Die Natur von Quantenzuständen: versteckte Variablen versus Bellsche Ungleichung

Für dieses Modul "Qiskit im Klassenzimmer" müssen die Schüler eine funktionierende Python Umgebung mit den folgenden Paketen installiert haben:

• qiskit v2.1.0 oder neuer
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 oder neuer
• qiskit-aer v0.17.0 oder neuer
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Um die oben genannten Pakete einzurichten und zu installieren, lesen Sie die Anleitung Qiskit installieren. Um Aufträge auf echten Quantencomputern ausführen zu können, müssen die Schüler ein Konto bei IBM Quantum® einrichten, indem sie die Schritte in der Anleitung zur Einrichtung Ihres IBM Cloud Kontos befolgen.

Dieses Modul wurde getestet und verbrauchte 12 Sekunden QPU-Zeit. Dies ist nur eine Schätzung. Ihre tatsächliche Nutzung kann davon abweichen.

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Schauen Sie sich den Modul-Walkthrough von Dr. Katie McCormick unten an, oder klicken Sie hier, um ihn auf YouTube zu sehen.

Hintergrund

Bei vielen Berechnungen in der Quantenmechanik geht man von einem bekannten Zustand eines Systems aus, und dieser Zustand ist normalerweise durch eine Messung bekannt. Heute wollen wir die Frage beantworten: "Was kann man über den Zustand eines Teilchens vor einer Messung sagen?" Eine offensichtliche Folge davon ist: "Wie können wir wissen, wenn wir nicht messen dürfen?"

Diese Frage geht auf die Anfänge der Quantenmechanik zurück. Die Pioniere auf diesem Gebiet spalteten sich in Einstein und viele andere, die meinten, ein Teilchen befinde sich vor der Messung einfach in einem unbekannten Zustand. Andere, vor allem Max Born und später Niels Bohr, stellten eine radikalere Behauptung auf, indem sie sagten, der Zustand eines Teilchens sei vor der Messung tatsächlich von der Natur unbestimmt und nicht nur dem Menschen unbekannt. Durch die Messung wird das Teilchen dann mit Wahrscheinlichkeit in einen bestimmten Zustand gebracht. Einstein, der mit dieser Erklärung unzufrieden war, witzelte daraufhin: "Gott würfelt nicht", was so viel bedeutet wie "Gott würfelt nicht"

Jahrzehntelang, nachdem diese Meinungsverschiedenheit aufgetaucht war, dachten viele, dass sie nie beantwortet werden könnte oder dass es nur eine Frage der Perspektive sei. Dann, im Jahr 1964, schrieb John Bell, ein Physiker aus Nordirland, eine Arbeit, in der er die Statistik bestimmter Experimente untersuchte, die diese Frage endgültig beantworten könnten. Er zeigte, dass man bei einem bestimmten Test einen Satz von Statistiken aus definierten (aber unbekannten) Quantenzuständen und einen anderen Satz von Statistiken aus von der Natur unbestimmten Quantenzuständen erhält.

Zu der Zeit, als Bell seine Arbeit schrieb, waren experimentelle Tests der damit verbundenen Statistiken für alle außer den Spitzenforschern der Physik unzugänglich. Doch heute ermöglicht IBM Quantum es Schülerinnen und Schülern auf der ganzen Welt, echte Quantengeräte zu benutzen, um die Natur von Quantenzuständen zu erforschen - und das kostenlos über die Cloud. Das ist es, was Sie heute tun werden.

Aufbau des Gedankenexperiments: Verschränkung von Spin

Es gibt Prozesse, bei denen ein Teilchen ohne Spin in zwei Teilchen zerfällt, die beide einen Spin haben. Da der Spin eine Art Drehimpuls ist, würde der Drehimpulserhaltungssatz nahelegen, dass die beiden austretenden Teilchen genau entgegengesetzte Spins haben müssen. Dies ist in der Tat experimentell beobachtet worden.

