Quanteninformation

Wir sind nun bereit, uns mit der Quanteninformation im Rahmen von Mehrfachsystemen zu befassen. Ähnlich wie in der vorangegangenen Lektion über Einzelsysteme ist die mathematische Beschreibung der Quanteninformation für Mehrfachsysteme dem probabilistischen Fall recht ähnlich und macht von ähnlichen Konzepten und Techniken Gebrauch.

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Quantenzustände

Mehrere Systeme können gemeinsam als ein einziges, zusammengesetztes System betrachtet werden. Das haben wir bereits im probabilistischen Rahmen beobachtet, und im quantenmechanischen Rahmen verhält es sich analog. Quantenzustände von Mehrkörpersystemen werden daher – genau wie Quantenzustände von Ein-Körper-Systemen – durch Spaltenvektoren dargestellt, deren Elemente komplexe Zahlen sind und deren euklidische Norm $1$ beträgt. Im Fall eines Mehrfachsystems werden die Einträge dieser Vektoren so angeordnet, dass sie dem kartesischen Produkt der klassischen Zustandsmengen entsprechen, die den einzelnen Systemen zugeordnet sind, da dies die klassische Zustandsmenge des zusammengesetzten Systems ist.

Sind beispielsweise $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Qubits, so ist die klassische Zustandsmenge des Qubitpaares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ – das gemeinsam als ein einziges System betrachtet wird – das kartesische Produkt $\{0,1\}\times\{0,1\}$. Indem wir Paare von binären Werten als binäre Zeichenfolgen der Länge zwei darstellen, ordnen wir dieser kartesischen Produktmenge die Menge $\{00,01,10,11\}$ zu. Die folgenden Vektoren sind daher allesamt Beispiele für Quantenzustandsvektoren des Paares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ :

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Es gibt verschiedene Varianten, wie Quantenzustandsvektoren mehrerer Systeme ausgedrückt werden, und wir können diejenige Variante wählen, die unseren Vorlieben entspricht. Hier sind einige Beispiele für den ersten Quantenzustandsvektor oben.

1. Wir können die Tatsache nutzen, dass $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (für alle klassischen Zustände $a$ und $b$ ), um stattdessen zu schreiben

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Wir können das Symbol für das Tensorprodukt explizit wie folgt schreiben:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Wir können die kets tiefstellen, um anzugeben, wie sie den betrachteten Systemen entsprechen, etwa so:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Natürlich können wir Quantenzustandsvektoren auch explizit als Spaltenvektoren schreiben:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Je nach dem Kontext, in dem er auftaucht, kann eine dieser Varianten bevorzugt werden - sie sind jedoch alle gleichwertig in dem Sinne, dass sie denselben Vektor beschreiben.

Tensorprodukte von Quantenzustandsvektoren

Ähnlich wie bei den Wahrscheinlichkeitsvektoren sind Tensorprodukte von Quantenzustandsvektoren ebenfalls Quantenzustandsvektoren - und auch sie repräsentieren die Unabhängigkeit zwischen Systemen.

Um es genauer zu betrachten, beginnend mit dem Fall zweier Systeme: Sei $\vert \phi \rangle$ ein Quantenzustandsvektor des Systems $\mathsf{X}$ und $\vert \psi \rangle$ ein Quantenzustandsvektor des Systems $\mathsf{Y}$ . Das Tensorprodukt $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ , das alternativ auch als $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ oder $\vert \phi \otimes \psi \rangle$ geschrieben werden kann, ist dann ein Quantenzustandsvektor des Gesamtsystems $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ . Einen Zustand dieser Form bezeichnen wir wiederum als Produktzustand .

Intuitiv gesehen lässt sich sagen: Befindet sich ein Systempaar $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ in einem Produktzustand $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$, so können wir dies so interpretieren, dass $\mathsf{X}$ sich im Quantenzustand $\vert \phi \rangle$ befindet, $\mathsf{Y}$ sich im Quantenzustand $\vert \psi \rangle$ befindet und die Zustände der beiden Systeme nichts miteinander zu tun haben.

Die Tatsache, dass der Tensorproduktvektor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ tatsächlich ein Quantenzustandsvektor ist, steht im Einklang mit der euklidischen Norm, die in Bezug auf Tensorprodukte multiplikativ ist:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Da $\vert \phi \rangle$ und $\vert \psi \rangle$ Quantenzustandsvektoren sind, gilt $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ und $\|\vert \psi \rangle\| = 1$, und somit $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1$; daher ist auch $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ein Quantenzustandsvektor.

