量子情報

私たちは今、複数システムの設定における量子情報へと進む準備ができている。 単一システムに関する前回のレッスンと同様、複数システムの量子情報の数学的記述は、確率論的なケースとよく似ており、同様の概念と技法が用いられている。

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量子状態

複数のシステムは、単一の複合システムとしてまとめて見ることができる。 我々はすでに確率論的な設定でこれを観察しており、量子的な設定もこれに類似している。 したがって、複数系の量子状態は、単一系の量子状態と同様に、複素数のエントリを持ち、ユークリッドノルムが $1,$ に等しい列ベクトルで表される。 複数システムの場合、これらのベクトルのエントリーは、個々のシステムに関連する古典的状態集合のデカルト積に対応して配置される。

例えば、 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ が量子ビットである場合、一組の量子ビット $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ を一つのシステムとして見たときの古典的な状態集合はデカルト積となる。 $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ 2進値の組を長さ2の2進文字列として表現することで、このデカルト積集合を集合 $\{00,01,10,11\}.$ 従って、以下のベクトルはすべてペアの量子状態ベクトルの例である。 $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

複数システムの量子状態ベクトルの表現方法にはバリエーションがあり、好みに合わせて選ぶことができる。 上記の最初の量子状態ベクトルの例をいくつか挙げよう。

1. $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ （ $a$、 $b$ ）という事実を利用して、代わりに次のように書くことができる

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. テンソル積の記号を明示的にこう書くこともできる：

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. このように、ケツに添え字を付けて、それらがどのように考察されているシステムに対応しているかを示すことができる：

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

もちろん、量子状態ベクトルを列ベクトルとして明示的に書くこともできる：

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

登場する文脈によっては、これらのバリエーションのいずれかが好まれるかもしれないが、同じベクトルを表すという意味では、これらはすべて等価である。

量子状態ベクトルのテンソル積

確率ベクトルの場合と同様に、量子状態ベクトルのテンソル積も量子状態ベクトルであり、やはりシステム間の独立性を表す。

より詳細には、2つの系の場合から始め、 $\vert \phi \rangle$ が系 $\mathsf{X}$ の量子状態ベクトルであり、 $\vert \psi \rangle$ が系の量子状態ベクトルであるとする。 $\mathsf{Y}.$ テンソル積 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$。 $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ または $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ は合同系の量子状態ベクトルである。 $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ ここでも、このような状態を積状態と呼ぶ。

直感的に言えば、一対の系 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ が積の状態 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ にあるとき、これは $\mathsf{X}$ が量子の状態 $\vert \phi \rangle,$ にあることを意味すると解釈できる。 $\mathsf{Y}$ は量子の状態 $\vert \psi \rangle,$ にあり、2つの系の状態は互いに関係ない。

テンソル積ベクトル $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ が確かに量子状態ベクトルであるという事実は、ユークリッドノルムがテンソル積に関して乗法的であることと矛盾しない：

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

$\vert \phi \rangle$ と $\vert \psi \rangle$ は量子状態ベクトルなので、 $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ と $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ があり、したがって $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ もあるので、 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ も量子状態ベクトルである。

これは2つ以上のシステムに一般化される。 $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ がシステム $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ の量子状態ベクトルだとすると、 $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ は合同システムの積状態を表す量子状態ベクトルである。 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ ここでも、これが量子状態ベクトルであることがわかる。

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

もつれた状態

複数システムの量子状態ベクトルがすべて積状態であるとは限らない。 例えば、量子状態ベクトル

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

つの量子ビットは積の状態ではない。 これを推論するには、前節で確率的状態について使ったのとまったく同じ議論に従えばよい。 つまり、もし $(1)$ が積状態であれば、以下のような量子状態ベクトル $\vert\phi\rangle$ と $\vert\psi\rangle$ が存在することになる

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

しかし、そうなれば必然的に

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

$\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$、または $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (またはその両方）。 という事実と矛盾する

