Simulação quântica

Note

Yukio Kawashima (30 de maio de 2024)

Baixe o pdf da palestra original. Observe que alguns trechos de código podem se tornar obsoletos, pois são imagens estáticas.

O tempo aproximado da QPU para executar esse experimento é de 7 segundos.

(Este bloco de notas foi retirado, em sua maior parte, de um bloco de notas tutorial, agora obsoleto, para o Qiskit Algorithms)

1. Introdução

Como uma técnica de evolução em tempo real, a Trotterização consiste na aplicação sucessiva de uma ou mais portas quânticas, escolhidas para aproximar a evolução do tempo de um sistema em um intervalo de tempo. Com base na equação de Schrödinger, a evolução temporal de um sistema inicialmente no estado $\vert\psi(0)\rangle$ assume a forma:

\vert \psi(t) \rangle = e^{-i H t} \vert \psi(0) \rangle \text{,}

em que $H$ é o Hamiltoniano independente do tempo que rege o sistema. Consideramos um Hamiltoniano que pode ser escrito como uma soma ponderada de termos Pauli $H=\sum_j a_j P_j$ , com $P_j$ representando um produto tensorial de termos Pauli atuando em $n$ qubits. Em particular, esses termos de Pauli podem ser comutados entre si ou não. Dado um estado no momento $t=0$ , como podemos obter o estado do sistema em um momento posterior $|\psi(t)\rangle$ usando um computador quântico? O exponencial de um operador pode ser mais facilmente compreendido por meio de sua série de Taylor:

e^{-i H t} = 1-iHt-\frac{1}{2}H^2t^2+...

Algumas exponenciais muito básicas, como $e^{iZ}$ , podem ser implementadas facilmente em computadores quânticos usando um conjunto compacto de portas quânticas. A maioria dos hamiltonianos de interesse não terá apenas um único termo, mas sim vários termos. Observe o que acontece se $H = H_1+H_2$ :

e^{-i H t} = 1-i(H_1+H_2)t-\frac{1}{2}(H_1+H_2)^2t^2+...

Quando $H_1$ e $H_2$ se combinam, temos o caso conhecido (que também é verdadeiro para números e variáveis $a$ e $b$ abaixo):

e^{-i (a+b) t} = e^{-i a t}e^{-i b t}

No entanto, quando os operadores não se combinam, os termos não podem ser reorganizados na série de Taylor para simplificar dessa forma. Portanto, expressar Hamiltonianos complicados em portas quânticas é um desafio.

Uma solução é considerar um tempo muito pequeno $t$ , de modo que o termo de primeira ordem na expansão de Taylor seja dominante. Sob essa premissa:

e^{-i (H_1+H_2) t} \approx 1-i(H_1+H_2)t \approx (1-i H_1 t)(1-i H_2 t) \approx e^{-i H_1 t}e^{-i H_2 t}

É claro que talvez precisemos evoluir nosso estado por mais tempo. Isso é conseguido com o uso de muitas dessas pequenas etapas no tempo. Esse processo é chamado de trotterização:

\vert \psi(t) \rangle \approx \left(\prod_j e^{-i a_j P_j t/r} \right)^r \vert\psi(0) \rangle \text{,}

Aqui $t/r$ é o intervalo de tempo (etapa de evolução) que estamos escolhendo. Como resultado, é criada uma porta a ser aplicada $r$ vezes. Um intervalo de tempo menor leva a uma aproximação mais precisa. Entretanto, isso também leva a circuitos mais profundos, o que, na prática, leva a um maior acúmulo de erros (uma preocupação não negligenciável em dispositivos quânticos de curto prazo).

Hoje, estudaremos a evolução temporal do modelo de Ising em redes lineares de $N=2$ e $N=6$ sites. Essas redes consistem em uma matriz de spins $\sigma_i$ que interagem apenas com seus vizinhos mais próximos. Esses spins podem ter duas orientações: $\uparrow$ e $\downarrow$ , que correspondem a uma magnetização de $+1$ e $-1$ , respectivamente.