Dies lässt sich auf mehr als zwei Systeme verallgemeinern. Sind $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ Quantenzustandsvektoren der Systeme $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$, so ist $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ ein Quantenzustandsvektor, der einen Produktzustand des gemeinsamen Systems $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ darstellt. Auch hier wissen wir, dass es sich um einen Quantenzustandsvektor handelt, da

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Verschränkte Zustände

Nicht alle Quantenzustandsvektoren von Mehrfachsystemen sind Produktzustände. Zum Beispiel kann der Quantenzustandsvektor

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

von zwei Qubits ist kein Produktzustand. Um dies zu begründen, können wir genau das gleiche Argument verwenden, das wir im vorherigen Abschnitt für einen probabilistischen Zustand benutzt haben. Das heißt, wenn $(1)$ ein Produktzustand wäre, würde es Quantenzustandsvektoren $\vert\phi\rangle$ und $\vert\psi\rangle$ geben, für die

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Aber dann wäre es zwangsläufig der Fall, dass

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

was bedeutet, dass $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ oder $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (oder beides). Dies widerspricht der Tatsache, dass

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

und

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

sind beide ungleich Null. Der Quantenzustandsvektor $(1)$ stellt also eine Korrelation zwischen zwei Systemen dar, und wir sagen ausdrücklich, dass die Systeme verschränkt sind.

Beachten Sie, dass der spezifische Wert $1/\sqrt{2}$ für dieses Argument nicht wichtig ist - wichtig ist nur, dass dieser Wert ungleich Null ist. So kann zum Beispiel der Quantenzustand

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

ist ebenfalls kein Produktzustand, mit dem gleichen Argument.

Die Verschränkung ist ein wesentliches Merkmal der Quanteninformation, das in einer späteren Lektion ausführlicher behandelt wird. Die Verschränkung kann kompliziert sein, insbesondere bei verrauschten Quantenzuständen, die durch Dichtematrizen beschrieben werden können (diese werden im Kurs Allgemeine Formulierung der Quanteninformation behandelt, dem dritten Kurs in der Reihe Quanteninformation und -berechnung verstehen ). Für Quantenzustandsvektoren ist Verschränkung jedoch gleichbedeutend mit Korrelation: Jeder Quantenzustandsvektor, der kein Produktzustand ist, stellt einen verschränkten Zustand dar.

Im Gegensatz dazu ist der Quantenzustandsvektor

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

ist ein Beispiel für einen Produktzustand.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Dieser Zustand ist also nicht verschränkt.

Bell erklärt

Wir werden uns nun einige wichtige Beispiele für Quantenzustände mit mehreren Quantenbits ansehen, beginnend mit den Bell-Zuständen. Dies sind die folgenden vier Zwei-Qubit-Zustände:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Die Bell-Zustände wurden zu Ehren von John BellJohn Stewart Bell (1928-1990) war ein Physiker, der wichtige Beiträge zu den Grundlagen der Quantentheorie leistete so benannt. Beachten Sie, dass dasselbe Argument, mit dem nachgewiesen wird, dass $\vert\phi^+\rangle$ kein Produktzustand ist, auch für alle anderen Bell-Zustände gilt: Alle vier Bell-Zustände stellen eine Verschränkung zwischen zwei Qubits dar.

Die Sammlung aller vier Bell-Zustände

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

ist als Bell-Basis bekannt. Wie der Name schon sagt, handelt es sich um eine Basis; jeder Quantenzustandsvektor aus zwei Qubits oder überhaupt jeder komplexe Vektor, dessen Einträge den vier klassischen Zuständen von zwei Bits entsprechen, kann als Linearkombination der vier Bell-Zustände ausgedrückt werden. Beispiel:

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

GHZ- und W-Zustände

Als nächstes werden wir zwei interessante Beispiele für Zustände von drei Qubits betrachten. Das erste Beispiel ist der GHZ-Zustand (so benannt zu Ehren von Daniel Greenberger, Michael Horne und Anton Zeilinger, die als erste einige seiner Eigenschaften untersucht haben):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Das zweite Beispiel ist der so genannte W-Zustand:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Keiner dieser Zustände ist ein Produktzustand, was bedeutet, dass sie nicht als Tensorprodukt von drei Qubit-Quantenzustandsvektoren geschrieben werden können. Wir werden diese beiden Zustände später untersuchen, wenn wir partielle Messungen von Quantenzuständen mehrerer Systeme diskutieren.

