givens_decomposition

givens_decomposition(unitary)

Zerlegt eine unitäre Matrix in Givens-Rotationen und Diagonalphasen.

Die Einheitsmatrix $n \times n$, $U$, lässt sich in eine Diagonalmatrix, $D$, und eine Folge von Givens-Drehungen $2 \times 2$, $G$, zerlegen, die auf benachbarte Indizes wirken. Dieser Algorithmus [1] benötigt höchstens $n (n-1) / 2$ solche Givens-Rotationen.

Jede Givens-Rotation wird durch ein 4-Tupel definiert (c, s, i, j), wobei:

• c: der reellwertige Kosinus
• s: die komplexwertige Sinusfunktion
• i: der Index der ersten Zeile
• j: der Index der zweiten Zeile

was zu einer Matrix der folgenden Form führt:

Parameter

einheitlich – die einheitliche Matrix $U$, die zerlegt werden soll.

Rückgabe

Ein 2-Tupel, bestehend aus

• die Folge von Givens-Rotationen, die, wie oben erläutert, als 4-Tupel dargestellt wird
• der Vektor der komplexen Phasen der Diagonalmatrix, $D$

Die ursprüngliche Einheitsmatrix lässt sich wiederherstellen, indem die zurückgegebenen Rotationen in umgekehrter Reihenfolge verarbeitet werden und die Diagonalmatrix rechtsmit dem elementweisen komplexen Konjugierten jeder Rotationsmatrix $G_k$ (wie oben definiert) multipliziert wird. Das heißt, für $N$ wurden Rotationen zurückgegeben,

wobei $\overline{G_k}$ die elementweise Konjugation (nicht die konjugierte Transponierte) bezeichnet und jede $G_k$ nur auf die Zeilen/Spalten $i$ und $j$ ihrer Rotation wirkt.

>>> import numpy as np
>>> from qiskit_fermions.linalg import givens_decomposition
>>> unitary = np.array([[0.6, 0.8j], [0.8, -0.6j]], dtype=complex)
>>> rotations, phases = givens_decomposition(unitary)
>>> reconstructed = np.diag(phases).astype(complex)
>>> for c, s, i, j in rotations[::-1]:
...     givens_mat = np.eye(2, dtype=complex)
...     givens_mat[np.ix_((i, j), (i, j))] = [[c, s], [-s.conjugate(), c]]
...     reconstructed = reconstructed @ givens_mat.conj()
>>> bool(np.allclose(reconstructed, unitary))
True

[ 1 ]

W. R. Clements u. a., Optimales Design für universelle Mehrport-Interferometer, Optica 3, 1460–1465 (2016), doi:10.1364/OPTICA.3.001460.