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

および

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

はともにゼロではない。 従って、量子状態ベクトル $(1)$ は2つのシステムの相関を表し、具体的にはシステムがもつれ合うと言う。

$1/\sqrt{2}$ 重要なのは、この値がゼロでないことだ。 したがって、例えば、量子状態

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

もまた、同じ論法で製品状態ではない。

エンタングルメントは量子情報の本質的な特徴であり、後のレッスンで詳しく説明する。 エンタングルメントは、特に密度行列で記述できるようなノイズの多い量子状態の場合、複雑になることがあります (これは、 「量子情報と計算の理解 」シリーズの 3 番目のコースである 「量子情報の一般的な定式化」 コースで説明されています)。 しかし、量子状態ベクトルでは、もつれは相関と等価である。積状態でない量子状態ベクトルは、もつれた状態を表す。

対照的に、量子状態ベクトル

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

は製品状態の例である。

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

したがって、この状態はもつれない。

ベルは述べる

ここでは、多重量子ビットの量子状態の重要な例として、 ベル状態から見ていくことにしよう。 これらは以下の4つの2量子ビット状態である：

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

ベル状態は、 ジョン・ベルジョン・スチュワート・ベル（1928-1990）は、量子論の基礎に重要な貢献をした物理学者である にちなんでそう名付けられた。 $\vert\phi^+\rangle$ が積状態ではないことを証明する同じ議論によって、他のどのベル状態も積状態ではないことが明らかになる。

4つのベル・ステートすべてのコレクション

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

はベル基底として知られている その名の通り、これは基底である。2量子ビットの量子状態ベクトル、あるいは2ビットの4つの古典状態に対応するエントリを持つあらゆる複素ベクトルは、4つのベル状態の線形結合として表すことができる。 例:

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

GHZ状態とW状態

次に、3つの量子ビットの状態について、2つの興味深い例を考えてみよう。 最初の例は、 GHZ状態である（ダニエル・グリーンバーガー、マイケル・ホーン、アントン・ザイリンガーに敬意を表してこの名前が付けられた）：

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

つ目の例は、いわゆるWの状態である：

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

つまり、3量子ビットの量子状態ベクトルのテンソル積として書くことはできない。 この2つの状態については、後ほど複数システムの量子状態の部分測定について説明するときに検証する。

その他の例

これまで見てきた複数系の量子状態の例は、2つまたは3つの量子ビットの状態であったが、異なる古典状態セットを持つ複数系の量子状態を考えることもできる。

例えば、 $\mathsf{X},$、 $\mathsf{Y},$、 $\mathsf{Z},$ の3つのシステムの量子状態である。 $\mathsf{X}$ の古典状態集合は2進アルファベットであり（従って、 $\mathsf{X}$ は量子ビットである）、 $\mathsf{Y}$ と $\mathsf{Z}$ の古典状態集合は以下の通りである。 $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

そして、 $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$、 $\mathsf{Z},$、すべて同じ古典的状態セットを共有する3つのシステムの量子状態の例である。 $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

古典的な状態セット $\{0,1,2\}$ を持つ系は、しばしばトリット（trits） または（量子状態になりうると仮定して） クトリット（qutrits ）と呼ばれる。 quditという用語は、 $\{0,\ldots,d-1\}$ の任意の選択に対する古典的な状態集合を持つシステムを指す。 $d.$

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量子状態の測定

前回のレッスンでは、単一システムの量子状態の標準基底測定について説明しました。古典的状態セット $\Sigma$ を持つシステムがベクトル $\vert \psi \rangle,$ で表される量子状態にあり、そのシステムが測定された場合 (標準基底測定に関して)、各古典的状態 $a\in\Sigma$ 確率 $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ で出現します。これは、複数のシステムの量子状態があり、複合システム全体を測定することを選択した場合に何が起こるかを示しています。これは、 すべてのシステムを測定することと同じです。

これを正確に述べるために、 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ がそれぞれ古典的な状態セット $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ を持つシステムであると仮定しよう。 このとき、 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ をまとめて、古典的状態集合がデカルト積である1つの系とみなすことができる。 $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ この系の量子状態を量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle,$ で表し、すべての系を測定すると、それぞれの可能な結果 $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ が確率で現れる。 $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

例えば、システム $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ が共同で量子状態にある場合、次のようになる

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

とすれば、標準的な基礎測定で両システムを測定すると、確率 $9/25$ で結果 $(0,\heartsuit)$、確率 $(1,\spadesuit)$ で結果 が得られる。 $16/25.$

部分的な測定

ここで、ある量子状態にある複数の系があり、そのうちの適切な部分集合を測定するという状況を考えてみよう。 前回同様、古典的な状態セット $\Sigma$ と $\Gamma,$ をそれぞれ持つ2つのシステム $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ から始める。