Weitere Beispiele

Die Beispiele für Quantenzustände von Mehrfachsystemen, die wir bisher gesehen haben, sind Zustände von zwei oder drei Qubits, aber wir können auch Quantenzustände von Mehrfachsystemen mit unterschiedlichen klassischen Zustandsmengen betrachten.

Hier ist zum Beispiel ein Quantenzustand von drei Systemen: $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$ und $\mathsf{Z}$, wobei die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{X}$ das binäre Alphabet ist ( $\mathsf{X}$ ist also ein Qubit) und die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{Y}$ und $\mathsf{Z}$ die Menge $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ ist:

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Und hier ist ein Beispiel für einen Quantenzustand von drei Systemen – $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$ und $\mathsf{Z}$ –, die alle dieselbe klassische Zustandsmenge $\{0,1,2\}$ teilen:

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Systeme mit der klassischen Zustandsmenge $\{0,1,2\}$ werden oft als Trits oder (unter der Annahme, dass sie sich in einem Quantenzustand befinden können) als Qutrits bezeichnet. Der Begriff „Qudit“ bezeichnet ein System mit der klassischen Zustandsmenge $\{0,\ldots,d-1\}$ bei beliebiger Wahl von $d$.

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Messungen von Quantenzuständen

In der vorherigen Lektion wurden Standardbasismessungen von Quantenzuständen einzelner Systeme behandelt: Befindet sich ein System mit der klassischen Zustandsmenge $\Sigma$ in einem Quantenzustand, der durch den Vektor $\vert \psi \rangle$ dargestellt wird, und wird dieses System gemessen (im Sinne einer Standardbasismessung), so tritt jeder klassische Zustand $a\in\Sigma$ mit der Wahrscheinlichkeit $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2$ auf. Dies zeigt uns, was geschieht, wenn wir einen Quantenzustand mehrerer Systeme haben und uns entscheiden, das gesamte zusammengesetzte System zu messen, was gleichbedeutend ist mit der Messung aller einzelnen Systeme.

Um dies genauer zu formulieren: Nehmen wir an, dass $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ Systeme sind, deren klassische Zustandsmengen jeweils $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ lauten. Wir können $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ dann gemeinsam als ein einziges System betrachten, dessen klassischer Zustandsraum das kartesische Produkt $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ ist. Wird ein Quantenzustand dieses Systems durch den Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ dargestellt und werden alle Systeme gemessen, so tritt jedes mögliche Ergebnis $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ mit der Wahrscheinlichkeit $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2$ auf.

Wenn sich zum Beispiel die Systeme $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ gemeinsam im Quantenzustand befinden

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

Wird dann bei beiden Systemen eine Standard-Basismessung durchgeführt, ergibt sich das Ergebnis „ $(0,\heartsuit)$ “ mit der Wahrscheinlichkeit „ $9/25$ “ und das Ergebnis „ $(1,\spadesuit)$ “ mit der Wahrscheinlichkeit „ $16/25$ “.

Teilmessungen

Betrachten wir nun den Fall, in dem sich mehrere Systeme in einem Quantenzustand befinden und wir eine echte Teilmenge dieser Systeme messen. Wie zuvor beginnen wir mit zwei Systemen $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$, deren klassische Zustandsmengen $\Sigma$ bzw. $\Gamma$ lauten.

Im Allgemeinen hat ein Quantenzustandsvektor von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ die Form

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

wobei $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ eine Sammlung von komplexen Zahlen ist, die folgende Bedingungen erfüllen

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

was gleichbedeutend damit ist, dass $\vert \psi \rangle$ ein Einheitsvektor ist.

Aus den obigen Ausführungen wissen wir bereits, dass, wenn sowohl $\mathsf{X}$ als auch $\mathsf{Y}$ gemessen werden, jedes mögliche Ergebnis $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ mit einer Wahrscheinlichkeit von

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Nehmen wir stattdessen an, dass nur das erste System $\mathsf{X}$ gemessen wird, so muss die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ergebnis $a\in\Sigma$ auftritt, gleich sein mit

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Dies steht im Einklang mit dem, was wir bereits in der probabilistischen Umgebung gesehen haben, sowie mit unserem derzeitigen Verständnis der Physik: die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt, wenn $\mathsf{X}$ gemessen wird, kann nicht davon abhängen, ob $\mathsf{Y}$ ebenfalls gemessen wurde oder nicht, da dies eine Kommunikation über Lichtgeschwindigkeit ermöglichen würde.