H = - J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} - h \sum_{i=0}^{N-1} X_i \text{,}

em que $J$ descreve a energia de interação e $h$ a magnitude de um campo externo (na direção x acima, mas modificaremos isso). Vamos escrever essa expressão usando as matrizes de Pauli e considerando que o campo externo tem um ângulo $\alpha$ em relação à direção transversal,

H = -J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} -h \sum_{i=0}^{N-1} (\sin\alpha Z_i + \cos\alpha X_i) \text{.}

Esse hamiltoniano é útil, pois nos permite estudar facilmente os efeitos de um campo externo. Na base computacional, o sistema será codificado da seguinte forma:

Estado quântico	Representação de spin
$\lvert 0 0 0 0 \rangle$	$\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\lvert 1 0 0 0 \rangle$	$\downarrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\ldots$	$\ldots$
$\lvert 1 1 1 1 \rangle$	$\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow$

Começaremos a investigar a evolução do tempo desse sistema quântico. Mais especificamente, visualizaremos a evolução temporal de determinadas propriedades do sistema, como a magnetização.

1.1 Requisitos

Antes de iniciar este tutorial, verifique se você tem os seguintes itens instalados:

Qiskit SDK v1.2 ou posterior ( pip install qiskit )
Qiskit Runtime v0.30 ou posterior ( pip install qiskit-ibm-runtime )
Numpy v1.24.1 ou posterior < 2 ( pip install numpy )

1.2 Importar as bibliotecas

Observe que algumas bibliotecas que podem ser úteis ( MatrixExponential, QDrift) estão incluídas, embora não sejam usadas neste notebook atual. Você pode experimentá-los se tiver tempo!

# Check the version of Qiskit
import qiskit

qiskit.__version__

Output:

'2.0.2'

# Import the qiskit library
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
import warnings

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import PauliEvolutionGate
from qiskit.primitives import StatevectorEstimator
from qiskit.quantum_info import Statevector, SparsePauliOp
from qiskit.synthesis import (
    SuzukiTrotter,
    LieTrotter,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2

warnings.filterwarnings("ignore")

2. Mapeando seu problema

2.1 Definindo o Hamiltoniano de Ising de campo transversal

Consideramos aqui o modelo Ising de campo transversal 1-D.

Primeiro, criaremos uma função que recebe os parâmetros do sistema $N$ , $J$ , $h$ e $\alpha$ , e retorna nosso Hamiltoniano como SparsePauliOp. A SparsePauliOp é uma representação esparsa de um operador em termos de termos de Pauli ponderados.

def get_hamiltonian(nqubits, J, h, alpha):
    # List of Hamiltonian terms as 3-tuples containing
    # (1) the Pauli string,
    # (2) the qubit indices corresponding to the Pauli string,
    # (3) the coefficient.
    ZZ_tuples = [("ZZ", [i, i + 1], -J) for i in range(0, nqubits - 1)]
    Z_tuples = [("Z", [i], -h * np.sin(alpha)) for i in range(0, nqubits)]
    X_tuples = [("X", [i], -h * np.cos(alpha)) for i in range(0, nqubits)]

    # We create the Hamiltonian as a SparsePauliOp, via the method
    # `from_sparse_list`, and multiply by the interaction term.
    hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [*ZZ_tuples, *Z_tuples, *X_tuples], num_qubits=nqubits
    )
    return hamiltonian.simplify()

Defina o hamiltoniano

O sistema que consideramos agora tem um tamanho de $N=6$ , $J=0.2$ , $h=1.2$ e $\alpha=\frac{\pi}{8.0}$ como exemplo.

n_qubits = 6

hamiltonian = get_hamiltonian(nqubits=n_qubits, J=0.2, h=1.2, alpha=np.pi / 8.0)
hamiltonian

Output:

