Formalisme mathématique

Lorsqu'il s'agit d'étudier le bruit de Pauli pour un ensemble de portes de Clifford, une technique d'analyse courante consiste à suivre la manière dont les opérateurs de Pauli individuels sont transformés au cours d'une séquence d'applications de portes (en partant de l'hypothèse que les portes sont de Clifford et que le bruit est un canal de Pauli, un opérateur de Pauli donné sera toujours mappé sur un autre opérateur de Pauli, à un scalaire près qui est fonction du bruit). Il va de soi que l’évolution de tout état dans le cadre d’une telle séquence peut être représentée par une combinaison linéaire de ces trajectoires; toutefois, en supposant que l’on prépare toujours l’état dans un état propre de Pauli, et que l’on mesure et traite toujours les résultats afin de calculer la valeur attendue d’un opérateur de Pauli, la relation entre la valeur attendue et les paramètres du modèle de bruit ne dépendra toujours que d’une seule de ces trajectoires. Cela découle du simple fait que l'état initial est une combinaison linéaire d'opérateurs de Pauli, que chaque porte logique et chaque modèle de bruit font correspondre des opérateurs de Pauli à d'autres opérateurs de Pauli tout en préservant leur orthogonalité, et que la valeur d'espérance finale « sélectionne » un seul de ces opérateurs de Pauli dans la décomposition finale avant la mesure.

Ce type de raisonnement apparaît dans de nombreux axes de recherche parallèles dans le domaine de l'apprentissage sous bruit, notamment dans la littérature consacrée à l'apprentissage par ensembles de portes de Pauli [ 1, 2 ], à l'ACES [ 3 ] et aux tests de performance par cycles [ 4 ]. Ce raisonnement a été généralisé davantage dans [ 5 ] pour inclure les portes Clifford-MCM (une porte Clifford suivie d'une mesure projective à mi-circuit). Ce module s'inspire très largement des références [ 1, 5 ]. Bien qu'il ne soit pas explicitement mentionné, nous adoptons le formalisme du « Pattern Transfer Graph » (PTG) pour décrire l'évolution des opérateurs de Pauli au sein des circuits d'apprentissage, ce qui permet une représentation directe des chemins parcourus dans le graphe sous forme de données.

Ce qui suit est un rappel de certains concepts mathématiques fondamentaux tirés de la littérature. Il vise avant tout à harmoniser la notation et à servir de référence documentaire conceptuelle pour le reste du package.

1. Contexte

1.1 Notation

Pour l’ $K \in \mathbb{N}$ e, soit $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$ . Pour un ensemble fini $S \subset \mathbb{N}$ d’indices de qubits, soit $\mathcal{P}^S$ l’ensemble des opérateurs de Pauli non déphasés agissant sur ces qubits. Notons que nous considérons les éléments de $\mathcal{P}^S$ comme des fonctions définies sur $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$ , de sorte que, pour tout $P \in \mathcal{P}^S$ et $T \subseteq S$ , $P|_T$ désigne la restriction de $P$ au sous-ensemble de qubits $T$ . Dans le même ordre d’idées, pour des ensembles disjoints $S, T$ , ainsi que $P \in \mathcal{P}^S$ et $Q \in \mathcal{P}^T$ , $P \otimes Q$ désigne l’élément de $\mathcal{P}^{S \cup T}$ tel que $P \otimes Q |_S = P$ et $P \otimes Q |_T = Q$ . Cette notation permet d’éviter de traiter explicitement les ordonnancements des sous-systèmes et facilite la description des restrictions.

Pour les sous-ensembles finis $M \subset \mathbb{N}$ , on désigne par $\mathbb{Z}_2^M$ l’ensemble des chaînes de bits dont les éléments sont indexés par $M$ . À l’instar de ce qui précède, on considère les éléments comme des fonctions définies sur $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$ , ce qui permet de décrire facilement les sous-chaînes en termes de restrictions de l’ensemble des indices.

Enfin, pour une matrice $X$ , on utilise $| X \rangle\!\rangle$ pour désigner sa vectorisation. Compte tenu de l'usage restreint que nous faisons de cette notation, il n'est en réalité pas nécessaire de choisir une convention de vectorisation spécifique. Pour une $m$ classique de chaîne de bits, on utilise l'abréviation « $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$ ».

1.2 Instruments quantiques

Une opération quantique produisant des bits classiques $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (par exemple, le résultat d'une mesure) est généralement modélisée comme une application linéaire de la forme :

\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,

où l'ensemble $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ est entièrement positif, et $\sum_m \mathcal{E}_m$ est une application préservant la trace. Un ensemble de applications entièrement positives $\{\mathcal{E}_m\}$ satisfaisant ces propriétés est appelé « instrument quantique ». Une porte unitaire est un cas particulier d'instrument ne comportant qu'un seul élément, qui est une opération unitaire.