一般に、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトルは次のような形になる

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

ここで、 $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ は以下を満たす複素数の集まりである

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

これは、 $\vert \psi \rangle$ が単位ベクトルであることと等価である。

上記の議論から、 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ の両方が測定された場合、各可能な結果 $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ が確率で現れることがすでに分かっている

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

その代わりに、最初のシステム $\mathsf{X}$ のみを測定すると仮定すると、各結果 $a\in\Sigma$ が現れる確率は以下のようになる

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

これは、確率論的な設定ですでに見たことや、現在の物理学の理解と一致している： $\mathsf{X}$ が測定されたときにそれぞれの結果が現れる確率は、 $\mathsf{Y}$ も測定されたかどうかに依存することはありえない。そうすれば光よりも速い通信が可能になるからだ。

$\mathsf{X},$ の標準基底測定の特定の結果 $a\in\Sigma$ を得た我々は、当然、 $\mathsf{X}$ の量子状態が、単一系の場合と同じように、 $\vert a\rangle,$ と等しくなるように変化することを期待する。 しかし、 $\mathsf{Y}$ の量子状態はどうなるのか？

この質問に答えるために、まずベクトル $\vert\psi\rangle$

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

ここで

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

それぞれについて $a\in\Sigma.$ ここでは、確率的な場合と同じ方法論に従って、測定されるシステムの標準的な基底状態を分離する。 $\mathsf{X}$、各結果 $a$ を与える標準基底測定の確率は以下の通りである：

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

そして、 $\mathsf{X}$ の標準基底測定の結果、 $a,$ ペア $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態は次のようになる

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

つまり、単一システムの場合と同じように状態は "崩壊 "するが、 $\mathsf{X}$ の測定が結果をもたらしたことと状態が一致するために必要な範囲にとどまる。 $a.$

非公式に言えば、 $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ は、 $\mathsf{X}$ の測定結果と一致する $\vert \psi\rangle$ の成分を表す。 $a.$ 次に、このベクトルを正規化し、ユークリッドノルム（ $\|\vert\phi_a\rangle\|$ ）で割ることで、ユークリッドノルムが次のように等しい有効な量子状態ベクトルを得ます。 $1.$ この正規化のステップは、確率論的な設定において、確率ベクトルを得るためにベクトルをエントリの和で割ったときに行ったことに似ている。

例として、冒頭の2つの量子ビット（ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ）の状態を考えてみよう：

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

最初のシステム $\mathsf{X}$ を測定したときに何が起こるかを理解するために、まず次のように書く

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

上の説明から、測定結果が $0$ になる確率は次のようになる

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

この場合、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の状態は次のようになる

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

であり、測定結果が $1$ になる確率は次のようになる

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

この場合、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の状態は次のようになる

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

同じテクニックを対称的な方法で用いると、1つ目のシステムではなく2つ目のシステム（ $\mathsf{Y}$ ）を測定した場合に何が起こるかを説明することができる。 今度は、ベクトル $\vert \psi \rangle$ を次のように書き直す

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

$\mathsf{Y}$ の測定結果が $0$ になる確率は次の通りである

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

この場合、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の状態は次のようになる

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

であり、測定結果が $1$ である確率は

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

この場合、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の状態は次のようになる

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

縮約量子状態に関する注記

それは、確率論的な場合のように、2つの系のうちの1つ（あるいは、任意の数の系の適切な部分集合）の量子状態を縮小（あるいは限界）して記述する方法を提供しないという点である。

具体的には、確率ベクトル $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ によって記述される2つのシステムの確率的状態について、次のように記述する

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

$\mathsf{X}$、 縮小された、あるいは限界的な確率的状態を次のように書くことができる

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

量子状態ベクトルの場合、これに類似した方法はない。 特に、量子状態ベクトル

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

ベクトル

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

は一般的に量子状態ベクトルではなく、縮小状態や限界状態の概念を適切に表していない。

その代わりに、 量子情報の一般的な定式化のコースで説明する密度行列の概念に目を向けることができる。 密度行列は、確率論的な設定に類似した、縮小された量子状態を定義する有意義な方法を提供してくれる。