Ein Beispiel: Ein neutrales pi-Meson zerfällt manchmal in ein Positron und ein Elektron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie nicht wissen, was diese Teilchen sind, und auch nicht, wenn Sie sie so gut kennen, dass Sie wissen, dass dieser Zerfallstyp relativ unwahrscheinlich ist. Man muss nur wissen, dass, wenn eines der austretenden Teilchen einen Aufwärtsdrall hat, das andere einen Abwärtsdrall haben muss, und umgekehrt. Natürlich ist "oben" und "unten" nichts Besonderes; dieselbe Gegenläufigkeit wird beobachtet, wenn Messungen entlang dessen vorgenommen werden, was wir oft als $x$ oder $y$ bezeichnen. Dieser Zerfall ist für uns ein zwingender Kontext, denn wir können die Frage umgehen, welche Messungen in der Vergangenheit stattgefunden haben; das Positron und das Elektron existierten bis zum Zeitpunkt des Zerfalls nicht einmal.

Wir können $\pi^0$ Mesonen zerfallen lassen und die Ablenkung der austretenden Teilchen unter dem Einfluss eines inhomogenen Magnetfeldes beobachten. Ein inhomogenes Feld, das zur Ablenkung von Spins verwendet wird, wird oft als Stern-Gerlach-Vorrichtung bezeichnet, nach den Forschern, die damit (zufällig) den Nachweis für die Existenz quantenmechanischer Spins erbrachten. Man beachte, dass die Geschichte hier komplizierter ist als im ursprünglichen Experiment, da das Elektron und das Positron ebenfalls geladen sind (im Gegensatz zu den Silberatomen im Stern-Gerlach-Experiment). Aber wir wissen, wie sich geladene Teilchen in einem Magnetfeld bewegen, und wir können diesen Effekt herausrechnen. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die in unseren Berechnungen verwendeten Ablenkungen auf den Spin der Teilchen und nicht auf die Ladung zurückzuführen sind. Für unsere Zwecke ist es daher unerheblich, welcher Beobachter das Positron und welcher das Elektron erhält. Der Versuchsaufbau sieht in etwa so aus:

Beim Zerfall des Mesons wird ein Elektron in die eine und ein Positron in die andere Richtung geschleudert. Jedes dieser beiden Teilchen durchläuft ein inhomogenes Magnetfeld und wird dabei entweder in Richtung des Magnetfeldes oder entgegengesetzt abgelenkt.

Wenn wir eine Quelle mit vielen Mesonen haben, können wir darüber Statistiken erstellen. Wenn ein Beobachter auf der linken und ein Beobachter auf der rechten Seite (nennen wir sie Lucas bzw. Rihanna) immer entlang derselben Achse messen, sind diese Statistiken nicht sehr interessant: Jedes Mal, wenn der eine nach oben misst, misst der andere nach unten; jedes Mal, wenn der eine in die Seite hinein misst, misst der andere aus der Seite heraus, und so weiter. Wenn es den Spielern jedoch freisteht, den Spin in jede beliebige Richtung zu messen, finden wir vielleicht etwas Interessanteres.

Das oben beschriebene Experiment, bei dem Teilchen mit einem von zwei Beobachtern gemessenen Drehimpuls wegfliegen, wurde ursprünglich von Einstein, Podolsky und Rosen (EPR) in diesem Papier vorgeschlagen und wird manchmal als "EPR-Experiment" bezeichnet.

Unsere Optionen

Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die beiden historischen Standpunkte noch einmal wiederholen:

