La nature des états quantiques : variables cachées contre inégalité de Bell

Pour ce module Qiskit en classe, les étudiants doivent disposer d'un environnement Python fonctionnel avec les paquets suivants installés :

• qiskit v2.1.0 ou plus récent
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 ou plus récent
• qiskit-aer v0.17.0 ou plus récent
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Pour configurer et installer les paquets ci-dessus, voir le guide d' installation de Qiskit. Afin d'exécuter des tâches sur de véritables ordinateurs quantiques, les étudiants devront créer un compte sur IBM Quantum® en suivant les étapes du guide Configurer votre compte IBM Cloud.

Ce module a été testé et a utilisé 12 secondes de temps QPU. Il s'agit uniquement d'une estimation. L'utilisation réelle peut varier.

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Regardez la présentation du module par le Dr. Katie McCormick ci-dessous, ou cliquez ici pour la regarder sur YouTube.

Arrière-plan

Dans de nombreux calculs de la mécanique quantique, on part d'un état connu d'un système, et cet état est généralement connu grâce à une mesure. Aujourd'hui, nous voulons répondre à la question suivante : "Que peut-on dire de l'état d'une particule avant toute mesure?" Le corollaire évident est le suivant : "Comment pouvons-nous savoir si nous ne sommes pas autorisés à mesurer?"

Cette question remonte aux débuts de la mécanique quantique. Les pionniers dans ce domaine se sont divisés, Einstein et beaucoup d'autres affirmant qu'une particule se trouve simplement dans un état inconnu avant d'être mesurée. D'autres, notamment Max Born et plus tard Niels Bohr, ont adopté une position plus radicale, affirmant que l'état d'une particule était réellement indéterminé par la nature avant la mesure, et pas seulement inconnu des humains. La mesure effondre alors de manière probabiliste la particule dans un état défini. Einstein, mécontent de cette explication, a lancé une boutade célèbre : "Gott würfelt nicht", ce qui se traduit approximativement par "Dieu ne joue pas aux dés"

Pendant les décennies qui ont suivi l'apparition de ce désaccord, nombreux sont ceux qui ont pensé qu'il n'y aurait jamais de réponse ou qu'il s'agissait d'une question de point de vue. Puis, en 1964, John Bell, un physicien d'Irlande du Nord, a écrit un article dans lequel il explorait les statistiques de certaines expériences susceptibles de répondre définitivement à cette question. Il a montré que dans un test particulier, on obtient un ensemble de statistiques provenant d'états quantiques définis (mais inconnus) et un autre ensemble de statistiques provenant d'états quantiques indéterminés par la nature.

À l'époque de l'article de Bell, les tests expérimentaux des statistiques impliquées étaient inaccessibles à tous les chercheurs, à l'exception de ceux qui étaient à la pointe de la physique. Mais aujourd'hui, IBM Quantum permet aux étudiants du monde entier d'utiliser de véritables appareils quantiques, à distance via le cloud et gratuitement, pour explorer la nature des états quantiques. C'est ce que vous allez faire aujourd'hui.

Mise en place de l'expérience de pensée : intrication des spins

Il existe des processus dans lesquels une particule sans spin se désintègre en deux particules ayant chacune un spin. Le spin étant une sorte de moment angulaire, la loi de conservation du moment angulaire suggère que les deux particules sortantes doivent avoir des spins exactement anti-alignés. C'est d'ailleurs ce que l'on observe expérimentalement.

Exemple : un méson pi neutre se décompose parfois en un positron et un électron : $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Ne vous inquiétez pas si vous ne savez pas ce que sont ces particules, et ne vous inquiétez pas si vous les connaissez si bien que vous savez que ce type de désintégration est relativement improbable. Il suffit de savoir que si l'une des particules sortantes est en spin up, l'autre doit être en spin down, et vice versa. Bien sûr, il n'y a rien de spécial à propos du "haut" et du "bas"; le même désalignement est observé si les mesures sont effectuées le long de ce que nous appelons souvent $x$ ou $y$. Cette désintégration est un contexte intéressant à considérer, car nous pouvons éviter les questions concernant les mesures effectuées dans le passé; le positron et l'électron n'existaient même pas jusqu'au moment de la désintégration.

Nous pouvons laisser les mésons $\pi^0$ se désintégrer et observer la déviation des particules sortantes sous l'influence d'un champ magnétique inhomogène. Un champ inhomogène utilisé pour dévier les spins est souvent appelé dispositif de Stern-Gerlach, du nom des chercheurs qui l'ont utilisé pour la première fois afin de prouver (accidentellement) l'existence du spin en mécanique quantique. Notez que l'histoire ici est plus compliquée que l'expérience originale puisque l'électron et le positron sont également chargés (contrairement aux atomes d'argent de l'expérience de Stern Gerlach). Mais nous savons comment les particules chargées se déplacent dans un champ magnétique, et nous pouvons soustraire cet effet. Dans ce qui suit, nous supposerons que les déviations utilisées dans nos calculs sont dues au spin des particules et non à la charge. Par conséquent, pour ce qui nous concerne, il importe peu de savoir quel observateur obtient le positron et quel observateur obtient l'électron. Le dispositif expérimental est le suivant :

Lors de la désintégration du méson, un électron est expulsé dans une direction et un positron dans l'autre. Chacune de ces deux particules traverse un champ magnétique inhomogène et est déviée soit dans la direction du champ magnétique, soit dans la direction opposée au champ magnétique.

Si nous disposons d'une source de nombreux mésons, nous pouvons recueillir des statistiques à ce sujet. Si un observateur à gauche et un observateur à droite (appelés respectivement Lucas et Rihanna) mesurent toujours le long du même axe, ces statistiques ne seront pas très intéressantes : chaque fois que l'un mesure vers le haut, l'autre mesure vers le bas; chaque fois que l'un mesure vers l'intérieur de la page, l'autre mesurera vers l'extérieur de la page, et ainsi de suite. Cependant, si les joueurs sont libres de mesurer la rotation dans la direction qu'ils souhaitent, nous pourrions trouver quelque chose de plus intéressant.