SparsePauliOp(['IIIIZZ', 'IIIZZI', 'IIZZII', 'IZZIII', 'ZZIIII', 'IIIIIZ', 'IIIIZI', 'IIIZII', 'IIZIII', 'IZIIII', 'ZIIIII', 'IIIIIX', 'IIIIXI', 'IIIXII', 'IIXIII', 'IXIIII', 'XIIIII'],
              coeffs=[-0.2       +0.j, -0.2       +0.j, -0.2       +0.j, -0.2       +0.j,
 -0.2       +0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j,
 -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -1.10865544+0.j,
 -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j,
 -1.10865544+0.j])

2.2 Defina os parâmetros da simulação de evolução temporal

Aqui, consideraremos três técnicas diferentes de trotterização:

Lie-Trotter (primeira ordem)
suzuki-Trotter de segunda ordem
suzuki-Trotter de quarta ordem

Os dois últimos serão usados no exercício e no apêndice.

num_timesteps = 60
evolution_time = 30.0
dt = evolution_time / num_timesteps
product_formula_lt = LieTrotter()
product_formula_st2 = SuzukiTrotter(order=2)
product_formula_st4 = SuzukiTrotter(order=4)

2.3 Prepare o circuito quântico 1 (estado inicial)

Criar um estado inicial. Aqui, começaremos com uma configuração de spin de $\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\uparrow$ .

initial_circuit = QuantumCircuit(n_qubits)
initial_circuit.prepare_state("001100")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit.decompose(reps=1).draw("mpl")

Output:

2.4 Prepare o circuito quântico 2 (circuito único para evolução temporal)

Aqui construímos um circuito para uma única etapa de tempo usando o Lie-Trotter.

A fórmula do produto de Lie (primeira ordem) é implementada na classe LieTrotter classe. Uma fórmula de primeira ordem consiste na aproximação descrita na introdução, em que a matriz exponencial de uma soma é aproximada por um produto de matrizes exponenciais:

e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1} e^{H_2}

Conforme mencionado anteriormente, os circuitos muito profundos levam ao acúmulo de erros e causam problemas para os computadores quânticos modernos. Como as portas de dois qubits têm taxas de erro mais altas do que as portas de um único qubit, uma quantidade de interesse especial é a profundidade do circuito de dois qubits. O que realmente importa é a profundidade do circuito de dois qubits após a transpilação (já que esse é o circuito que o computador quântico realmente executa). Mas vamos adquirir o hábito de contar as operações para esse circuito, mesmo agora usando o simulador.

single_step_evolution_gates_lt = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_lt
)
single_step_evolution_lt = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_lt.append(
    single_step_evolution_gates_lt, single_step_evolution_lt.qubits
)

print(
    f"""
Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_lt.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).draw("mpl", fold=-1)

Output:


Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: 17
Gate count: 27
Nonlocal gate count: 10
Gate breakdown: U3: 12, CX: 10, U1: 5

2.5 Defina os operadores para medir

Vamos definir um operador de magnetização $\sum_i \langle Z_i \rangle / N$ e um operador de correlação de spin médio $\sum_i \langle Z_i Z_{i+1} \rangle/ (N - 1)$ .

magnetization = (
    SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [("Z", [i], 1.0) for i in range(0, n_qubits)], num_qubits=n_qubits
    )
    / n_qubits
)
correlation = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("ZZ", [i, i + 1], 1.0) for i in range(0, n_qubits - 1)], num_qubits=n_qubits
) / (n_qubits - 1)
print("magnetization : ", magnetization)
print("correlation : ", correlation)

Output:

magnetization :  SparsePauliOp(['IIIIIZ', 'IIIIZI', 'IIIZII', 'IIZIII', 'IZIIII', 'ZIIIII'],
              coeffs=[0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j,
 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j])
correlation :  SparsePauliOp(['IIIIZZ', 'IIIZZI', 'IIZZII', 'IZZIII', 'ZZIIII'],
              coeffs=[0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j])

2.6 Realizar simulação de evolução temporal

Monitoraremos a energia (valor de expectativa do Hamiltoniano), a magnetização (valor de expectativa do operador de magnetização) e a correlação média de spin (valor de expectativa do operador de correlação média de spin). A primitiva StatevectorEstimator ( EstimatorV2 ) da Qiskit estima os valores de expectativa dos observáveis, $\langle\psi\vert\hat{O}\vert\psi\rangle$ .

# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)
# Initiate Estimator (V2)
estimator = StatevectorEstimator()
# Set number of shots
shots = 10000
# Translate the precision required from the number of shots
precision = np.sqrt(1 / shots)
energy_list = []
mag_list = []
corr_list = []
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator.run(
    [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])], precision=precision
)
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
energy_list.append(evs[0])
mag_list.append(evs[1])
corr_list.append(evs[2])
# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_gates_lt, evolved_state.qubits)
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator.run(
        [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])],
        precision=precision,
    )
    # Retrieve results (expectation values)
    evs = job.result()[0].data.evs
    energy_list.append(evs[0])
    mag_list.append(evs[1])
    corr_list.append(evs[2])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
energy_array = np.array(energy_list)
mag_array = np.array(mag_list)
corr_array = np.array(corr_list)

2.7 Trace a evolução temporal dos observáveis

Traçamos o gráfico dos valores de expectativa que medimos em relação ao tempo.

fig, axes = plt.subplots(3, sharex=True)
times = np.linspace(0, evolution_time, num_timesteps + 1)  # includes initial state
axes[0].plot(
    times,
    energy_array,
    label="First order",
    marker="x",
    c="darkmagenta",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[1].plot(
    times, mag_array, label="First order", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[2].plot(
    times, corr_array, label="First order", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[0].set_ylabel("Energy")
axes[1].set_ylabel("Magnetization")
axes[2].set_ylabel("Mean spin correlation")
axes[2].set_xlabel("Time")
fig.suptitle("Observable evolution")

Output:

Text(0.5, 0.98, 'Observable evolution')

3. Exercício 1. Realizar simulação usando Suzuki-Trotter de segunda ordem

Agora vamos tentar realizar a simulação com Suzuki-Trotter de segunda ordem seguindo o exemplo de Lie-Trotter mostrado acima.

O Suzuki-Trotter de segunda ordem pode ser usado no Qiskit por meio da classe SuzukiTrotter. Usando essa fórmula, temos uma decomposição de segunda ordem:

e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1/2}e^{H_2}e^{H_1/2}

3.1 Construa um circuito para um único intervalo de tempo

Use product_formula_st2 ( SuzukiTrotter(order=2 )) e construa um circuito para uma única etapa de tempo usando Suzuki-Trotter de segunda ordem. Além disso, conte o número de portas e a profundidade do circuito e compare com o Lie-Trotter.

# Modify the line below (Use PauliEvolutionGate)
single_step_evolution_gates_st2 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_st2
)
single_step_evolution_st2 = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_st2.append(
    single_step_evolution_gates_st2, single_step_evolution_st2.qubits
)
# Let us print some stats
print(
    f"""
Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_st2.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_st2.decompose(reps=2).draw("mpl", fold=-1)

Output:


Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: 34
Gate count: 53
Nonlocal gate count: 20
Gate breakdown: U3: 23, CX: 20, U1: 10

3.2 Realizar simulação de evolução temporal

Realize a evolução do tempo usando Suzuki-Trotter de segunda ordem.

# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)
# Initiate Estimator (V2)
estimator = StatevectorEstimator()
# Set number of shots
shots = 10000
# Translate the precision required from the number of shots
precision = np.sqrt(1 / shots)
energy_list_st2 = []
mag_list_st2 = []
corr_list_st2 = []
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator.run(
    [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])], precision=precision
)
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
energy_list_st2.append(evs[0])
mag_list_st2.append(evs[1])
corr_list_st2.append(evs[2])
# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_gates_st2, evolved_state.qubits)
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator.run(
        [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])],
        precision=precision,
    )
    # Retrieve results (expectation values)
    evs = job.result()[0].data.evs
    energy_list_st2.append(evs[0])
    mag_list_st2.append(evs[1])
    corr_list_st2.append(evs[2])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
energy_array_st2 = np.array(energy_list_st2)
mag_array_st2 = np.array(mag_list_st2)
corr_array_st2 = np.array(corr_list_st2)