Nachdem wir ein bestimmtes Ergebnis $a\in\Sigma$ bei einer Messung auf Standardbasis von $\mathsf{X}$ erhalten haben, erwarten wir natürlich, dass sich der Quantenzustand von $\mathsf{X}$ so ändert, dass er gleich $\vert a\rangle$ ist, genau wie wir es bei Einzelsystemen gesehen haben. Aber was passiert mit dem Quantenzustand von „ $\mathsf{Y}$ “?

Um diese Frage zu beantworten, können wir zunächst den Vektor $\vert\psi\rangle$ wie folgt ausdrücken

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

wo

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

für jedes „ $a\in\Sigma$ “. Hier verfolgen wir dieselbe Methodik wie im probabilistischen Fall, nämlich die Isolierung der Standardbasiszustände des zu messenden Systems. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Standard-Basis-Messung von $\mathsf{X}$ jeweils eines der Ergebnisse $a$ liefert, ist wie folgt:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Und da die Standardbasis-Messung von $\mathsf{X}$ das Ergebnis $a$ liefert, ergibt sich der Quantenzustand des Paares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ insgesamt als

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Das heißt, der Zustand „bricht zusammen“ wie im Fall des Einzelsystems, jedoch nur in dem Maße, wie es erforderlich ist, damit der Zustand mit der Messung von $\mathsf{X}$ vereinbar ist, die das Ergebnis $a$ ergeben hat.

Vereinfacht ausgedrückt stellt $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ die Komponente von $\vert \psi\rangle$ dar, die mit einer Messung von $\mathsf{X}$ übereinstimmt, die zu dem Ergebnis $a$ führt. Anschließend normalisieren wir diesen Vektor – indem wir ihn durch seine euklidische Norm dividieren, die gleich $\|\vert\phi_a\rangle\|$ ist –, um einen gültigen Quantenzustandsvektor mit einer euklidischen Norm von $1$ zu erhalten. Dieser Normalisierungsschritt entspricht dem, was wir im probabilistischen Kontext getan haben, als wir Vektoren durch die Summe ihrer Einträge dividiert haben, um einen Wahrscheinlichkeitsvektor zu erhalten.

Betrachten wir als Beispiel den Zustand von zwei Qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ vom Anfang des Abschnitts:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Um zu verstehen, was passiert, wenn das erste System $\mathsf{X}$ gemessen wird, schreiben wir zunächst

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Anhand der obigen Beschreibung sehen wir nun, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung zu dem Ergebnis $0$ führt, wie folgt ist

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

in diesem Fall wird der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

und die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung zu dem Ergebnis $1$ führt, ist

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

in diesem Fall wird der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Die gleiche Technik, symmetrisch angewandt, beschreibt, was passiert, wenn das zweite System $\mathsf{Y}$ und nicht das erste gemessen wird. Dieses Mal schreiben wir den Vektor $\vert \psi \rangle$ um als

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung von $\mathsf{Y}$ das Ergebnis $0$ ergibt, ist

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

in diesem Fall wird der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

und die Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis $1$ lautet, ist

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

in diesem Fall wird der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Anmerkung zu reduzierten Quantenzuständen

Das vorangegangene Beispiel zeigt eine Einschränkung der vereinfachten Beschreibung der Quanteninformation, die darin besteht, dass sie uns keine Möglichkeit bietet, den reduzierten (oder marginalen) Quantenzustand von nur einem von zwei Systemen (oder einer geeigneten Teilmenge einer beliebigen Anzahl von Systemen) wie im probabilistischen Fall zu beschreiben.

Konkret bedeutet dies, dass für einen probabilistischen Zustand zweier Systeme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, der durch einen Wahrscheinlichkeitsvektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

können wir den reduzierten oder marginalen probabilistischen Zustand von $\mathsf{X}$ allein wie folgt schreiben

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Für Quantenzustandsvektoren gibt es keine analoge Möglichkeit, dies zu tun. Insbesondere gilt für einen Quantenzustandsvektor

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

der Vektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

ist im Allgemeinen kein Quantenzustandsvektor und stellt das Konzept eines reduzierten oder marginalen Zustands nicht richtig dar.

Stattdessen können wir uns dem Begriff der Dichtematrix zuwenden, der im Kurs Allgemeine Formulierung der Quanteninformation behandelt wird. Dichtematrizen bieten uns eine sinnvolle Möglichkeit, reduzierte Quantenzustände zu definieren, die der probabilistischen Einstellung entspricht.