L'expérience décrite ci-dessus, dans laquelle des particules s'envolent avec un moment angulaire de spin mesuré par deux observateurs, a été initialement proposée par Einstein, Podolsky et Rosen (EPR) dans cet article, et est parfois appelée "expérience EPR".

Nos options

Pour plus de clarté, reformulons les deux points de vue historiques :

Option 1 (Einstein) : Les deux spins (l'électron et le positron) sont déterminés, en ce sens que le résultat de toute mesure le long de n'importe quel axe est prédéterminé par la nature, même si nous ne savons pas ce qu'il est. On peut considérer que les spins ont une orientation réelle et bien définie dans l'espace, que nous ne connaissons pas, mais qui existe. On peut aussi considérer qu'il s'agit d'un ensemble d'informations ou d'instructions qui déterminent les résultats des mesures le long de $x$, $y$, $z$, ou de tout ce qui se trouve entre les deux. La mesure du spin du positron (par exemple le long de z) le force à s'orienter et à s'aligner dans la direction z ou -z. Cela n'a aucune influence sur le spin de l'électron, bien que nous sachions que le spin de l'électron a commencé à l'opposé du spin du positron, de sorte que si le spin du positron est mesuré le long de +z, le spin de l'électron est mesuré le long de -z. Hormis la condition initiale d'instructions conservant le moment angulaire (les spins étant anti-alignés), il n'y a pas de lien entre les deux spins. Cette option est parfois appelée "variables cachées", c'est-à-dire que les projections le long des différents axes sont déterminées, mais nous sont cachées.

Option 2 (Born) : Les spins sont tous deux indéterminés dans leur état initial... pas seulement inconnus, mais mal définis physiquement, sans orientation définie ni instructions sur les résultats expérimentaux, jusqu'à ce qu'ils soient mesurés. La mesure du spin du positron "réduit" l'espace de toutes les possibilités à un seul état déterminé, selon les axes +z ou -z. Cette mesure du positron oblige le spin de l'électron à s'effondrer également en une projection bien définie le long de z, exactement opposée à celle du positron. Cet effet se produit dans l'espace entre le positron et l'électron. C'est ce que l'on a appelé "l'action magique à distance", mais on pourrait l'appeler de manière moins dramatique "la physique non locale".

Vérifiez votre compréhension

Ce serait formidable de pouvoir distinguer expérimentalement les théories d'Einstein et de Born. Quelles expériences donneraient les mêmes résultats, quelle que soit l'option qui est vraie? Pouvez-vous imaginer une expérience qui donnerait des résultats différents selon les deux options?

Remarque : ce serait vraiment impressionnant si vous parveniez à imaginer une expérience qui donnerait des résultats différents selon les hypothèses d'Einstein et de Born; il a fallu des décennies aux chercheurs pour en trouver une.

• Réponse

  Si l'on s'en tient à l'expérience décrite jusqu'à présent (c'est-à-dire pas de spin net avec le positron et l'électron non alignés), la mesure des deux spins le long de $\pm x$, $\pm y$, ou $\pm z$ donnerait toujours des signes opposés en raison de la conservation du moment angulaire, quelle que soit l'option correcte. Si l'on mesure le spin d'une particule (par exemple, l'électron) dans une direction (par exemple, $+z$ ), le spin de l'autre particule, le positron, sera mesuré dans la direction $-z$. Si, au lieu de cela, vous mesurez le spin du positron dans la direction $x$, vous obtiendrez avec la même probabilité $+x$ ou $-x$. Cela pourrait être dû au fait que c'est ce que disent les instructions cachées (option 1 d'Einstein) ou au fait que la distribution de probabilité du spin du positron est mise à jour après la mesure du spin de l'électron, et que la nouvelle distribution de probabilité est cohérente avec une répartition 50-50 entre $\pm x$ (option 2 de Born). Ces points sont expliqués plus en détail ci-dessous.

  La réponse n'est que légèrement différente si l'on considère la désintégration d'une particule avec spin-1, de sorte que les deux particules émergentes (comme le positron et l'électron) doivent avoir leurs spins alignés, plutôt qu'anti-alignés. Si l'une est mesurée le long de $+y$, une mesure de l'autre particule le long de l'axe $y$ doit également donner $+y$, et ainsi de suite. Comme précédemment, cette situation peut résulter de l'une ou l'autre option.

  Le reste de cette leçon est consacré à une expérience qui permet de distinguer les options d'Einstein et de Born, et nous n'entrerons donc pas dans les détails ici. Cependant, une partie de l'astuce consiste à mesurer les deux particules le long de différentes directions (comme $x$ et $z$, ou même une direction entre les axes cartésiens traditionnels). Le reste vient de l'examen attentif de la probabilité précise d'obtenir des résultats différents compte tenu des prédictions de la mécanique quantique et de celles de l'information classique comme dans les variables cachées.

Dans les deux cas, si les deux observateurs, Lucas et Rihanna, mesurent le long du même axe, nous nous attendons à ce qu'ils obtiennent des spins non alignés, quelle que soit l'option retenue. Pour comprendre pourquoi, il suffit d'examiner les diagrammes ci-dessous.

