $\vert0\rangle$.

Représentation des portes

Tout comme les états peuvent être représentés sous forme de vecteurs, les portes peuvent être représentées sous forme de matrices. Une porte agit sur un état en transformant son vecteur en un nouveau vecteur.

Chaque porte correspond à une matrice spécifique qui détermine la manière dont l'état sera transformé. Nous appliquons cette transformation en multipliant la matrice de porte et le vecteur d'état d'origine, la matrice de porte étant placée à gauche du vecteur d'état, comme ceci :

où $U$ représente la matrice de porte et $|\psi\rangle$ représente le vecteur d'état.

Prenons l'exemple de la porte de Hadamard. La porte de Hadamard est une porte à un qubit (la case rouge marquée « H » sur le schéma de circuit ci-dessus) qui transforme l'état $\vert0\rangle$ en $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ et l'état $\vert1\rangle$ en $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. En notation matricielle, la porte de Hadamard s'écrit comme suit :

Vérifiez si vous avez bien compris

Utilisez la multiplication matricielle pour montrer que la matrice de Hadamard transforme les états comme prévu. (Si nécessaire, vous pouvez apprendre à multiplier des matrices.)

• Réponse
  $$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Il y a quelques points à garder à l'esprit concernant les matrices de portes :

1. Ce sont toujours des matrices carrées d' $N \times N$, où $N$ correspond également à la dimension du vecteur d'état auquel elle est appliquée. Par exemple, lorsque l'on ne dispose que d'un seul qubit, le vecteur d'état est bidimensionnel et représente les deux états possibles du qubit, à savoir 0 et 1. Dans ce cas, les dimensions de la matrice de portes appliquée à ce système seraient de l'ordre de $2\times 2$.
2. Les portes quantiques sont réversibles. En d'autres termes, on peut trouver une autre matrice qui est l 'inverse de la porte, laquelle annule l'action de la porte et ramène les qubits à leur état initial.
3. Les portes quantiques préservent également la longueur des vecteurs qu'elles transforment. Les vecteurs d'état quantiques auront toujours une longueur de $1$ s (ce qui est garanti par les constantes de normalisation dont nous avons parlé précédemment). Les portes ne les allongent ni ne les raccourcissent, mais les font simplement pivoter.

Ce sont là toutes les propriétés des matrices unitaires. Si vous souhaitez en savoir plus sur les propriétés mathématiques des matrices unitaires, vous pouvez consulter la leçon de John Watrous consacrée aux systèmes multiples dans le cours « Les bases de l'information quantique ».

Comment fonctionnent les mesures

Lorsque l'on mesure un état quantique, le résultat correspond toujours à l'un des résultats possibles (pour un seul qubit, soit 0 soit 1). Le résultat obtenu est aléatoire, mais l'état quantique nous indique les probabilités de chaque résultat.

Les éléments du vecteur d'état déterminent ces probabilités. Pour obtenir la probabilité d'un résultat donné, on élève au carré la valeur correspondant à ce résultat. Par exemple, si un qubit se trouve dans l'état :

La première entrée (correspondant à 0) est $1/\sqrt{2}$, et la deuxième entrée (correspondant à 1) est également $1/\sqrt{2}$. En élevant ces nombres au carré, on obtient

ce qui signifie qu'il y a 50 % de chances d'obtenir 0 et 50 % de chances d'obtenir 1.

Rappelons que la somme des carrés de tous les éléments est toujours égale à 1. C'est logique, car lorsque nous effectuons une mesure, nous sommes assurés d'obtenir un résultat; par conséquent, la somme des probabilités de tous les résultats possibles doit être égale à 100 %.

Une fois la mesure effectuée, le qubit s'effondre vers le résultat observé, et toute superposition antérieure est perdue. Le qubit se comporte désormais comme un bit classique. Les mesures sont fondamentalement différentes des portes quantiques. Alors que les portes quantiques modifient les états quantiques de manière déterministe et réversible, la mesure est intrinsèquement aléatoire et irréversible.

Mesure dans différentes bases

Par défaut, lorsque vous effectuez une mesure sur un qubit dans un circuit quantique, vous ne mesurez l'état de ce qubit que selon un seul axe. C'est ce qu'on appelle la base de calcul, ou base d' $Z$, qui est définie par les états $\vert 0\rangle$ et $\vert 1\rangle$. On peut considérer l'état $\vert 0\rangle$ comme un vecteur pointant vers le haut, et l'état $\vert 1\rangle$ comme un vecteur pointant vers le bas. Ainsi, une mesure effectuée dans la base d' $Z$ s permet de répondre à la question suivante : « L'état du qubit est-il orienté vers le haut ou vers le bas? »

Mais ce n'est pas le seul type de question que l'on peut poser à un qubit. Le vecteur d'état d'un qubit ne pointe pas uniquement vers le haut ou vers le bas. La superposition de $\vert 0\rangle$ et $\vert 1\rangle$ donne un vecteur d'état qui pointe dans n'importe quelle direction de l'espace tridimensionnel — la direction exacte dépendant des amplitudes et des phases relatives des deux composantes de la superposition. Ainsi, alors qu'une mesure standard basée sur l' $Z$ e pose la question « haut ou bas? », tu peux aussi demander « à gauche ou à droite? » ou « en avant ou en arrière? »

Ces questions portent sur la conversion entre différentes bases. Chaque base possède son propre ensemble de deux vecteurs de base, qui définissent les deux résultats de mesure possibles dans cette base (comme $\vert 0\rangle$ ou $\vert 1\rangle$ pour la base $Z$ ).