Teilmessungen für drei oder mehr Systeme

Teilmessungen für drei oder mehr Systeme, bei denen eine geeignete Teilmenge der Systeme gemessen wird, können auf den Fall von zwei Systemen reduziert werden, indem die Systeme in zwei Sammlungen aufgeteilt werden, nämlich in solche, die gemessen werden, und solche, die nicht gemessen werden. Hier ein konkretes Beispiel, das zeigt, wie dies geschehen kann. Es zeigt insbesondere, wie nützlich es sein kann, kets durch die Namen der Systeme, die sie repräsentieren, zu subskribieren - in diesem Fall, weil es uns eine einfache Möglichkeit gibt, Permutationen der Systeme zu beschreiben.

In diesem Beispiel betrachten wir einen Quantenzustand eines 5-Tupels von Systemen $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0)$, wobei alle fünf dieser Systeme dieselbe klassische Zustandsmenge $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ gemeinsam haben:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Wir werden die Situation betrachten, in der das erste und das dritte System gemessen werden und die übrigen Systeme in Ruhe gelassen werden.

Konzeptionell gibt es keinen grundlegenden Unterschied zwischen dieser Situation und einer Situation, in der eines von zwei Systemen gemessen wird. Da die gemessenen Systeme mit den ungemessenen Systemen durchsetzt sind, ist es leider schwierig, die für diese Berechnungen erforderlichen Ausdrücke aufzuschreiben.

Eine Möglichkeit, wie oben vorgeschlagen, besteht darin, die kets tiefzustellen, um anzugeben, auf welche Systeme sie sich beziehen. Auf diese Weise können wir die Systeme verfolgen, wenn wir die Reihenfolge der Kets ändern, was die Mathematik vereinfacht.

Erstens kann der obige Quantenzustandsvektor alternativ geschrieben werden als

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Es hat sich nichts geändert, außer dass jedes „ket“ nun einen Index hat, der angibt, welchem System es entspricht. Hier haben wir die Indizes „ $0,\ldots,4$ “ verwendet, aber es könnten auch die Namen der Systeme selbst verwendet werden (beispielsweise in einer Situation, in der wir Systemnamen wie „ $\mathsf{X}$ “, „ $\mathsf{Y}$ “ und „ $\mathsf{Z}$ “ haben).

Wir können nun die Kets neu ordnen und Begriffe wie folgt sammeln:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Die Tensorprodukte sind immer noch implizit, auch wenn Klammern verwendet werden, wie in diesem Beispiel.

Um die Permutation der Kets zu verdeutlichen: Tensorprodukte sind nicht kommutativ: Sind $\vert \phi\rangle$ und $\vert \pi \rangle$ Vektoren, so unterscheidet sich im Allgemeinen $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ von $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle$, und dasselbe gilt für Tensorprodukte aus drei oder mehr Vektoren. Beispielsweise ist $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ ein anderer Vektor als $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ . Die Umordnung der Kets, wie wir sie gerade vorgenommen haben, sollte nicht so interpretiert werden, als würde sie etwas anderes nahelegen.

Vielmehr treffen wir für die Durchführung der Berechnungen lediglich die Entscheidung, dass es praktischer ist, die Systeme als „ $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ “ zusammenzufassen, anstatt als „ $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ “. Die Indizes bei den Kets dienen dazu, den Überblick zu behalten, und es steht uns frei, später zur ursprünglichen Reihenfolge zurückzukehren, wenn wir dies wünschen.

Wir sehen nun, dass, wenn die Systeme $\mathsf{X}_4$ und $\mathsf{X}_2$ gemessen werden, die (von Null verschiedenen) Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse wie folgt sind:

• Das Messergebnis $(\heartsuit,\diamondsuit)$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Das Messergebnis $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Das Messergebnis $(\spadesuit,\clubsuit)$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Liegt das Messergebnis beispielsweise bei „ $(\heartsuit,\diamondsuit)$ “, so ergibt sich für unsere fünf Systeme folgender Zustand:

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Für die endgültige Antwort sind wir zu unserer ursprünglichen Reihenfolge der Systeme zurückgekehrt, nur um zu zeigen, dass wir dies tun können. Für die anderen möglichen Messergebnisse kann der Zustand auf ähnliche Weise bestimmt werden.

Abschließend noch zwei Beispiele, die bereits versprochen wurden, beginnend mit dem GHZ-Zustand

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Wird nur das erste System gemessen, erhalten wir mit der Wahrscheinlichkeit $1/2$ das Messergebnis $0$, woraufhin der Zustand der drei Qubits zu $\vert 000\rangle$ wird; außerdem erhalten wir mit der Wahrscheinlichkeit $1/2$ das Messergebnis $1$, woraufhin der Zustand der drei Qubits zu $\vert 111\rangle$ wird.