Option 1 (Einstein): Die beiden Spins (des Elektrons und des Positrons) sind determiniert, in dem Sinne, dass das Ergebnis jeder Messung entlang einer beliebigen Achse von der Natur vorbestimmt ist, auch wenn wir nicht wissen, welches es ist. Man kann sich das so vorstellen, dass die Spins eine reale, wohldefinierte Ausrichtung im Raum haben, die uns nicht bekannt ist, die aber existiert. Man kann sich dies auch als eine Reihe von Informationen oder Anweisungen vorstellen, die die Ergebnisse von Messungen entlang $x$, $y$, $z$, oder irgendetwas dazwischen bestimmen. Die Messung des Spins des Positrons (z. B. entlang der Z-Achse) zwingt es, sich in der Z- oder -z -Richtung zu orientieren und auszurichten. Dies hat keinen kausalen Einfluss auf den Elektronenspin, obwohl wir wissen, dass der Elektronenspin zu Beginn dem Positronenspin entgegengesetzt war. Wenn also der Positronenspin entlang +z gemessen wird, wird der Elektronenspin entlang -z gemessen. Abgesehen von der Anfangsbedingung, dass die Anweisungen den Drehimpuls erhalten (die Spins sind gegeneinander ausgerichtet), gibt es keine Verbindung zwischen den beiden Spins. Diese Option wird manchmal als "verborgene Variablen" bezeichnet, d. h. die Projektionen entlang der verschiedenen Achsen sind zwar festgelegt, bleiben uns aber verborgen.

Option 2 (Born): Die Spins sind beide in ihrem Anfangszustand unbestimmt... nicht nur unbekannt, sondern physikalisch unbestimmt, ohne eindeutige Orientierung oder Anweisungen für experimentelle Ergebnisse, bis sie gemessen werden. Die Messung des Positronenspins "kollabiert" den Raum aller Möglichkeiten auf einen einzigen bestimmten Zustand, entweder entlang der +z- oder der -z -Achse. Diese Messung des Positrons zwingt den Elektronenspin dazu, ebenfalls in eine wohldefinierte Projektion entlang von z zu kollabieren, die der des Positrons genau entgegengesetzt ist. Dieser Effekt tritt über den gesamten Raum zwischen Positron und Elektron verteilt auf. Dies wurde als "spukhafte Fernwirkung" bezeichnet, man könnte es aber auch weniger dramatisch "nichtlokale Physik" nennen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Es wäre großartig, die Einstein- und die Born-Option experimentell voneinander unterscheiden zu können. Welche Experimente würden zu denselben Ergebnissen führen, unabhängig davon, welche der beiden Möglichkeiten zutrifft? Fällt dir ein Experiment ein, bei dem die beiden Optionen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen würden?

Anmerkung: Es wäre sehr beeindruckend, wenn Sie ein Experiment entwickeln könnten, das für Einsteins und Borns Optionen unterschiedliche Ergebnisse liefert; die Menschheit hat Jahrzehnte gebraucht, um ein solches zu entwickeln.

• Antwort

  Bleibt man bei dem bisher beschriebenen Experiment (d.h. kein Nettospin, Positron und Elektron sind gegeneinander ausgerichtet), würde die Messung beider Spins entlang $\pm x$, $\pm y$ oder $\pm z$ aufgrund der Drehimpulserhaltung immer entgegengesetzte Vorzeichen ergeben, unabhängig davon, welche Option richtig ist. Wenn man den Spin eines Teilchens (z. B. des Elektrons) entlang einer Richtung misst (z. B. $+z$ ), würde der Spin des anderen Teilchens, des Positrons, entlang $-z$ gemessen werden. Wenn man stattdessen den Spin des Positrons entlang der Richtung $x$ misst, ist die Wahrscheinlichkeit gleich groß, dass das Ergebnis $+x$ oder $-x$ lautet. Das könnte daran liegen, dass die verborgenen Anweisungen dies so vorsehen (Einsteins Option 1), oder daran, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Positronspins nach der Messung des Elektronenspins aktualisiert wird und die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer 50:50-Aufteilung zwischen $\pm x$ vereinbar ist (Borns Option 2). Diese Punkte werden im Folgenden ausführlicher erläutert.

  Die Antwort ist nur geringfügig anders, wenn man den Zerfall eines Teilchens mit spin-1 betrachtet, so dass die beiden entstehenden Teilchen (wie das Positron und das Elektron) ihre Spins aneinander ausrichten müssen und nicht aneinander vorbei. Wird ein Teilchen entlang der Achse $+y$ gemessen, so muss eine Messung des anderen Teilchens entlang der Achse $y$ ebenfalls $+y$ ergeben, und so weiter. Wie bisher kann dies aus beiden Optionen resultieren.