三つ以上のシステムに対する部分的な測定

3つ以上のシステムの部分的な測定（システムの適切な部分集合が測定される）は、システムを2つのコレクション（測定されるものとされないもの）に分割することによって、2つのシステムの場合に縮小することができる。 具体的な例を挙げよう。 これは、ケットが表すシステムの名前で添え字をつけることがいかに有用であるかを具体的に示している--この場合、システムの並べ替えを記述する簡単な方法が得られるからである。

この例では、5つのシステムの量子状態を考える。 $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$、これら5つのシステムはすべて同じ古典状態セットを共有する。 $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

ここでは、1番目と3番目のシステムが測定され、残りのシステムは放置されている状況を考える。

概念的に言えば、この状況は2つのシステムのどちらかが測定される場合と根本的な違いはない。 残念なことに、測定された系と測定されていない系が混在しているため、これらの計算を実行するために必要な式を書き出すのにハードルがある。

上で提案したように、一つの方法として、ケツに添え字を付けて、どのシステムを指しているかを示す方法がある。 これによって、ケットの順序を入れ替えてもシステムを追跡できるようになり、数学がよりシンプルになる。

まず、上記の量子状態ベクトルは次のように書くこともできる

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

各ケットにどのシステムに対応するかを示す添え字が付いた以外は、何も変わっていない。 ここでは、 $0,\ldots,4,$ という添え字を使っているが、システム名そのものを使うこともできる（たとえば、 $\mathsf{X},$、 $\mathsf{Y},$、 $\mathsf{Z},$ のようなシステム名がある場合）。

ここで、ケットを並べ替え、以下のように項を集めることができる：

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

この例のように括弧が使われている場合でも、テンソル積は暗黙のままである。

ケットの並べ替えについて明確にしておくと、テンソル積は可換ではない。 $\vert \phi\rangle$ と $\vert \pi \rangle$ がベクトルである場合、一般的に、 $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ は $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ とは異なるし、3つ以上のベクトルのテンソル積についても同様である。 例えば、こうだ、 $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ は $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ 私たちが今行ったようにケットを並べ替えることは、そうでないことを示唆していると解釈されるべきではない。

そうではなく、計算を行うために、我々は単純に、以下の順番で並べるよりも、 $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ の順番で並べる方が便利だという判断をしているのである。 $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ ケッツの添え字は、これを整理しておくためのものであり、後で元の順序に戻したければ、自由に戻すことができる。

ここで、システム $\mathsf{X}_4$ と $\mathsf{X}_2$ を測定した場合、異なる結果の（ゼロでない）確率は以下のようになることがわかる：

• 測定結果 $(\heartsuit,\diamondsuit)$ は確率

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• 測定結果 $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ は確率

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• 測定結果 $(\spadesuit,\clubsuit)$ は確率

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

例えば、測定結果が $(\heartsuit,\diamondsuit),$、5つのシステムの結果は次のようになる

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

ここでは、最終的な答えとして、このようなことができることを説明するために、システムの順序を元に戻した。 その他の測定結果についても、同様の方法で状態を決定することができる。

最後に、GHZ状態から始まる、先に約束した2つの例を紹介しよう

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

$0$ $1/2,$ $1$ この場合、3つの量子ビットの状態は $\vert 000\rangle;$ となる。また、この場合、3つの量子ビットの状態は $1/2,$ となる。 $\vert 111\rangle.$

一方、Wの状態については、最初のシステムだけが測定されると仮定して、この状態を次のように書き始める：

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

したがって、最初の量子ビットの測定結果が0になる確率は、次のようになる

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

そして、この結果をもたらす測定を条件として、3つの量子ビットの量子状態は次のようになる

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

測定結果が1になる確率は $1/3,$、この場合3つの量子ビットの状態は次のようになる。 $\vert 100\rangle.$

W状態は、量子ビットを並べ替えても変わらないという意味で対称的である。 したがって、1番目の量子ビットではなく、2番目あるいは3番目の量子ビットを測定する場合にも同様の記述が得られる。

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単項演算

原理的には、ある系の古典的な状態に対応する行と列を持つユニタリー行列は、その系に対する有効な量子演算を表す。 もちろん、複合系の古典状態集合が、個々の系の古典状態集合のデカルト積である場合にも、これは当てはまる。