2. Portes Clifford-MCM à réinitialisation bruyantes

Le formalisme utilisé dans ce package part du principe que chaque porte de l'ensemble de portes à caractériser se compose de la séquence suivante d'opérations sur des qubits d' $K$ :

Une opération de Clifford sur tous les qubits.
Une mesure projective à mi-parcours le long d’ $Z$ , effectuée sur un sous-ensemble de qubits $M \subseteq [K]$ .
Une réinitialisation en cours de circuit vers l'état de base de l' $Z$ sur un sous-ensemble de qubits $R \subseteq [K]$ .

Il s'agit d'une classe générale d'opérations qui comprend les portes de Clifford unitaires, la mesure, la préparation d'états et toute combinaison de ces éléments. Notons que nous partons du principe que la mesure et la réinitialisation s'effectuent toujours selon l'axe $Z$ pour chaque qubit. Bien que cela ne soit pas strictement nécessaire, il s'agit d'une caractéristique courante de nombreuses modalités de l'informatique quantique, qui permet de simplifier les représentations et l'analyse.

Comme indiqué dans [ 5, 6 ] pour le cas sans réinitialisation, si l'on applique une stratégie de rotation spécifique à une instance bruitée d'une telle porte, l'action de l'opération qui en résulte peut être modélisée mathématiquement comme un instrument de Pauli uniforme. C'est-à-dire, dans la notation des instruments quantiques, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ , où $G$ est l'opérateur unitaire de Clifford, et :

\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,

où chaque $\Lambda_{a,b}$ est un canal de Pauli sous-normalisé sur les qubits non mesurés $N = [K] \setminus M$ . Le fait qu’il s’agisse d’un instrument quantique implique que $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ préserve également la trace. Quelques remarques :

Le bruit initial non démêlé est modélisé de manière à inclure à la fois des erreurs « quantiques » et « classiques » : des opérations erronées sur les registres quantiques, ainsi que des erreurs dans la transmission des valeurs de mesure.
La carte de bruit $\Lambda_{a,b}$ est indépendante du résultat de la mesure $m$ .

En d’autres termes, un terme de la somme ci-dessus correspond à l’observation d’un résultat de mesure de la forme $m$ lorsque l’état mesuré était $| m + b \rangle$ (une classification erronée si $b \neq 0$ ), et lorsque l’état de sortie sur le registre de mesure est $| m + a \rangle$ (l’état « erroné » lorsque $a \neq 0$ ). La fonction de correspondance $\Lambda_{a,b}$ code simultanément l’action sur les qubits non mesurés (conditionnée par le comportement de la mesure) et la probabilité de ce comportement spécifique de la mesure (grâce à la normalisation).

Notons que nous ne nous intéressons pas ici aux détails de la stratégie de « twirling » : il suffit de savoir qu'une telle stratégie existe pour donner au canal la forme décrite ci-dessus. Il convient de noter qu'il existe des stratégies de « torsion plus fines » susceptibles de restreindre davantage la forme des canaux de Pauli [ 7 ]; nous considérons toutefois que la forme ci-dessus constitue la représentation mathématique la plus générale parmi celles envisagées.

Dans le lemme 1 de [ 5 ], on démontre que $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ peut s'écrire sous la forme suivante :

\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.

pour certains nombres réels $\lambda_{x,y}^Q$ , que l'on appelle les « *fidélités *» de l'instrument.

Il est relativement simple d'ajouter une fonction de réinitialisation à cette image. Une opération de réinitialisation avec bruit sur des qubits $R \subset [K]$ peut être modélisée selon la décomposition suivante :

\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.

La formule ci-dessus repose explicitement sur l'hypothèse selon laquelle la réinitialisation s'effectue le long de l'axe $Z$ pour chaque qubit. Le bruit lié à l'opération est codé dans les fidélités de réinitialisation $\lambda_r$ , qui sont simplement indexées par sous-ensembles de qubits.

On peut obtenir une équation analogue à l'équation (1), qui inclut une opération de réinitialisation à la fin, en la combinant simplement avec l'équation (2). Après quelques simplifications, cette expression donne :

\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}

Cette décomposition indique que le nombre de fidélités $\lambda^Q_{x, y}$ est

4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.

Considérons les cas limites suivants : (1) En l'absence de mesure ou de réinitialisation, on a $M = R = \emptyset$ , et l'expression donne $4^K$ , soit le nombre d'opérateurs de Pauli sans phase sur $K$ qubits. (2) Pour $M = \emptyset$ et $R=[K]$ , on obtient $2^K$ , ce qui correspond au nombre de sous-ensembles de $[K]$ . Enfin, (3) pour $M = [K]$ et $R = \emptyset$ , on obtient $4^K$ . Notons que cela peut paraître surprenant à première vue : dans le cadre de l’apprentissage standard, la mesure et la réinitialisation sont généralement considérées comme ayant le même nombre de fidélités : $2^K$ . Cependant, ici, la porte « tout-mesure » dans ce contexte n’est pas considérée comme une mesure terminale, mais comme un MCM, et à ce titre, les fidélités correspondant aux sorties non identitaires de la mesure sont également incluses (telles que $y \neq 0$ dans l’équation (3) ).