La figure ci-dessus illustre l'option d'Einstein. Les directions des spins sont opposées et déterminées. Si nous mesurons le long de l'axe $z$, l'un sera le long de $+z$, et l'autre le long de $-z$. Nous n'avons aucune raison de supposer que le positron serait le long de $+z$, et l'électron le long de $-z$; l'image montre simplement que les spins seront mesurés dans des directions opposées. En fait, un spin donné ne doit pas nécessairement avoir une composante de son spin le long de la direction finalement mesurée, dans le cas de l'option d'Einstein. L'énoncé le plus faible de l'option d'Einstein est qu'il existe un ensemble d'instructions stockées dans le spin qui déterminent les résultats des mesures le long de n'importe quel axe. Il n'est pas nécessaire de se représenter que ces instructions se présentent sous la forme d'un simple vecteur (voir schéma ci-dessous); nous y reviendrons plus tard.

La figure ci-dessous illustre l'option de Born, dans laquelle les directions des spins du positron et de l'électron sont dispersées dans une distribution de probabilités et n'ont pas de direction définie. Ne vous fiez pas trop à la forme de la distribution. Chaque spin peut en fait avoir une probabilité non nulle de pointer dans n'importe quelle direction tant qu'ils sont opposés l'un à l'autre; nous les avons simplement dessinés comme des fractions du cercle afin de pouvoir les distinguer visuellement pour les besoins de la discussion. Notez que dans le cas de l'option de Born, il est toujours vrai que le moment angulaire doit être conservé. Ainsi, si une onde de probabilité est "effondrée" de telle sorte que le spin pointe le long de $+z$, l'autre onde pointera le long de $-z$ et sera déviée dans la direction opposée. Les options semblent identiques.

Mais que se passe-t-il lorsque les observateurs L et R peuvent mesurer le long de l'un des trois axes, chaque paire étant séparée de 120 degrés, comme le montrent les figures 4 et 5. Chaque observateur peut décider au hasard le long de quel axe il mesurera le spin (a, b ou c). Les deux ne doivent pas nécessairement être mesurés le long du même axe. Lorsque chaque observateur mesure, il peut trouver une projection positive sur l'axe de son choix, ou une projection négative. Par exemple, Lucas et Rihanna peuvent mesurer +a et -b ou +b et +c. Notez que s'ils choisissent de mesurer le long du même axe, ils DOIVENT obtenir des signes opposés dans leurs projections : +a et -a, +b et -b, ou +c et -c; ils ne peuvent pas tous les deux trouver, par exemple, +a. Dans la section suivante, nous verrons comment calculer la probabilité que Lucas et Rihanna obtiennent le même signe sur leurs axes de mesure (++ ou --) et des signes opposés (+-) ou (-+).

Les deux figures ci-dessus illustrent les interprétations possibles des variables cachées dans ce nouveau scénario de mesure à trois axes. En d'autres termes, soit les spins sont déjà déterminés, sous forme de vecteurs, soit il existe un ensemble d'instructions physiques intégrées d'une manière ou d'une autre dans le système, de sorte que les résultats de toutes les mesures possibles sont prédéterminés, même s'ils sont inconnaissables pour les expérimentateurs avant la mesure. L'alternative est illustrée ci-dessous. Il existe une certaine distribution de probabilité des résultats, et cette distribution peut nous renseigner sur la probabilité des différents résultats de la mesure, mais les résultats sont indéterminés par nature avant la mesure.

Nous pouvons nous demander : "Combien de fois les deux joueurs doivent-ils trouver le même signe de la projection du spin?" En d'autres termes, nous n'enregistrons même pas l'axe selon lequel ils ont choisi de mesurer; nous enregistrons simplement s'ils ont trouvé le même signe ou un signe différent. Il n'est pas évident que les options d'Einstein et de Born donnent le même résultat dans ce schéma de mesure plus compliqué. Mais les figures 4 et 5 montrent clairement qu'il est possible d'établir une différence à l'adresse $possible$. Pour le cas illustré dans l'option d'Einstein, une mesure de la projection du spin $e+$ sur l'axe $a$ donnera certainement $+a$, et la projection du spin $e-$ sur l'axe $b$ donnera $-b$ (à peine). Mais dans l'option Born, les possibilités sont très ouvertes. Il est vrai que le moment angulaire est toujours conservé. Mais comme les deux champs magnétiques ne sont pas orientés selon le même axe, nous forçons les particules à s'effondrer sur des axes différents (par le biais des interactions avec le champ). Dans la section suivante, nous utiliserons la mécanique quantique pour déterminer quelles sont les probabilités, compte tenu de l'option de Born, que Lucas et Rihanna obtiennent le même signe sur leurs axes mesurés (++ ou --), et les probabilités qu'ils obtiennent des signes opposés (+- ou -+).

Prévisions

Que prédit l'option d'Einstein (variables cachées)?

Si l'option d'Einstein est vraie, alors toute paire donnée de $e+$ et $e-$ aura un ensemble de composantes vectorielles pour leurs spins. Par exemple, l'électron peut avoir des composantes $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$, auquel cas le positron doit avoir des composantes $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Nous ne spécifions ici que le signe de la projection sur chaque axe, et non la magnitude. Imaginons que nous permettions à un très grand nombre $N$ de ces désintégrations de se produire, et que nous recueillions des mesures pour remplir le tableau ci-dessous.

Pour chaque cas du tableau ci-dessus, il y a 9 choix possibles pour les axes de Lucas et de Rihanna : $aa$ $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$, et $cc$. A la lecture de ce tableau, la probabilité que les deux observateurs mesurent le même signe pour les lignes 1 et 8 est nulle. Pour les lignes 2 à 7, il y a 4 façons d'obtenir le même signe, que nous ne montrerons que pour la ligne 2 :

Mêmes signes : $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Signes opposés : $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Ainsi, si l'option d'Einstein est l'interprétation correcte des états quantiques, la probabilité totale, additionnée sur toutes les populations possibles, que Lucas et Rihanna obtiennent le même signe de projection de spin sur leurs axes choisis au hasard serait la suivante : $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ L'égalité n'est valable que si $N_1=N_8=0$.