• Les résultats des mesures de base Z se résument à $\vert 0\rangle$ ou $\vert 1\rangle$
• Les résultats des mesures de base X sont disponibles sur $\vert +\rangle$ ou $\vert -\rangle$
• Les résultats des mesures de base Y se résument à $\vert i\rangle$ ou $\vert -i\rangle$

où

où $i=\sqrt{−1}$ est l'unité imaginaire. Nous voyons ici pour la première fois des superpositions présentant un dé phasage entre les deux parties. La phase s'écrit généralement sous la forme $e^{i\theta}$, où $\theta$ est l'angle de l'amplitude d'un état quantique dans le plan complexe — un plan à deux dimensions où l'axe horizontal représente les nombres réels et l'axe vertical les nombres imaginaires. On peut s'en faire une idée plus intuitive en se demandant dans quelle mesure une onde est décalée par rapport à une autre : leurs crêtes sont-elles alignées, ou bien l'une des ondes est-elle décalée de telle sorte que sa crête coïncide avec le creux de l'autre?

Matrices de Pauli et observables

Il existe trois matrices, appelées matrices de Pauli, qui correspondent à ces trois choix de bases différents $X$, $Y$ et $Z$ :

En quoi cela concerne-t-il exactement les bases de mesure? À première vue, cela ressemble à des matrices de portes ordinaires — et c'est effectivement le cas. Chaque matrice de Pauli peut agir sur un qubit et modifier son état :

• Pauli-X inverse $|0\rangle$ et $|1\rangle$, à la manière d'une porte NOT classique.
• Pauli-Z laisse $|0\rangle$ inchangé, mais multiplie $|1\rangle$ par $-1$, modifiant ainsi la phase relative.
• L'opération Pauli-Y inverse l'état du qubit et lui confère une phase.

Mais les matrices de Pauli ont une deuxième interprétation, tout aussi importante. En mécanique quantique, toute grandeur mesurable est appelée « observable », et les observables sont représentées par des matrices. Les matrices de Pauli correspondent à des mesures effectuées selon trois axes différents, et leurs états propres correspondent aux deux résultats possibles de la mesure pour chaque axe. (Si vous ne connaissez pas le terme « état propre », ce n'est pas grave : il s'agit simplement de vecteurs particuliers associés à une matrice donnée.)

• $Z$ → mesure dans la base Z ( $|0\rangle$, $|1\rangle$ )
• $X$ → mesure dans la base X ( $|+\rangle$, $|-\rangle$ )
• $Y$ → mesure dans la base Y ( $|i\rangle$, $|-i\rangle$ )

Cela explique pourquoi les matrices de Pauli semblent remplir une double fonction. Ils agissent tous deux sur les états (en tant que portes logiques) et définissent les directions de mesure (en tant qu'observables). Ces deux rôles découlent des mêmes principes mathématiques sous-jacents.

Concrètement, comment procède-t-on pour effectuer des mesures dans la base X ou Y? Par défaut, nos ordinateurs quantiques sont configurés pour effectuer des mesures uniquement dans la base Z. Vous devez donc changer de base en faisant pivoter le vecteur d'état du qubit de telle sorte que l'information qui vous intéresse, qu'il s'agisse de X ou de Y, soit désormais orientée dans la direction Z. Ensuite, il suffit d'effectuer une mesure Z comme d'habitude.

Par exemple, on peut effectuer une mesure dans la base X en appliquant une porte de Hadamard, puis en effectuant une mesure dans la base Z. La rotation de Hadamard fait pivoter l'état de telle sorte que l'« information X » devienne l'« information Z » Après cela, une mesure standard suffit.

Vous en apprendrez davantage sur les matrices de Pauli dans la prochaine leçon, lorsque nous mettrons en pratique nos nouvelles compétences en matière de rédaction de circuits quantiques pour résoudre un véritable problème de physique quantique.

Le circuit d'État de Bell

Maintenant que nous avons un point de départ — nous savons que les états peuvent être représentés par des vecteurs, que les portes peuvent être représentées par des matrices et que les mesures provoquent l'« effondrement » d'un état — examinons le circuit qui crée et mesure l'état de Bell ci-dessus.