3.3 Trace os resultados de segunda ordem de Suzuki-Trotter

axes[0].plot(
    times,
    energy_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[1].plot(
    times,
    mag_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[2].plot(
    times,
    corr_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)

# Replace the legend
# legend.remove()
legend = fig.legend(
    *axes[0].get_legend_handles_labels(),
    bbox_to_anchor=(1.0, 0.5),
    loc="center left",
    framealpha=0.5,
)
fig

Output:

3.4 Compare com resultados exatos

Os dados abaixo são os resultados exatos pré-computados do computador clássico.

exact_times = np.array(
    [
        0.0,
        0.3,
        0.6,
        0.8999999999999999,
        1.2,
        1.5,
        1.7999999999999998,
        2.1,
        2.4,
        2.6999999999999997,
        3.0,
        3.3,
        3.5999999999999996,
        3.9,
        4.2,
        4.5,
        4.8,
        5.1,
        5.3999999999999995,
        5.7,
        6.0,
        6.3,
        6.6,
        6.8999999999999995,
        7.199999999999999,
        7.5,
        7.8,
        8.1,
        8.4,
        8.7,
        9.0,
        9.299999999999999,
        9.6,
        9.9,
        10.2,
        10.5,
        10.799999999999999,
        11.1,
        11.4,
        11.7,
        12.0,
        12.299999999999999,
        12.6,
        12.9,
        13.2,
        13.5,
        13.799999999999999,
        14.1,
        14.399999999999999,
        14.7,
        15.0,
        15.299999999999999,
        15.6,
        15.899999999999999,
        16.2,
        16.5,
        16.8,
        17.099999999999998,
        17.4,
        17.7,
        18.0,
        18.3,
        18.599999999999998,
        18.9,
        19.2,
        19.5,
        19.8,
        20.099999999999998,
        20.4,
        20.7,
        21.0,
        21.3,
        21.599999999999998,
        21.9,
        22.2,
        22.5,
        22.8,
        23.099999999999998,
        23.4,
        23.7,
        24.0,
        24.3,
        24.599999999999998,
        24.9,
        25.2,
        25.5,
        25.8,
        26.099999999999998,
        26.4,
        26.7,
        27.0,
        27.3,
        27.599999999999998,
        27.9,
        28.2,
        28.5,
        28.799999999999997,
        29.099999999999998,
        29.4,
        29.7,
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        0.1769169993516561,
        0.12290448295710298,
        0.012897784654866427,
        0.02859435620982225,
        0.12895847695150875,
        0.13629536955485938,
        0.05394621059822597,
        0.02298040588184324,
        0.07036499900317271,
        0.11706448623132719,
        0.10435285842074606,
        0.055721236329964965,
        0.04676334743672697,
        0.08417924910022263,
        0.10611161955304965,
        0.089304171047322,
        0.06098589533081194,
        0.06314519797488709,
        0.09431492621892917,
        0.09667836915967139,
        0.0651298357290882,
        0.05176966009147416,
        0.06727229484222669,
        0.08871788283607947,
        0.09907054249093444,
        0.09785167773502176,
        0.09277216140054353,
        0.07520999642062785,
        0.05894392248382922,
        0.07236135251622376,
        0.08608284185200156,
        0.07282922961856123,
    ]
)

axes[0].plot(exact_times, exact_energy, c="k", ls=":", label="Exact")
axes[1].plot(exact_times, exact_magnetization, c="k", ls=":", label="Exact")
axes[2].plot(exact_times, exact_correlation, c="k", ls=":", label="Exact")
# Replace the legend
legend.remove()
# Select the labels of only the first axis
legend = fig.legend(
    *axes[0].get_legend_handles_labels(),
    bbox_to_anchor=(1.0, 0.5),
    loc="center left",
    framealpha=0.5,
)
fig.tight_layout()
fig

Output:

4. Execução no hardware quântico

Em seguida, executamos a simulação de evolução temporal no hardware quântico. Trabalharemos em um problema menor, com tamanho de rede N=2. Variamos o parâmetro $\alpha$ e observamos a diferença na dinâmica da função de onda.