Vérifiez votre compréhension

Pour la ligne 2 du tableau ci-dessus, nous avons énuméré toutes les façons possibles pour Lucas et Rihanna d'obtenir le même signe pour leurs mesures, et toutes les façons dont ils pourraient obtenir des signes différents. Répétez cette opération pour la troisième rangée.

• Réponse

  Mêmes signes : $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

  Signes opposés : $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

Le tableau ci-dessus fait référence à des "populations", ce qui signifie que nous ne savons pas combien de chaque type d'instructions la nature produit, si le traitement des variables cachées est correct. Montrez que quelle que soit la distribution de $N_1$ à $N_8$, la probabilité d'obtenir le même signe à partir des mesures est toujours inférieure ou égale à 4/9.

• Réponse

  Commençons par supposer que le nombre total d'essais de mesure est constant, de sorte que $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ est constant. Notez que dans le cas particulier où $N_1=N_8=0$, l'expression se réduit à

  $$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

  Supposons maintenant que $N_1 \neq 0$ ou $N_8 \neq 0$. Alors

  $$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

  La somme de tous les essais, $N_tot$, est toujours la même que précédemment. Mais comme $N'_1$ ou $N'_8$ a augmenté par rapport à 0, la somme de $N'_2$ à $N'_7$ doit être inférieure à ce qu'elle était auparavant. En particulier, la somme de $N'_2$ à $N'_7$ est inférieure à $N_{tot}$. Donc

  $$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

  En combinant tous les cas possibles, nous obtenons $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Généralisation

Dans le traitement ci-dessus, nous avons considéré des mesures le long d'axes spécifiques. Bien entendu, on peut effectuer des mesures le long de n'importe quel axe. Appelons les deux vecteurs de spin de deux particules $\vec{a}$ et $\vec{b}$. Soit $\lambda$ une variable cachée telle qu'un état du système à deux particules corresponde à une valeur bien définie de $lambda$. Soit $\rho(\lambda)$ la densité de probabilité dans $\lambda$. Enfin, nous choisissons les symboles $A(\vec{a},\lambda)$ et $B(\vec{b},\lambda)$ pour représenter le résultat prédéterminé d'une mesure effectuée sur l'une ou l'autre des particules (A ou B), compte tenu des vecteurs de spin et de la variable cachée. De manière critique, notez que $A$ est indépendant de $\vec{b}$ et que $B$ est indépendant de $\vec{a}$. On pourrait maintenant poser n'importe quel nombre de questions relatives aux corrélations entre les mesures sur A et B. En particulier, on peut s'interroger sur la valeur espérée donnée par

Compte tenu de certaines hypothèses standard sur ces valeurs, comme $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$, et la normalisation sur $\rho(\lambda)$, on peut montrer que les corrélations entre les deux particules obéissent à la relation suivante

où $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont les états de spin de votre système et $\vec{c}$ et $\vec{d}$ sont les états de spin de référence (tout autre état de spin possible du système). Il s'agit de l'une des nombreuses inégalités connues sous le nom d'"inégalités de Bell". Nous n'utiliserons pas cette forme générale ici. Nous nous concentrerons plutôt sur un dispositif expérimental spécifique, afin de pouvoir le transposer sur un circuit quantique.

Que prédit l'option de Born (mécanique quantique non déterministe)?

Lucas choisira un axe et constatera que le spin d'une particule est positif ou négatif. Quoi qu'il obtienne, orientons nos axes de manière à ce que l'axe $z$ soit dans cette direction. Nous pouvons alors écrire l'état initial après la désintégration du méson et avant toute mesure comme suit

Rihanna mesurera le spin de sa particule dans une autre direction à un angle $\theta$ par rapport à celui de Lucas. L'opérateur de spin le long d'une direction arbitraire $\hat{n}$ est donné par

Les états propres de cet opérateur sont

Vérifiez votre compréhension

Vérifier que $|+\rangle_{\hat{n}}$ est un état propre de l'opérateur $\hat{S}_{\hat{n}}$ ci-dessus, et trouver la valeur propre.

• Réponse
  $$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

  En utilisant $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ et $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, nous avons

  $$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

  Ceci démontre que $|+\rangle_{\hat{n}}$ est un état propre et que la valeur propre correspondante est $\frac{\hbar}{2}$.

La probabilité que Lucas mesure un spin dans le sens positif le long de l'axe qu'il a choisi $|+\rangle$ $and$ que Rihanna mesure également un spin positif le long de la direction qu'elle a choisie $|+\rangle_{\hat{n}}$ est de

Vérifiez votre compréhension

Faites de même pour $P_{--}$. Vérifiez qu'il est également égal à $\frac{1}{2}\sin^2(\theta).$

• Réponse
  $$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

En additionnant ces résultats, on trouve que la probabilité que les signes des deux axes mesurés soient les mêmes $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Vérifiez votre compréhension

Que pourriez-vous faire pour vérifier le caractère mathématique de ce résultat? Pour être clair, nous ne vous demandons pas encore de vérifier que cela correspond à la nature, mais simplement de vous assurer que rien ne s'est passé de travers dans tous les calculs.

• Réponse

  (1) Faire le même calcul pour $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ afin de vérifier la conservation des probabilités.

  (2) Vérifier un cas connu. Insérer $\theta = 0$. Dans ce cas, $P_{\text{same}}$ correspond au fait que les deux observateurs mesurent chacun leur spin le long du même axe, ce qui violerait la conservation du moment angulaire. On s'attendrait donc à ce que cette probabilité soit nulle, et en effet l'insertion de $\theta = 0$ donne $\sin^2(0/2) = 0$.

  (3) Vérifier un autre cas connu. Essayez $\theta = \pi$. Que devez-vous obtenir? Attention à cette $\frac{1}{2}$.