  Der Rest dieser Lektion ist einem Experiment gewidmet, mit dem zwischen Einsteins und Borns Möglichkeiten unterschieden werden kann, so dass wir hier nicht weiter ins Detail gehen. Ein Teil des Tricks besteht jedoch darin, die beiden Teilchen in verschiedenen Richtungen zu messen (z. B. $x$ und $z$, oder sogar in einer Richtung zwischen den traditionellen kartesischen Achsen). Der Rest ergibt sich aus einer sorgfältigen Abwägung der genauen Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse, wenn man die Vorhersagen der Quantenmechanik und die der klassischen Information wie bei versteckten Variablen berücksichtigt.

Wenn die beiden Beobachter, Lucas und Rihanna, in beiden Fällen entlang der gleichen Achse messen, würden wir erwarten, dass sie gegensätzliche Spins erhalten, unabhängig davon, welche Option zutrifft. Warum das so ist, verdeutlichen die folgenden Diagramme.

Die obige Abbildung zeigt Einsteins Option. Die Richtungen der Spins sind entgegengesetzt und festgelegt. Wenn wir entlang der Achse $z$ messen, wird einer entlang $+z$ und einer entlang $-z$ liegen. Wir haben keinen Grund anzunehmen, dass das Positron entlang $+z$ und das Elektron entlang $-z$ liegen würde; das Bild zeigt lediglich, dass die Spins in entgegengesetzten Richtungen gemessen werden. Tatsächlich muss ein gegebener Spin nicht unbedingt eine Komponente entlang der schließlich gemessenen Richtung haben, wie es bei der Einsteinschen Option der Fall ist. Die schwächste Aussage von Einsteins Option ist, dass es eine Reihe von Anweisungen gibt, die im Spin gespeichert sind und die bestimmen, wie die Messergebnisse aussehen werden, wenn sie entlang einer beliebigen Achse gemessen werden. Wir müssen uns nicht vorstellen, dass diese Anweisungen die Form eines einfachen Vektors haben (siehe Diagramm unten); wir werden später darauf zurückkommen.

Die folgende Abbildung zeigt die Bornsche Option, bei der die Richtungen der Positronen- und Elektronenspins in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verteilt sind und keine eindeutige Richtung haben. Interpretieren Sie nicht zu viel in die Form der Verteilung. Jeder Spin könnte mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null in jede beliebige Richtung zeigen, solange sie sich gegenüberliegen; wir haben sie einfach als Bruchteile des Kreises gezeichnet, damit wir sie für die Diskussion visuell unterscheiden können. Es ist zu beachten, dass im Falle der Bornschen Option der Drehimpuls erhalten bleiben muss. Wenn also eine Wahrscheinlichkeitswelle so "kollabiert", dass der Spin entlang $+z$ zeigt, wird die andere entlang $-z$ zeigen und in die entgegengesetzte Richtung abgelenkt werden. Die Optionen scheinen identisch zu sein.

Was aber geschieht, wenn die Beobachter L und R entlang einer der drei Achsen messen können, wobei jedes Paar 120 Grad voneinander entfernt ist, wie in den Abbildungen 4 und 5 dargestellt. Jeder Beobachter kann nach dem Zufallsprinzip entscheiden, entlang welcher Achse er den Spin messen will (a, b oder c). Die beiden müssen nicht entlang der gleichen Achse gemessen werden. Wenn jeder Beobachter misst, kann er eine positive Projektion auf die von ihm gewählte Achse oder eine negative Projektion feststellen. Lucas und Rihanna könnten zum Beispiel +a und -b oder +b und +c messen. Beachten Sie, dass sie, wenn sie zufällig entlang derselben Achse messen, in ihren Projektionen entgegengesetzte Vorzeichen erhalten MÜSSEN: +a und -a, +b und -b, oder +c und -c; sie können nicht beide z. B. +a finden. Im nächsten Abschnitt werden wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Lucas und Rihanna auf ihren gemessenen Achsen das gleiche Vorzeichen (++ oder --) und entgegengesetzte Vorzeichen (+-) oder (-+) haben.