Enfin, il est important de noter que toute stratégie de rotation donnant la forme de l'équation (1) dans le cas sans réinitialisation s'applique tout aussi bien au cas non trivial avec réinitialisation, moyennant une simple modification. Le problème potentiel réside dans le fait qu'une telle stratégie de « twirling » pourrait nécessiter d'effectuer des opérations sur les qubits mesurés après la mesure. Par conséquent, si un qubit est mesuré puis réinitialisé, la mise en œuvre de cette stratégie semble nécessiter l'insertion d'opérations au sein de la porte entre la mesure et la réinitialisation. Toutefois, compte tenu de la nature de la réinitialisation, ces opérations n'ont aucun effet et peuvent simplement être ignorées, ce qui permet tout de même d'obtenir la structure souhaitée.

3. Formalisme des chemins

Comme indiqué dans l'introduction, tous les algorithmes d'apprentissage pour le bruit de type Pauli sur les portes de Clifford reposent sur le suivi de l'évolution de chaque particule de Pauli à travers un circuit, en enregistrant au fur et à mesure les facteurs de fidélité du bruit. Les valeurs attendues d'un circuit composé de telles portes sont donc simplement liées aux produits des fidélités sous-jacentes des portes individuelles; ainsi, les paramètres du modèle peuvent être déduits en inversant la correspondance clairsemée, quelle qu'elle soit, entre les paramètres et la fidélité qui est supposée.

Dans [ 1 ], dans le contexte des ensembles de portes unitaires, cela est formalisé sous la forme du « Pattern Transfer Graph » (PTG) : un graphe orienté décrivant toutes les expériences possibles composées d’éléments de l’ensemble de portes et de couches de portes de Clifford à un seul qubit (considérées comme des opérations parfaites, ou « libres »). Cette approche a été généralisée dans [ 5 ] afin d'inclure les ensembles de portes avec des mesures en milieu de circuit. Dans les deux cas, chaque expérience est décrite en suivant le parcours d'un seul opérateur de Pauli à travers le circuit, en partant de l'hypothèse qu'une observable particulière est calculée à chaque point de mesure. Nous n'abordons pas ici directement les constructions de graphes ou de chemins; nous présentons toutefois les éléments nécessaires pour les justifier dans notre propre notation, en tenant compte des réinitialisations.

Si le suivi d'un opérateur de Pauli isolé à travers le circuit peut sembler intuitif dans le cas d'un ensemble de portes unitaires, cela ne va pas de soi dans le cas plus général d'une configuration Clifford-MCM-reset, en raison de la nature non déterministe de la mesure. La proposition suivante reprend cette vision, même dans le cas plus général [ 5 ] :

Proposition n° 1

Pour tout $x \in \mathbb{Z}_2^M$ , $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ et $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ , on a :

\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |

En d’autres termes, si l’on calcule la valeur attendue $Z^{x + y|_M}$ sur la sortie du registre classique générée par le MCM, alors l’évolution selon la « vision de Heisenberg » d’une observable à travers la porte Clifford-MCM-réinitialisation s’écrit $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$ . Ce fait à lui seul permet de retrouver une analyse de type PTG au-delà du cas des ensembles de portes unitaires : grâce à un post-traitement particulier des résultats de mesure, même les portes comportant des mesures et des réinitialisations peuvent être considérées comme mappant de manière déterministe un opérateur de Pauli vers un autre.

Avant de démontrer cela, nous allons reformuler l'équation (3) de manière plus intuitive. Notons que, pour l' $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ e, on a $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$ ; on obtient donc (en notation des super-opérateurs) :

\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}

où nous avons appliqué l'équation (3) et regroupé les termes; nous utilisons l'indice « $M$ » pour désigner le registre des résultats de mesure classiques, que nous traitons ci-dessus en utilisant une notation similaire à celle des registres quantiques.

Démonstration. Il stipule que :

\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}

Enfin, notons que $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$ ; par conséquent, le dernier terme ci-dessus se réduit au seul terme $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$ , ce qui donne le résultat souhaité.

Voir [ 5 ] pour la suite de l'exposé : la définition du PTG, les chemins traversant le PTG et la démonstration selon laquelle tout chemin correctement défini correspond à une expérience.

Références

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang et Steven T. Flammia. Apprentissage efficace et auto-cohérent du bruit de Pauli lié à l'ensemble de portes. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang et Alireza Seif. Désambiguïsation du bruit de Pauli dans les ordinateurs quantiques. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Échantillonnage des valeurs propres moyennes d'un circuit. Dans les actes de la 17e Conférence sur la théorie de l'informatique quantique, de la communication et de la cryptographie (TQC 2022), volume 232 des Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Allemagne, 2022. Château de Dagstuhl – Centre Leibniz d'informatique. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson et Rainer Blatt. Caractérisation des ordinateurs quantiques à grande échelle par des tests de performance par cycle. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu et Liang Jiang. Algorithme de benchmarking par cycles généralisés pour la caractérisation des mesures en cours de circuit. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale et Joel J. Wallman. Compilation aléatoire pour les mesures des sous-systèmes. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg et Pawel Wocjan. Techniques d'apprentissage des modèles de bruit de Pauli-Lindblad clairsemés. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.

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