Für einen W-Zustand hingegen, wieder unter der Annahme, dass nur das erste System gemessen wird, schreiben wir diesen Zustand zunächst wie folgt:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung des ersten Qubits zu dem Ergebnis 0 führt, ist daher gleich

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

und unter der Bedingung, dass die Messung zu diesem Ergebnis führt, wird der Quantenzustand der drei Qubits

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis 1 ist, beträgt $1/3$; in diesem Fall nimmt der Zustand der drei Qubits die Form $\vert 100\rangle$ an.

Der W-Zustand ist symmetrisch, d. h. er ändert sich nicht, wenn wir die Qubits vertauschen. Wir erhalten daher eine ähnliche Beschreibung für die Messung des zweiten oder dritten Qubits anstelle des ersten.

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Einheitliche Vorgänge

Im Prinzip stellt jede unitäre Matrix, deren Zeilen und Spalten den klassischen Zuständen eines Systems entsprechen, eine gültige Quantenoperation für dieses System dar. Dies gilt natürlich auch für zusammengesetzte Systeme, deren klassische Zustandsmengen zufällig kartesische Produkte der klassischen Zustandsmengen der einzelnen Systeme sind.

Betrachtet man zwei Systeme genauer: Wenn $\mathsf{X}$ ein System mit der klassischen Zustandsmenge $\Sigma$ ist und $\mathsf{Y}$ ein System mit der klassischen Zustandsmenge $\Gamma$ ist, dann ist die klassische Zustandsmenge des gemeinsamen Systems $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ $\Sigma\times\Gamma$. Daher werden Quantenoperationen an diesem gemeinsamen System durch unitäre Matrizen dargestellt, deren Zeilen und Spalten der Menge $\Sigma\times\Gamma$ entsprechen. Die Reihenfolge der Zeilen und Spalten dieser Matrizen entspricht der Reihenfolge, die für die Quantenzustandsvektoren des Systems $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ verwendet wird.

Nehmen wir beispielsweise an, dass $\Sigma = \{1,2,3\}$ und $\Gamma = \{0,1\}$ gilt, und erinnern wir uns daran, dass die Standardkonvention für die Reihenfolge der Elemente des kartesischen Produkts $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ wie folgt lautet:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Hier ist ein Beispiel für eine Einheitsmatrix, die eine Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ darstellt:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Diese Einheitsmatrix ist nichts Besonderes, sie dient lediglich als Beispiel. Um zu überprüfen, ob $U$ unitär ist, reicht es beispielsweise aus, $U^{\dagger} U = \mathbb{I}$ zu berechnen und zu überprüfen. Alternativ können wir überprüfen, ob die Zeilen (oder die Spalten) orthonormal sind, was in diesem Fall aufgrund der besonderen Form der Matrix „ $U$ “ einfacher ist.

Die Wirkung von „ $U$ “ auf den Standardbasisvektor „ $\vert 1, 1 \rangle$ “ lautet beispielsweise

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

Dies lässt sich erkennen, wenn man die zweite Spalte von $U$ betrachtet und dabei unsere Reihenfolge der Menge $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ berücksichtigt.

Wie bei jeder Matrix ist es möglich, „ $U$ “ in Dirac-Notation darzustellen, wofür 20 Terme für die 20 von Null verschiedenen Einträge von „ $U$ “ erforderlich wären. Würden wir jedoch all diese Terme aufschreiben, anstatt eine „ $6\times 6$ “-Matrix zu verwenden, wäre dies unübersichtlich, und die Muster, die sich aus dem Matrixausdruck ergeben, wären wahrscheinlich nicht so deutlich erkennbar. Einfach ausgedrückt: Die Dirac-Notation ist nicht immer die beste Wahl.

Unitäre Operationen an drei oder mehr Systemen funktionieren auf ähnliche Weise, wobei die unitären Matrizen Zeilen und Spalten haben, die dem kartesischen Produkt der klassischen Zustandsmengen der Systeme entsprechen. Wir haben in dieser Lektion bereits ein Beispiel gesehen: die Drei-Qubit-Operation

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

wobei die Zahlen in bras und kets ihre $3$ -bit Binärkodierungen bezeichnen. Es handelt sich nicht nur um eine deterministische Operation, sondern auch um eine unitäre Operation. Operationen, die sowohl deterministisch als auch unitär sind, werden als reversible Operationen bezeichnet. Die konjugierte Transponierung dieser Matrix kann wie folgt geschrieben werden:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Dies ist die Umkehrung oder, mathematisch ausgedrückt, die Umkehrung der ursprünglichen Operation - das, was wir von der konjugierten Transponierung einer unitären Matrix erwarten. Im weiteren Verlauf der Lektion werden wir weitere Beispiele für einheitliche Operationen auf mehreren Systemen sehen.