2つの系に注目すると、 $\mathsf{X}$ が古典状態集合 $\Sigma,$ を持つ系で、 $\mathsf{Y}$ が古典状態集合 $\Gamma,$ を持つ系である場合、合同系 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の古典状態集合は $\Sigma\times\Gamma.$ です。したがって、この合同系に対する量子操作は、行と列が集合 に対応するユニタリー行列で表されます。 $\Sigma\times\Gamma.$ これらの行列の行と列の順序は、システムの量子状態ベクトルの順序と同じである。 $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

例えば、 $\Sigma = \{1,2,3\}$ と $\Gamma = \{0,1\},$ を仮定し、デカルト積 $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ の要素の順序付けの標準的な慣例を思い出してみよう：

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

以下は、次の演算を表すユニタリー行列の例である。 $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

このユニタリー行列は特別なものではなく、単なる例だ。 $U$ がユニタリーであることをチェックするには、例えば $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ を計算してチェックすれば十分である。 あるいは、行（または列）が正規直交行列であることをチェックすることもできる。 $U.$

例えば、標準基底ベクトル $\vert 1, 1 \rangle,$ に対する $U$ の作用は次の通りである

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

これは、 $U,$ の2列目を見ればわかる。 $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

どの行列でもそうだが、 $U$ をディラック記法を用いて表現することも可能である。この場合、 の20の非ゼロ項目に対して20の項が必要となる。 $U.$ しかし、これらの項をすべて書き記すとすると、 $6\times 6$ 行列を書き記すのとは違って乱雑になり、行列式から明らかになるパターンもそれほど明確にはならないだろう。 簡単に言えば、ディラック記法は常に最良の選択というわけではない。

3つ以上のシステムに対するユニタリー演算も同様に機能し、ユニタリー行列はシステムの古典的状態集合のデカルト積に対応する行と列を持つ。 このレッスンではすでに1つの例を見てきた

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

brasとketsの数字は、 $3$ -bitの2進符号化を意味する。 決定論的な操作であることに加え、これは単一操作でもある。 決定論的かつ単一的な演算は可逆演算と呼ばれる。 この行列の共役転置は次のように書ける：

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

これは元の演算の逆、数学用語では逆演算を表しており、ユニタリー行列の共役転置に期待されるものである。 レッスンが進むにつれて、複数のシステムに対する単一操作の他の例も見ていくことになる。

個々のシステムに対して独立して実行される単体操作

ユニタリー演算が個々のシステムの集まりに対して独立に実行される場合、これらの独立した演算の複合作用は、それらを表すユニタリー行列のテンソル積によって記述される。 すなわち、 $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ が量子系、 $U_0,\ldots, U_{n-1}$ がこれらの系に対する操作を表すユニタリー行列で、操作がそれぞれの系に対して独立に行われる場合、 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ に対する複合作用は行列で表される。 $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ この点で、確率的設定と量子設定は類似していることがわかる。

前の段落を読めば、ユニタリー行列の集まりのテンソル積がユニタリーであることは当然予想できる。 実際、これは真実であり、次のように検証することができる。

まず、共役転置演算は以下を満たすことに注意

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

任意の行列 $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ これは、テンソル積と共役転置の定義に戻り、方程式の両辺の各項目が一致していることをチェックすることで確認できる。 This means that

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

行列のテンソル積は乗法なので、次のようになる

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

ここでは、 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ システムの恒等演算を表す行列を指すために、 $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ と表記している。つまり、これらの行列は恒等行列であり、その大きさは、 の古典的状態の数と一致する。 $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

最後に、テンソル積 $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ は、行列の行数と列数の積と一致する行数と列数を持つ恒等行列に等しい。 $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ このより大きな恒等行列は、関節系の恒等演算を表す。 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

まとめると、次のような等号の並びがある：

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

従って、 $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$、一元的であると結論づける。

ユニタリー・オペレーションが、より大きなジョイント・システム内の1つのシステム（またはシステムの適切なサブセット）だけに適用されるという重要な状況がしばしば発生する。 例えば、 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ が一緒になってひとつの複合システム $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ を形成しているとみなすことができるシステムであり、そのシステムに対してだけ操作を行ったとしよう。 $\mathsf{X}.$ 正確には、 $U$ が、 $\mathsf{X},$ に対する操作を表すユニタリー行列であり、その行と列が、 の古典的状態に対応して配置されていると仮定しよう。 $\mathsf{X}.$