Die beiden obigen Abbildungen veranschaulichen mögliche Interpretationen versteckter Variablen in diesem neuen, dreiachsigen Messszenario. Das heißt, entweder sind die Spins als Vektoren bereits festgelegt, oder es gibt eine Reihe von physikalischen Anweisungen, die irgendwie in das System eingebettet sind, so dass die Ergebnisse aller möglichen Messungen im Voraus festgelegt sind, auch wenn sie den Experimentatoren vor der Messung nicht bekannt sind. Die Alternative ist unten dargestellt. Es gibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnisse, und diese Verteilung kann uns einiges über die Wahrscheinlichkeit verschiedener Messergebnisse sagen, aber die Ergebnisse sind vor der Messung von Natur aus unbestimmt.

Wir können uns fragen: "Wie oft sollten die beiden Spieler das gleiche Zeichen für die Projektion des Spins finden?" Das heißt, wir halten nicht einmal fest, entlang welcher Achse sie gemessen haben; wir halten lediglich fest, ob sie das gleiche oder ein anderes Zeichen gefunden haben. Es ist nicht klar, ob Einsteins und Borns Optionen in diesem komplizierteren Messschema zu demselben Ergebnis führen werden. Aus den Abbildungen 4 und 5 wird jedoch deutlich, dass es einen Unterschied gibt: $possible$. Für den in Einsteins Option dargestellten Fall ergibt eine Messung der Projektion des Spins $e+$ auf die Achse $a$ definitiv $+a$, und die Projektion des Spins $e-$ auf die Achse $b$ ergibt (knapp) $-b$. Aber bei der Option Born stehen die Möglichkeiten weit offen. Es stimmt, dass der Drehimpuls erhalten bleibt. Da die beiden Magnetfelder jedoch nicht entlang derselben Achse ausgerichtet sind, zwingen wir die Teilchen in eine Situation, in der sie auf verschiedene Achsen kollabieren müssen (durch Wechselwirkungen mit dem Feld). Im nächsten Abschnitt werden wir die Quantenmechanik nutzen, um zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Lucas und Rihanna das gleiche Vorzeichen auf ihren gemessenen Achsen erhalten (++ oder --), und wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie entgegengesetzte Vorzeichen erhalten (+- oder -+), wenn man die Born'sche Option zugrunde legt.

Vorhersagen

Was sagt Einsteins Option (versteckte Variablen) voraus?

Wenn Einsteins Option wahr ist, dann hat jedes gegebene Paar von $e+$ und $e-$ einen Satz von Vektorkomponenten zu ihren Spins. Das Elektron könnte zum Beispiel die Komponenten $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$ haben. In diesem Fall muss das Positron die Komponenten $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$ haben. Wir geben hier nur das Vorzeichen der Projektion auf jede Achse an, nicht den Betrag. Stellen Sie sich vor, wir lassen eine sehr große Anzahl $N$ solcher Zerfälle stattfinden und sammeln Messungen, um die folgende Tabelle zu füllen.

Für jeden Fall in der obigen Tabelle gibt es 9 mögliche Optionen für die Achsen von Lucas und Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$, und $cc$. Aus dieser Tabelle geht hervor, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Beobachter in den Zeilen 1 und 8 das gleiche Vorzeichen messen, gleich Null ist. Für die Zeilen 2-7 gibt es 4 Möglichkeiten, das gleiche Vorzeichen zu erhalten, die wir nur für Zeile 2 zeigen:

Gleiche Zeichen: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Entgegengesetzte Zeichen: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Wenn also Einsteins Option die korrekte Interpretation von Quantenzuständen ist, wäre die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Lucas und Rihanna das gleiche Vorzeichen der Spin-Projektion auf ihren zufällig gewählten Achsen erhalten, über alle möglichen Populationen summiert: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Wobei Gleichheit nur gilt, wenn $N_1=N_8=0$.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

In Zeile 2 des obigen Diagramms haben wir alle Möglichkeiten aufgelistet, wie Lucas und Rihanna das gleiche Vorzeichen für ihre Messungen erhalten können, und alle Möglichkeiten, wie sie unterschiedliche Vorzeichen erhalten können. Wiederholen Sie dies für die dritte Reihe.