Nous avons spécifiquement esquissé le cas où les axes sont à $120\deg$ l'un par rapport à l'autre. Souvenez-vous que quelle que soit la direction ( $\pm a$, $\pm b$, ou $\pm c$ ) obtenue par Lucas, nous l'appelons $z$. Ensuite, Rihanna choisit au hasard de mesurer le long de $\pm a$, $\pm b$, ou $\pm c$. Si son choix est le même que celui de Lucas (à un signe près), alors ils mesurent tous les deux le long de $z$, et la probabilité que Rihanna mesure également $+z$ est nulle. Cela devrait se produire un tiers du temps, puisque le choix de l'axe de Rihanna est indépendant du choix de Lucas. Pour tout autre choix, Rihanna mesurera le long d'un axe soit $120\deg = 2\pi/3$ radians à partir de $z$ (1/3 du temps), soit $240\deg = 4\pi/3$ radians à partir de $z$ (1/3 du temps). Et bien sûr, le long de l'un ou l'autre de ces axes, le spin peut être mesuré dans le sens positif ou négatif. Cela nous donne une probabilité totale que Lucas et Rihanna obtiennent le même signe :

Ouah!

Nous venons de montrer que

Prenons un peu de recul.

Les options d'Einstein et de Born semblaient donner toujours les mêmes résultats, puisqu'elles ne différaient que par leur description de ce qui se passe avant la mesure. Et pourtant, en supposant qu'il existe des instructions qui prédéterminent le signe de la mesure du spin le long de certains axes, nous obtenons une contrainte sur la probabilité que les mesures donnent le même signe $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Nous avons ensuite supposé des distributions de probabilités comme en mécanique quantique... et a obtenu une valeur différente pour $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. La prédiction de la mécanique quantique est plus élevée que celle permise par le traitement des variables cachées. Nous pouvons donc faire une expérience et découvrir si les états de la mécanique quantique sont déterminés par la nature avant la mesure, ou s'ils se trouvent réellement dans une superposition probabiliste d'états possibles.

Cette expérience a été réalisée à de nombreuses reprises en utilisant de nombreux systèmes physiques différents, souvent des photons. Il existe de nombreuses considérations subtiles, telles que les biais de mesure, la synchronisation (simultanéité) des mesures, et bien d'autres encore. Au fil des décennies, les préoccupations relatives à ces subtilités se sont progressivement érodées. Des tests sont encore mis en œuvre, à mesure que nous en apprenons davantage sur la réalité, mais il est désormais largement admis que la réponse que vous obtiendrez ici, en utilisant les ordinateurs quantiques IBM®, est correcte.

Testez à l'aide de véritables ordinateurs quantiques!

Conformément à notre traitement ci-dessus, définissons la direction de la mesure de Lucas comme étant $+z$. Cela était déjà pratique dans l'approche algébrique, mais c'est particulièrement pratique pour le calcul quantique, puisque ce qui est typiquement mesuré est la projection du qubit le long de $z$. Nous voulons créer un circuit quantique qui nous donne les mêmes conditions de probabilité que celles décrites ci-dessus pour $P_{++}$. Nous sommes libres d'orienter notre plan de telle sorte que $\phi=0$, et nous obtenons

Nous avons besoin de quelques informations sur les ordinateurs quantiques IBM, afin de guider notre discussion. Tout d'abord, les qubits sont initialisés dans l'état $|0\rangle = |+\rangle_z$. Comme indiqué précédemment, les mesures sont effectuées le long de l'axe $z$. L'objectif est donc de déterminer quels opérateurs nous pouvons insérer entre les états de la base de mesure $\langle 0|\langle 0|$ et les états initiaux des qubits $|0\rangle |0\rangle$ pour obtenir l'expression compliquée ci-dessus. Pour cela, nous devons passer en revue quelques portes de base de l'informatique quantique.

$X$ porte : Équivalent à une opération NOT. Porte à qubit unique.

Dans Qiskit, la création d'un circuit avec une porte $X$ ressemble à ceci :

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Output:

$H$ Porte de Hadamard : Crée un état de superposition. Porte à qubit unique.

Un circuit avec une porte de Hadamard est réalisé comme suit :

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Output:

Porte CNOT (Controlled-NOT gate) : Cette porte utilise deux qubits : un qubit de contrôle et un qubit cible. Vérifie l'état d'un qubit de contrôle qui n'est pas modifié. Mais si le qubit de contrôle est dans l'état $|1\rangle$, la porte change l'état du qubit cible; si l'état du qubit de contrôle est $|0\rangle$, aucun changement n'est effectué. Dans la notation ci-dessous, on suppose que le premier qubit est le contrôle et le second la cible.

Une porte CNOT se présente différemment dans un circuit, puisqu'elle nécessite deux qubits. Voici comment il est mis en œuvre :

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Output:

Notez que le premier qubit listé dans qc.cx(0,1) est le contrôle, et le second est la cible. Schématiquement, la cible est celle qui porte le signe "+" ou une croix.

$R_y(\theta)$ Rotation Y gate : Fait pivoter l'état autour de l'axe des y. Il s'agit d'une porte à qubit unique.

Enfin, les portes de rotation sont mises en œuvre en spécifiant le type de porte, l'ampleur de la rotation et le qubit sur lequel la porte est placée, dans cet ordre :

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Output:

Le nom de la porte ry spécifie l'axe autour duquel la rotation se produit. Le premier argument $\pi/2$ fait référence à l'ampleur de la rotation, et le second argument spécifie le qubit sur lequel la porte doit être placée.

Vérifiez votre compréhension

En utilisant la syntaxe introduite ou rafraîchie ci-dessus, réalisez n'importe quel circuit quantique impliquant quatre types différents de portes quantiques.