Einheitliche Vorgänge, die unabhängig voneinander auf einzelnen Systemen durchgeführt werden

Wenn unitäre Operationen unabhängig voneinander auf eine Menge einzelner Systeme angewendet werden, wird die kombinierte Wirkung dieser unabhängigen Operationen durch das Tensorprodukt der sie darstellenden unitären Matrizen beschrieben. Das heißt: Wenn $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ Quantensysteme sind, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ unitäre Matrizen, die Operationen an diesen Systemen darstellen, und die Operationen unabhängig voneinander an den Systemen durchgeführt werden, wird die kombinierte Wirkung auf $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ durch die Matrix $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$ dargestellt. Auch hier stellen wir fest, dass die probabilistischen und die Quantenkontexte in dieser Hinsicht analog sind.

Nach der Lektüre des vorangegangenen Absatzes würde man natürlich erwarten, dass das Tensorprodukt einer beliebigen Sammlung von unitarischen Matrizen unitär ist. Dies ist in der Tat der Fall, und wir können dies wie folgt überprüfen.

Zunächst ist zu beachten, dass die Operation der konjugierten Transponierung folgende Bedingungen erfüllt

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

für beliebige Matrizen $M_0,\ldots,M_{n-1}$. Dies lässt sich überprüfen, indem man auf die Definition des Tensorprodukts und der konjugierten Transponierten zurückgreift und nachprüft, dass alle Einträge auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. Das bedeutet, dass

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Da das Tensorprodukt von Matrizen multiplikativ ist, ergibt sich, dass

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Hier haben wir „ $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ “ geschrieben, um die Matrizen zu bezeichnen, die die Identitätsoperation auf den Systemen „ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ “ darstellen; das heißt, es handelt sich um Identitätsmatrizen, deren Dimensionen mit der Anzahl der klassischen Zustände von „ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ “ übereinstimmen.

Schließlich ist das Tensorprodukt $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ gleich der Identitätsmatrix, deren Anzahl an Zeilen und Spalten mit dem Produkt aus der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$ übereinstimmt. Diese größere Identitätsmatrix stellt die Identitätsoperation auf dem gemeinsamen System $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ dar.

Zusammengefasst ergibt sich die folgende Gleichheitsfolge:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Wir kommen daher zu dem Schluss, dass $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ einheitlich ist.

Eine wichtige Situation, die häufig auftritt, ist die, in der eine einheitliche Operation auf nur ein System – oder eine echte Teilmenge von Systemen – innerhalb eines größeren gemeinsamen Systems angewendet wird. Nehmen wir beispielsweise an, dass $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Systeme sind, die wir gemeinsam als ein einziges, zusammengesetztes System $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ betrachten können, und dass wir eine Operation ausschließlich auf dem System $\mathsf{X}$ durchführen. Genauer gesagt nehmen wir an, dass $U$ eine unitäre Matrix ist, die eine Operation auf $\mathsf{X}$ darstellt, sodass ihre Zeilen und Spalten den klassischen Zuständen von $\mathsf{X}$ zugeordnet wurden.

Zu sagen, dass wir die durch $U$ dargestellte Operation nur auf dem System $\mathsf{X}$ ausführen, bedeutet, dass wir an $\mathsf{Y}$ nichts verändern, d. h., wir führen unabhängig voneinander $U$ auf $\mathsf{X}$ und die Identitätsoperation auf $\mathsf{Y}$ aus. Das heißt, „nichts zu tun“ mit $\mathsf{Y}$ ist gleichbedeutend mit der Ausführung der Identitätsoperation auf $\mathsf{Y}$, die durch die Identitätsmatrix $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ dargestellt wird. (Hier gibt uns der Index „ $\mathsf{Y}$ “ übrigens an, dass sich „ $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ “ auf die Identitätsmatrix bezieht, deren Anzahl an Zeilen und Spalten mit der klassischen Zustandsmenge von „ $\mathsf{Y}$ “ übereinstimmt.) Die Operation auf „ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ “, die sich ergibt, wenn wir „ $U$ “ auf „ $\mathsf{X}$ “ anwenden und „ $\mathsf{Y}$ “ unverändert lassen, wird daher durch die unitäre Matrix dargestellt