4.1 Passo 1. Mapeie entradas clássicas para um problema quântico

Escolha a configuração inicial da simulação:

n_qubits_2 = 2
dt_2 = 1.6
product_formula = LieTrotter(reps=1)

Em seguida, defina o circuito inicial:

A configuração inicial do giro será "down-up"

# We prepare an initial state ↓↑ (10).
# Note that Statevector and SparsePauliOp interpret the qubits from right to left
initial_circuit_2 = QuantumCircuit(n_qubits_2)
initial_circuit_2.prepare_state("10")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit_2.decompose(reps=1).draw("mpl")

Output:

Agora, calcule o valor de referência usando um simulador de vetor de estado ideal.

bar_width = 0.1
# initial_state = Statevector.from_label("10")
final_time = 1.6
eps = 1e-5

# We create the list of angles in radians, with a small epsilon
# the exactly longitudinal field, which would present no dynamics at all
alphas = np.linspace(-np.pi / 2 + eps, np.pi / 2 - eps, 5)

for i, alpha in enumerate(alphas):
    evolved_state_2 = QuantumCircuit(initial_circuit_2.num_qubits)
    evolved_state_2.append(initial_circuit_2, evolved_state_2.qubits)
    hamiltonian_2 = get_hamiltonian(nqubits=2, J=0.2, h=1.0, alpha=alpha)
    single_step_evolution_gates_2 = PauliEvolutionGate(
        hamiltonian_2, dt_2, synthesis=product_formula
    )
    evolved_state_2.append(single_step_evolution_gates_2, evolved_state_2.qubits)
    evolved_state_2 = Statevector(evolved_state_2)
    # Dictionary of probabilities
    amplitudes_dict = evolved_state_2.probabilities_dict()
    labels = list(amplitudes_dict.keys())
    values = list(amplitudes_dict.values())
    # Convert angle to degrees
    alpha_str = f"$\\alpha={int(np.round(alpha * 180 / np.pi))}^\\circ$"
    plt.bar(np.arange(4) + i * bar_width, values, bar_width, label=alpha_str, alpha=0.7)

plt.xticks(np.arange(4) + 2 * bar_width, labels)
plt.xlabel("Measurement")
plt.ylabel("Probability")
plt.suptitle(
    f"Measurement probabilities at $t={final_time}$, for various field angles $\\alpha$\n"
    f"Initial state: 10, Linear lattice of size $L=2$"
)
plt.legend()

Output:

<matplotlib.legend.Legend at 0x11c816590>

Preparamos um sistema inicialmente com uma sequência de spins $\downarrow\uparrow$ , que corresponde a $\vert\psi(0)\rangle = \vert10\rangle$ . Depois de deixá-lo evoluir para $t=1.6$ sob um campo transversal ( $\alpha=0^\circ$ ), é quase certo que mediremos $\uparrow\downarrow$ , ou seja, teremos uma troca de spin. (Observe que os rótulos são interpretados da direita para a esquerda). Se o campo for longitudinal ( $\alpha=\pm90^\circ$ ), não teremos evolução, portanto, mediremos o sistema como ele foi inicialmente preparado, $\downarrow\uparrow$ . Com ângulos intermediários, em $\alpha=\pm45^\circ$ , poderemos medir todas as combinações com diferentes probabilidades, sendo uma troca de spin a mais provável, com uma probabilidade de 67%.