• Réponse

  Il existe bien sûr une infinité de possibilités. En voici un exemple :

  
  qc=QuantumCircuit(2)
  qc.ry(pi/2,0)
  qc.cx(1,0)
  qc.x(1)
  qc.h(0)
  qc.cx(0,1)
  qc.draw("mpl")

De l'expérience physique aux circuits quantiques

D'après les opérations de ces portes, nous pouvons voir, par exemple, que les kets dans les expressions pour $P_{++}$ :

sont susceptibles d'impliquer une porte de Hadamard pour obtenir la superposition, et une porte CNOT pour créer l'enchevêtrement.

Nous allons maintenant utiliser les portes H, X et CNOT pour transformer $|0\rangle_L|0\rangle_R$ en $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$ :

Ici, $CNOT_{LR}$ signifie une porte CNOT utilisant L comme contrôle et R comme cible. Nous pouvons maintenant factoriser la partie R de l'État :

Nous avons maintenant écrit le ket entièrement comme des portes quantiques fonctionnant sur l'état de départ par défaut des qubits.

Nous pouvons maintenant utiliser le $R_y(\theta)$ agissant sur $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ pour obtenir le bra dans l'expression pour $P_{++}$.

En combinant ces résultats, nous pouvons écrire la probabilité $P_{++}$ comme suit

Cela nous donne des instructions explicites sur la manière de construire notre circuit quantique. Nous appliquerons les portes X, H, CNOT et $R_y$ aux qubits représentant les états quantiques des particules mesurées par Lucas et Rihanna, et nous effectuerons des mesures pour obtenir la probabilité.

IBM Quantum recommande d'aborder les problèmes d'informatique quantique à l'aide d'un cadre que nous appelons les modèles Qiskit. Il se compose des étapes suivantes.

• Étape 1 : Tracer un circuit quantique à partir de votre problème
• Étape 2 : Optimiser votre circuit pour qu'il fonctionne sur du matériel quantique réel
• Étape 3 : Exécuter votre travail sur les ordinateurs quantiques IBM à l'aide des Runtime Primitives
• Étape 4 : Post-traitement des résultats

En fait, tout le travail que nous avons effectué ci-dessus constituait l'étape 1. Construisons le circuit résultant à l'aide de Qiskit!

Étape 1 : Mise en correspondance de nos résultats avec un circuit quantique

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a
# histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Rappelez-vous qu'un tiers du temps, l'axe choisi par Rihanna sera à $2\pi/3$ radians de celui de Lucas, un tiers du temps il sera à $4 \pi/3$ radians de celui de Lucas, et un tiers du temps, ils choisiront le même axe. Nous devons donc réaliser 3 circuits quantiques pour ces 3 cas et additionner les résultats. Nous expliquerons soigneusement la première, et nous nous contenterons d'énoncer les deux dernières.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two
# classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's)
# as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and
# store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Output:

Le code ci-dessous permet de construire rapidement les trois circuits d'une manière plus rationnelle. Notez que la seule différence entre les trois circuits est la distance de rotation des deux qubits autour de l'axe $y$.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Output:

Nous allons maintenant utiliser une primitive de référence de Qiskit appelée « StatevectorSampler ». Un échantillonneur est une primitive conçue pour échantillonner tous les états possibles d'un système et renvoyer les probabilités (ou, dans certains cas, les quasi-probabilités) d'obtenir chaque état. On peut définir un nombre de « tirs » et examiner les « comptes » pour chaque état.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Si nous examinons les chefs d'accusation de chaque circuit, nous constatons que deux d'entre eux sont fondamentalement identiques et que le troisième est très différent.

plot_histogram(counts_list)

Output:

Dressons la liste des résultats possibles et additionnons tous les comptes de chaque état de chacun des trois circuits pour obtenir les probabilités globales.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Nous pouvons maintenant imprimer les nombres totaux pour chaque résultat et tracer l'histogramme.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

Output:

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Vérifiez votre compréhension

L'image ci-dessus est-elle cohérente avec les résultats prédits par les variables cachées et le déterminisme? Ou est-elle compatible avec la mécanique quantique probabiliste (et non locale)?

• Réponse

  Elle est compatible avec la mécanique quantique probabiliste et non locale. Le traitement des variables cachées a prédit que la probabilité d'obtenir le même signe était inférieure ou égale à 4/9. La mécanique quantique prévoyait une probabilité de 50 %. L'histogramme ci-dessus décrit une probabilité de 00 ou 11 égale à 49.97 %. Ce résultat est très proche de la prédiction de la mécanique quantique probabiliste, mais surtout, il est supérieur à la fourchette autorisée dans le traitement des variables cachées.

Cela prouve-t-il quoi que ce soit sur la nature?

• Réponse

  Non ! Nous utilisions un simulateur! Il s'agit d'un ordinateur programmé pour se comporter selon les lois de la mécanique quantique probabiliste. Si nous proposons une règle et que nous programmons ensuite un ordinateur pour qu'il suive cette règle, sa capacité à suivre la règle n'est pas la preuve que la règle est correcte! Le seul moyen de le prouver est d'utiliser un véritable ordinateur quantique!

Étape 2 : Optimisez votre circuit quantique pour qu'il fonctionne sur du matériel réel

Bien que nous ayons initialement utilisé un simulateur pour déboguer notre code, nous voulons vraiment fonctionner sur du matériel réel. Après tout, un simulateur ne fait que prétendre à la mécanique quantique, sur la base des équations ci-dessus. Si le simulateur nous disait que ces équations sont correctes, cela ne nous convaincrait pas beaucoup. Nous voulons un véritable ordinateur quantique pour nous dire ce qui se passe! Nous allons donc sélectionner l'ordinateur quantique que nous voulons utiliser. Parfois, il peut être important de choisir un appareil spécifique qui possède les propriétés souhaitées, mais souvent, nous voulons simplement utiliser l'appareil le moins sollicité.