$U$ で表される操作をシステム $\mathsf{X}$ に対してだけ行うということは、 $\mathsf{Y},$ に対しては何もしないということであり、 $\mathsf{X}$ に対しては $U$ を、 に対しては同一性演算を、それぞれ独立に行うということである。 $\mathsf{Y}.$ つまり、 $\mathsf{Y}$ に対して「何もしない」ということは、 $\mathsf{Y},$ に対して恒等行列で表される恒等演算を行うことと等価である。 $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (ちなみに、 $\mathsf{Y}$ という添え字は、 $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ が $\mathsf{Y}.$ の古典的状態集合と一致する行と列の数を持つ恒等行列を指していることを示している）。 したがって、 $\mathsf{X}$ に対して $U$ を実行し、 $\mathsf{Y}$ に対して何もしないときに得られる $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対する操作は、ユニタリー行列によって表される。

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

例えば、 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ が量子ビットである場合、 $\mathsf{X}$ にハダマード演算を行い、 $\mathsf{Y}$ には何もしないことは、次の演算を行うことと同じである

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

関節システムについて $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

同様にして、ユニタリー行列 $U$ で表される演算が $\mathsf{Y}$ に適用され、 $\mathsf{X},$ には何も行われない場合、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対する演算の結果はユニタリー行列で表される

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

例えば、 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ の両方が量子ビットであり、 $U$ がハダマード演算であるという状況をもう一度考えてみると、 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対する演算は次のような行列で表される

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

このように、系の集合に対するすべてのユニタリー演算が、ユニタリー演算のテンソル積として書けるわけではない。 例えば、後述する2つの量子ビットに対するスワップ演算も制御されたNOT演算も、ユニタリー演算のテンソル積として表現することはできない。

スワップ操作

レッスンの締めくくりとして、 スワップ・オペレーションから始めて、複数システムに対するユニタリー・オペレーションの例を2クラス見てみよう。

$\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ が同じ古典的状態集合を共有するシステムであるとする。 $\Sigma.$ ペア $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対するスワップ操作は、2つのシステムの内容を交換する操作である。 $\mathsf{X}$ の内容を交換する操作であるが、それ以外の点では両システムはそのままである。 $\mathsf{Y}$ 右のままである。 この操作を $\operatorname{SWAP},$ と呼ぶことにする。この操作は、古典的状態のあらゆる選択に対して次のように行われる。 $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

この演算に関連する行列をディラック記法を用いて書くと、次のようになる：

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

この行列が $\operatorname{SWAP},$ を表していることはすぐにはわからないかもしれないが、次の条件を満たしていることを確認できる。 $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ を満たすことが確認できる。 $a,b\in\Sigma.$ 単純な例として、 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ が量子ビットであるとき、次のことがわかります。

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

制御された単一操作

ここで、 $\mathsf{Q}$ が量子ビットで、 $\mathsf{R}$ が任意のシステムだとしよう。 状態セットであるとする。 システム $\mathsf{R},$ に作用するすべてのユニタリー操作 $U$ に対して、 コントロールされた$U$ 操作は、次のように定義された組 に対するユニタリー操作である。 $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ 操作である：

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

例えば、 $\mathsf{R}$ が量子ビットでもあり、 $X$ のパウリ演算を考える場合、 の制御演算は次のように与えられる。 $\mathrm{R},$ のパウリ演算を考えるとすると、制御された $X$ 演算は次式で与えられる。

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

この操作は、古典的な情報操作と確率的操作の文脈で、レッスンの前半ですでに説明した。 という文脈でこの操作に遭遇した。 $\mathsf{R}$ のパウリ $X$ オペレーションを $Z$ オペレーションに置き換えると、このようになる：

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

その代わりに、 $\mathsf{R}$ を2つの量子ビットとし、 $U$ をこの2つの量子ビット間のスワップ演算とすると、次のような演算が得られる。 を2つの量子ビット間のスワップ演算とすると、この演算が得られる：

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

この演算はフレドキン・オペレーション、 またはより一般的にはフレドキン・ゲートとしても知られている 標準的な基礎状態に対する作用は次のように説明できる：

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

最後に、 Controlled-Controlled-NOT演算を $CCX,$、 トッフォリ演算またはトッフォリゲートと呼ぶ その行列表現は次のようになる：

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

代わりにディラック記法を用いて次のように表現することもできる：

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$