Construa um circuito para a experiência de HW

circuit_list = []
for i, alpha in enumerate(alphas):
    evolved_state_2 = QuantumCircuit(initial_circuit_2.num_qubits)
    evolved_state_2.append(initial_circuit_2, evolved_state_2.qubits)
    hamiltonian_2 = get_hamiltonian(nqubits=2, J=0.2, h=1.0, alpha=alpha)
    single_step_evolution_gates_2 = PauliEvolutionGate(
        hamiltonian_2, dt_2, synthesis=product_formula
    )
    evolved_state_2.append(single_step_evolution_gates_2, evolved_state_2.qubits)
    evolved_state_2.measure_all()
    circuit_list.append(evolved_state_2)

4.2 Passo 2. Otimizar para o hardware de destino

Especificamos um backend.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
backend.name

Output:

'ibm_strasbourg'

Em seguida, transpilamos o circuito para o backend selecionado.

pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=3)
circuit_isa = pm.run(circuit_list)

Dê uma olhada no circuito.

circuit_isa[1].draw("mpl", idle_wires=False)

Output:

4.3 Passo 3. Executar com primitivas d Qiskit Runtime

A primitiva Sampler ( V2 ) do Qiskit fornece as contagens de bitstrings medidas.

sampler = SamplerV2(mode=backend)
job = sampler.run(circuit_isa)
job_id = job.job_id()
print("job id:", job_id)

Output:

job id: d13pswfmya70008ek070

Salvar os resultados

results = job.result()

4.4 Passo 4. Resultados pós-processamento

Construa o histograma das cadeias de bits, que corresponde à análise da função de onda, e compare-os com os valores ideais mostrados acima.

list_temp = ["00", "01", "10", "11"]

for i, alpha in enumerate(alphas):
    # Dictionary of probabilities
    amplitudes_dict = results[i].data.meas.get_counts()
    values = []
    for str_temp in list_temp:
        values.append(
            amplitudes_dict[str_temp] / 4096.0
        )  # divided by default number of shots
    # Convert angle to degrees
    alpha_str = f"$\\alpha={int(np.round(alpha * 180 / np.pi))}^\\circ$"
    plt.bar(np.arange(4) + i * bar_width, values, bar_width, label=alpha_str, alpha=0.7)

plt.xticks(np.arange(4) + 2 * bar_width, labels)
plt.xlabel("Measurement")
plt.ylabel("Probabilities")
plt.suptitle(
    f"Measurement probabilities at $t={final_time}$, for various field angles $\\alpha$\n"
    f"Initial state: 10, Linear lattice of size $L=2$"
)
plt.legend()

Output:

<matplotlib.legend.Legend at 0x11d7af990>

Mostramos aqui um exemplo de construção de um circuito usando o Suzuki-Trotter de ordem superior (quarta ordem). Agora vamos tentar construir uma simulação de circuito com Suzuki-Trotter de quarta ordem seguindo os exemplos mostrados acima.

O Suzuki-Trotter de quarta ordem pode ser usado no Qiskit por meio da classe SuzukiTrotter. A quarta ordem pode ser avaliada usando a seguinte relação de recursão. Observe que a ordem de Suzuki-Trotter é indicada como " 2k " nas equações a seguir.

\hat{U}_{ST(2k)}\left(t\right) = \left[ \hat{U}_{ST(2k-2)}\left(p_k t\right) \right]^2 \hat{U}_{ST(2k-2)}\left( (1- 4 p_k) t\right)\left[ \hat{U}_{ST(2k-2)}\left(p_k t\right) \right]^2

p_k = 1 / \left(4-4^{\frac{1}{2k-1}}\right)

Construa um circuito para um único intervalo de tempo

Use o site product_formula_st4 ( SuzukiTrotter(order=4 )) e construa um circuito para uma única etapa de tempo usando o Suzuki-Trotter de quarta ordem. Além disso, conte o número de portas e a profundidade do circuito e compare com o Lie-Trotter e o Suzuki-Trotter de segunda ordem.

# Modify the line below (Use PauliEvolutionGate)
single_step_evolution_gates_st4 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_st4
)
single_step_evolution_st4 = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_st4.append(
    single_step_evolution_gates_st4, single_step_evolution_st4.qubits
)
# Let us print some stats
print(
    f"""
Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_st4.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_st4.decompose(reps=2).draw("mpl", fold=-1)

Output:


Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: 170
Gate count: 265
Nonlocal gate count: 100
Gate breakdown: U3: 115, CX: 100, U1: 50

# Check Qiskit version
import qiskit

qiskit.__version__

Output:

'2.0.2'

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