Le code ci-dessous vous permet de sauvegarder vos données d'identification lors de la première utilisation. Veillez à supprimer ces informations du bloc-notes après l'avoir enregistré dans votre environnement, afin que vos informations d'identification ne soient pas accidentellement partagées lorsque vous partagez le bloc-notes. Voir Configurer votre compte IBM Cloud et Initialiser le service dans un environnement non fiable pour plus d'informations.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform',
# instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Output:

Étape 3 : Exécutez votre tâche sur les ordinateurs quantiques d' IBM à l'aide des primitives Runtime

Maintenant que nous avons optimisé nos circuits pour qu'ils fonctionnent sur du matériel quantique réel et que nous avons débogué notre code à l'aide de simulateurs, nous sommes prêts à recueillir des statistiques à partir d'un véritable ordinateur quantique et à régler le désaccord entre Einstein et Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex
# Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning
# repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

Output:

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted
# time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check
# of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

Output:

[None, None, None]

Étape 4 : Post-traitement et analyse

Prenons un peu de recul et récapitulons : En utilisant un traitement des variables cachées et les trois axes de décalage, nous avons obtenu une contrainte sur la probabilité que les mesures donnent le même signe $P_{same,hv} =4/9$. Nous avons ensuite supposé des distributions de probabilité comme en mécanique quantique et obtenu une valeur différente pour cette probabilité : $P_{same,gm} = 1/2$. La prédiction de la mécanique quantique est plus élevée que celle permise par le traitement des variables cachées. Il est donc possible de savoir expérimentalement si les états de la mécanique quantique sont déterminés par la nature avant la mesure, ou s'ils se trouvent réellement dans une superposition probabiliste d'états possibles.

Nous avons conçu nos circuits quantiques de manière à ce qu'il y ait quatre résultats possibles correspondant à Lucas et Rihanna mesurant un signe de la projection de spin ou l'autre : 00, 01, 10 et 11. Dans les cas de 00 et 11, Lucas et Rihanna mesurent le même signe, et dans les cas de 01 et 10, ils mesurent des signes opposés. Nous constatons que, selon une très bonne approximation, les chances que Lucas et Rihanna obtiennent le même signe sont d'environ 50 %, soit nettement supérieures à $4/9$. Cela signifie qu'il n'existe aucun ensemble de variables cachées pouvant rendre compte de cette distribution de probabilités, et que le traitement des variables cachées n'est pas compatible avec l'expérience.

Il existe différentes interprétations des résultats expérimentaux de la mécanique quantique, et les montages expérimentaux comportent de nombreuses subtilités qui sont réexaminées de temps à autre. Mais jusqu'à présent, les principes de la mécanique quantique et l'interprétation probabiliste des états quantiques ont décrit les résultats avec précision. Max Born semble avoir vu juste.

Prenons un instant de plus pour réfléchir à la signification de tout cela. Deux particules émergent d'un événement de désintégration, et les deux particules voyagent dans des directions différentes, éventuellement pendant une longue période. Leurs spins ne sont pas dans un état bien défini, et ils ne portent pas d'instructions de variables cachées avec eux pour déterminer les résultats des mesures futures. Mais la mesure de l'une (le long de, disons $+z$ ) détermine nécessairement le résultat d'une expérience sur le spin de l'autre particule le long de la direction $z$ (il doit être $-z$ ). Cela signifie que quelque chose dans la physique d'une particule est déterminé par ce qui est fait à l'autre particule, éventuellement très éloignée. C'est l'une des situations qui a conduit les gens à qualifier la réalité de "non locale".

Deux particules comme celles que nous avons décrites sont en quelque sorte "connectées", en ce sens que les mesures effectuées sur l'une peuvent influencer l'autre. On dit de ces particules qu'elles sont "intriquées". L'intrication est plus qu'une simple corrélation. Par exemple, nous pourrions construire une machine classique qui cracherait un aimant d'un côté avec son extrémité nord vers le haut et un aimant de l'autre côté avec son extrémité nord vers le bas. De tels aimants pourraient être parfaitement anti-corrélés. Mais une mesure de l'un n'aurait aucun effet sur l'autre. En mécanique quantique, la particule A peut être dans un état indéfini (ou un mélange de plusieurs états), et nous pouvons l'assigner à un état défini grâce à des mesures sur une particule totalement différente (disons, B). Rien de tel n'existe dans le monde classique.

Cela soulève souvent un nouveau monde de questions et de possibilités. Certaines des idées qu'il évoque sont réelles, comme l'utilisation de l'intrication pour calculer, comme dans les ordinateurs quantiques! Certaines sont faussement séduisantes, mais se révèlent inefficaces, comme la tentative d'utiliser l'intrication pour envoyer des informations plus rapidement que la lumière. Nous vous encourageons à poser toutes les questions qui vous viennent à l'esprit et à lire ce que d'autres ont fait pour étudier ces phénomènes. Il existe tout un monde de mécanique quantique à explorer, mais voici quelques ressources que vous pouvez consulter :

IBM Cours quantiques :

• L'informatique quantique en pratique
• Notions de base sur l’information quantique

Articles intéressants sur la mécanique quantique :

• Paradoxe d'Einstein, de Podolsky et de Rosen
• L'article original de John Bell datant de 1964
• article de 2019 sur la capture et l'inversion d'un "saut quantique" au milieu d'une transition

Quelques ressources pédagogiques sur la mécanique quantique :

• Matériel de cours Quantum I de l'Université du Colorado.