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Wenn zum Beispiel $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Qubits sind, ist die Durchführung einer Hadamard-Operation auf $\mathsf{X}$ und die Nichtbeeinflussung von $\mathsf{Y}$ gleichbedeutend mit der Durchführung der Operation

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

auf der gemeinsamen Website $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

In ähnlicher Weise gilt: Wenn eine Operation, die durch die unitäre Matrix $U$ dargestellt wird, auf $\mathsf{Y}$ angewendet wird und $\mathsf{X}$ unverändert bleibt, wird die resultierende Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ durch die unitäre Matrix dargestellt

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Betrachten wir beispielsweise erneut die Situation, in der sowohl $\mathsf{X}$ als auch $\mathsf{Y}$ Qubits sind und $U$ eine Hadamard-Operation ist, so wird die resultierende Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ durch die folgende Matrix dargestellt

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Nicht jede unitäre Operation auf einer Ansammlung von Systemen kann als Tensorprodukt solcher unitärer Operationen geschrieben werden, genauso wie nicht jeder Quantenzustandsvektor dieser Systeme ein Produktzustand ist. Zum Beispiel können weder die Swap-Operation noch die Controlled-NOT-Operation auf zwei Qubits, die weiter unten beschrieben werden, als Tensorprodukt von unitären Operationen ausgedrückt werden.

Der Swap-Vorgang

Zum Abschluss der Lektion sehen wir uns zwei Klassen von Beispielen für unitäre Operationen auf mehreren Systemen an, beginnend mit der Tauschoperation.

Angenommen, $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ sind Systeme, die dieselbe klassische Zustandsmenge $\Sigma$ teilen. Die Swap -Operation auf dem Paar $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ist die Operation, die den Inhalt der beiden Systeme vertauscht, die Systeme ansonsten aber unverändert lässt – sodass $\mathsf{X}$ auf der linken Seite und $\mathsf{Y}$ auf der rechten Seite verbleibt. Wir bezeichnen diese Operation als „ $\operatorname{SWAP}$ “, und sie funktioniert für jede Wahl klassischer Zustände $a,b\in\Sigma$ wie folgt:

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Eine Möglichkeit, die mit dieser Operation verbundene Matrix unter Verwendung der Dirac-Notation zu schreiben, ist die folgende:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Es ist vielleicht nicht auf den ersten Blick ersichtlich, dass diese Matrix „ $\operatorname{SWAP}$ “ darstellt, aber wir können überprüfen, ob sie die Bedingung „ $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ “ für jede Wahl klassischer Zustände „ $a,b\in\Sigma$ “ erfüllt. Als einfaches Beispiel: Wenn „ $\mathsf{X}$ “ und „ $\mathsf{Y}$ “ Qubits sind, stellen wir fest, dass

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Kontrollierte einheitliche Vorgänge

Nehmen wir nun an, dass $\mathsf{Q}$ ein Qubit und $\mathsf{R}$ ein beliebiges System ist, das sich in einem beliebigen klassischen Zustand befindet. Für jede unitäre Operation $U$, die auf das System $\mathsf{R}$ wirkt, ist eine kontrollierte $U$ Operation eine unitäre Operation auf dem Paar $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$, die wie folgt definiert ist:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Wenn beispielsweise $\mathsf{R}$ ebenfalls ein Qubit ist und wir die Pauli- $X$ -Operation auf $\mathrm{R}$ betrachten, dann ergibt sich eine kontrollierte $X$ -Operation wie folgt:

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Wir haben diese Operation bereits im Zusammenhang mit der klassischen Information und den probabilistischen Operationen in dieser Lektion kennengelernt. Ersetzt man die Operation Pauli $X$ auf $\mathsf{R}$ durch eine Operation $Z$, ergibt sich diese Operation:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Wenn wir stattdessen $\mathsf{R}$ als zwei Qubits betrachten und $U$ als die Tauschoperation zwischen diesen beiden qubits ist, erhalten wir diese Operation:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Diese Operation wird auch als Fredkin-Operation oder Fredkin-Gate bezeichnet. Seine Wirkung auf Standard-Basiszustände kann wie folgt beschrieben werden:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Schließlich wird eine „controlled-controlled-NOT“-Operation, die wir als „ $CCX$ “ bezeichnen können, als Toffoli-Operation oder Toffoli-Gatter bezeichnet Die Matrixdarstellung sieht wie folgt aus:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Wir können dies auch mit der Dirac-Notation wie folgt ausdrücken:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$