Nous partons de l'état initial de deux qubits dans l' $|00\rangle$ :

Créer la superposition

Le circuit commence par appliquer une porte de Hadamard au qubit 0. Comme nous l'avons vu dans la section précédente, l'opérateur de Hadamard fait passer le qubit d'un état défini, soit $|0\rangle$ soit $|1\rangle$, à une combinaison de ces deux états. Rappelons que la porte de Hadamard est :

Pour l'appliquer au premier qubit d'un système à deux qubits, nous utilisons une matrice d' 4x4 s étendue qui applique l'opération « $H$ » au qubit 0 tout en laissant le qubit 1 inchangé. Considérez cela comme « appliquer l' $H$ e au premier qubit et ne pas toucher au deuxième qubit » :

Ensuite, nous multiplions ce résultat par le vecteur d'état initial :

Le qubit 0 se trouve désormais dans un état de superposition.

En savoir plus sur la superposition quantique

Une superposition quantique du type décrit ci-dessus est souvent décrite comme le fait que le qubit se trouve dans les deux états à la fois. Cependant, lorsque nous mesurons cet état de superposition, le résultat est toujours $0$ ou $1$ — nous ne pouvons jamais observer directement la superposition elle-même. En réalité, l'expression « le qubit se trouve dans les deux états à la fois » peut prêter à confusion. Pour être plus précis, on peut dire qu'une superposition est une description mathématique de l'état quantique qui nous permet de calculer les probabilités des différents résultats de mesure. Certaines personnes pensent que les superpositions sont physiquement réelles, mais il s'agit là d'une interprétation philosophique qui ne peut être vérifiée; la mécanique quantique ne fait que prédire les probabilités des résultats de mesure.

Contrairement à une distribution de probabilité classique, une superposition quantique permet également aux différentes composantes d'interférer entre elles, à l'instar d'ondes qui se superposent et peuvent s'amplifier ou s'annuler mutuellement. C'est cette interférence qui permet aux algorithmes quantiques de générer des séquences de résultats de mesure qui seraient impossibles à obtenir avec le seul hasard classique.

Entrelacer les qubits

Ensuite, on applique une porte NOT contrôlée (CNOT) (représentée par le point bleu, la ligne verticale et le cercle avec le signe « + » reliant les deux qubits). Cette porte entrelace les deux qubits. Une fois cette étape franchie, l'état d'un qubit ne peut plus être décrit indépendamment de celui de l'autre.

La porte CNOT inverse le qubit 1 (appelé « qubit cible ») uniquement si le qubit 0 (appelé « qubit de contrôle ») se trouve dans l'état $\vert 1\rangle$. Sa matrice est la suivante :

Appliquez-le à l'état de l'étape 1 :

Les qubits sont désormais intriqués : la mesure de l'un détermine immédiatement l'autre.

En savoir plus sur l'intrication quantique

L'intrication, tout comme la superposition, est un phénomène quantique qui n'a pas d'équivalent classique. Dans les systèmes classiques, deux bits corrélés peuvent avoir des valeurs liées, mais chaque bit possède néanmoins une valeur bien définie — même si nous ne la connaissons pas. Par exemple, si deux pièces sont collées l'une à l'autre de manière à toujours tomber du même côté, le fait qu'une pièce tombe côté face vous indique immédiatement que l'autre est également côté face. Mais avant même de la regarder, chaque pièce se trouve déjà dans un état bien défini.

Avec les qubits intriqués, la situation est fondamentalement différente. Avant la mesure, aucun des deux qubits n'a de valeur définie en soi. Seul ce couple a un état bien défini. La mesure d'un qubit a un effet immédiat sur les probabilités de l'autre, quelle que soit la distance qui les sépare. Il s'agit d'un effet purement quantique : il ne peut s'expliquer ni par les statistiques classiques, ni par des informations cachées concernant les qubits individuels.

Évaluer les États

Enfin, les deux qubits sont mesurés. Lorsque nous effectuons une mesure, l'état quantique s'effondre pour prendre l'un des états classiquement admissibles :

• 00 avec une probabilité de $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 avec une probabilité de $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Cela reproduit les résultats de mesure corrélés que nous avons observés dans le circuit de la leçon 1.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons fait un tour d'horizon des concepts de la mécanique quantique et des outils mathématiques nécessaires pour exécuter de manière autonome et en toute confiance des circuits quantiques sur un ordinateur quantique. Nous avons expliqué comment les états quantiques sont représentés, comment les portes quantiques transforment ces états, comment fonctionne la mesure, et comment la superposition et l'intrication découlent naturellement de circuits simples.

Dans la leçon 3, nous mettrons ces concepts en pratique en suivant pas à pas l'ensemble du processus permettant de résoudre un problème simple sur un ordinateur quantique et d'interpréter les résultats.

Objectif d'apprentissage

Rappelez-vous l'objectif pédagogique de la leçon 1, où nous vous avions mis au défi de modifier le circuit afin de reproduire l'état de Bell d' $\Psi^-$. À présent, à l'aide de ce circuit, effectuez les calculs d'algèbre matricielle et vérifiez que votre circuit produit l'état souhaité. (Indice : vous devrez déterminer la forme matricielle d'une porte NOT ou X.)