Quelques recherches pédagogiques sur la mécanique quantique :

• Examen des difficultés des étudiants en mécanique quantique de niveau supérieur par C. Singh et E. Marshman

Questions

Les enseignants peuvent demander des versions de ces cahiers avec les corrigés et des conseils sur le placement dans les programmes d'études communs en répondant à cette enquête rapide sur la façon dont les cahiers sont utilisés.

Concepts essentiels :

• Il y a eu un désaccord historique sur la question de savoir si les états quantiques étaient simplement inconnus ou indéterminés par nature avant la mesure, si la mécanique quantique était déterministe ou probabiliste.
• Les variables cachées et donc le réalisme local ne sont pas compatibles avec les observations de la mécanique quantique. En d'autres termes, les corrélations observées en mécanique quantique ne peuvent être expliquées par des variables bien définies qui nous sont tout simplement inconnues.
• La mécanique quantique est probabiliste.
• L'intrication est réelle et observable.
• L'intrication ne se limite pas aux corrélations.
• Nous pouvons faire correspondre des scénarios du monde réel à des ordinateurs quantiques.
• Les variables cachées sont des quantités spécifiées par la nature, mais inconnues des humains; elles n'existent pas dans ce contexte.

Questions vrai/faux :

1. Albert Einstein a soutenu que la mécanique quantique était une théorie incomplète, car elle ne décrivait que des probabilités de résultats, et non le mécanisme sous-jacent qui déterminait ces résultats.
2. T/F Les "variables cachées" renvoient à l'idée que deux particules de mécanique quantique peuvent être enchevêtrées.
3. T/F Deux systèmes corrélés quelconques sont intriqués du point de vue de la mécanique quantique.
4. T/F L'intrication de la mécanique quantique est importante pour faire des mathématiques correctes, mais on ne peut pas la voir dans une expérience.
5. T/F Dans la plupart des cas, la mécanique quantique ne peut pas vous indiquer le résultat exact d'une expérience, mais seulement les probabilités que certains résultats soient mesurés.
6. T/F En mécanique quantique, sous certaines conditions, l'état de la particule A peut être affecté par l'état de la particule B, même si les particules A et B ne sont pas en contact et n'échangent aucune particule.
7. T/F Nous pouvons transposer des expériences du monde réel sur des circuits quantiques.

Questions du MC :

1. Supposons qu'une particule spin-0 se désintègre en deux particules spin-1/2 A et B. Une mesure effectuée sur la particule A révèle que son spin a une projection le long de $+z$. La particule B est maintenant

   • a. a définitivement une projection de spin le long de $-z$
   • b. a définitivement une projection de spin le long de $-x$
   • c. a définitivement une projection de spin le long de $-y$
   • d. a définitivement une projection de spin négatif le long de n'importe quel axe mesuré.

2. Une particule spin-0 se décompose en deux particules spin-1/2 A et B. Si la projection de la particule A est mesurée le long de $+z$, quelles projections parmi les suivantes sont possibles pour une mesure de la particule B? Entourez toutes les réponses qui s'appliquent.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Supposons qu'une particule spin-0 se désintègre en deux particules spin-1/2 A et B. Qu'est-ce qui décrit le mieux l'état de la particule A avant toute mesure.

   • a. Le spin de la particule A est le long de $+z$.
   • b. Le spin de la particule A est le long de $-z$.
   • c. Le spin de la particule A est le long de $+x$.
   • d. Le spin de la particule A est défini selon certaines directions, mais pas selon d'autres.
   • e. L'orientation du spin de la particule A est indéterminée par nature avant toute mesure.

4. Lequel/lesquels des énoncés suivants est/sont vrai(s) pour la porte de Hadamard? Sélectionnez toutes les phrases qui s'appliquent.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Lequel/lesquels des éléments suivants est/sont vrai(s) pour la porte X? Sélectionnez toutes les phrases qui s'appliquent.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Lequel des éléments suivants est une porte à deux qubits?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Supposons qu'un qubit soit dans l'état $|0\rangle$. Quelle est la probabilité de le mesurer dans l'état $1\rangle$?

   • a. Exactement 100 % sur un simulateur sans bruit, près de 100 % sur un véritable ordinateur quantique
   • b. Près de 100 % sur un simulateur sans bruit, exactement 100 % sur un véritable ordinateur quantique
   • c. Exactement 0 % sur un simulateur sans bruit, près de 0 % sur un véritable ordinateur quantique
   • d. Près de 0 % sur un simulateur sans bruit, exactement 0 % sur un véritable ordinateur quantique

Questions à débattre :

1. Les amis A, B et C discutent des résultats de ce laboratoire, liés à l'inégalité de Bell. Plus précisément, ils regardent l'image qui montre que la probabilité mécanique quantique de mesurer le même signe le long des axes est supérieure à celle permise par un traitement des variables cachées : $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. L'ami A dit : "Cela signifie que nous ne connaissions pas l'état des spins avant la mesure" L'ami B répond : "Non, c'est plus que cela. Cela signifie que les spins ne sont pas déjà orientés dans une direction particulière avant la mesure. Bien que l'état du spin puisse être déterminé ou stocké d'une manière ou d'une autre" L'ami C dit : "Non, c'est encore plus que cela. Cela signifie que l'état futur du spin n'a même pas été décidé par la nature avant la mesure" Avec qui êtes-vous d'accord et pourquoi?

2. Expliquez comment les phénomènes de mécanique quantique tels que l'intrication indiquent que la réalité n'est pas locale.

3. Quelles expériences supplémentaires souhaiteriez-vous réaliser pour vous convaincre des résultats obtenus ici?

4. L'inégalité de Bell ne peut-elle être explorée qu'avec 3 axes également espacés $a$, $b$, et $c$? Peut-on le faire avec un autre nombre d'axes? À quoi cela ressemblerait-il? Y aurait-il encore une différence entre les probabilités prédites par les variables cachées et celles prédites par la mécanique quantique probabiliste?