• Antwort

  Gleiche Zeichen: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

  Entgegengesetzte Zeichen: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

Die obige Tabelle bezieht sich auf "Populationen", was bedeutet, dass wir nicht wissen, wie viele von jeder Art von Anweisungen die Natur produziert, wenn die Behandlung mit versteckten Variablen korrekt ist. Zeigen Sie, dass unabhängig von der Verteilung von $N_1$ bis $N_8$ die Wahrscheinlichkeit, bei den Messungen das gleiche Vorzeichen zu erhalten, immer kleiner oder gleich 4/9 ist.

• Antwort

  Gehen wir zunächst von einer konstanten Anzahl von Messversuchen insgesamt aus, so dass $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ konstant ist. Man beachte, dass in dem speziellen Fall, in dem $N_1=N_8=0$ gilt, der Ausdruck sich auf

  $$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

  Nehmen wir nun an, dass entweder $N_1 \neq 0$ oder $N_8 \neq 0$. Dann

  $$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

  Die Summe aller Versuche, $N_tot$, ist immer noch dieselbe wie zuvor. Da aber $N'_1$ oder $N'_8$ von 0 gestiegen ist, muss die Summe von $N'_2$ bis $N'_7$ niedriger sein als zuvor. Insbesondere ist die Summe von $N'_2$ bis $N'_7$ kleiner als $N_{tot}$. Daher

  $$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

  Kombiniert man alle möglichen Fälle, erhält man $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Verallgemeinerung

Bei der obigen Behandlung haben wir Messungen entlang bestimmter Achsen berücksichtigt. Natürlich könnte man Messungen entlang jeder beliebigen Achse durchführen. Nennen wir die beiden Spin-Vektoren der beiden Teilchen $\vec{a}$ und $\vec{b}$. $\lambda$ sei eine versteckte Variable, so dass ein Zustand des Zwei-Teilchen-Systems einem wohldefinierten Wert von $lambda$ entspricht. $\rho(\lambda)$ sei die Wahrscheinlichkeitsdichte in $\lambda$. Schließlich wählen wir die Symbole $A(\vec{a},\lambda)$ und $B(\vec{b},\lambda)$ als das vorbestimmte Ergebnis einer Messung, die an einem der beiden Teilchen (A oder B) durchgeführt wird, wenn die Spin-Vektoren und die versteckte Variable gegeben sind. Kritisch anzumerken ist, dass $A$ unabhängig von $\vec{b}$ und $B$ unabhängig von $\vec{a}$ ist. Man könnte nun eine beliebige Anzahl von Fragen stellen, die sich auf Korrelationen zwischen Messungen an A und B beziehen. Insbesondere könnte man nach dem Erwartungswert fragen, der durch

Bei einigen Standardannahmen für diese Werte, wie $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$ und Normalisierung über $\rho(\lambda)$, kann man zeigen, dass die Korrelationen zwischen den beiden Teilchen der folgenden Beziehung gehorchen

wobei $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Spin-Zustände Ihres Systems und $\vec{c}$ und $\vec{d}$ die Referenz-Spin-Zustände (alle anderen möglichen Spin-Zustände des Systems) sind. Dies gehört zu einer ganzen Klasse von Ungleichungen, die heute als "Bell-Ungleichungen" bekannt sind. Wir werden diese allgemeine Form hier nicht verwenden. Stattdessen werden wir uns auf einen bestimmten Versuchsaufbau konzentrieren, um diesen auf einen Quantenschaltkreis abbilden zu können.

Was sagt die Option von Born (nicht-deterministische Quantenmechanik) voraus?

Lucas wählt eine Achse aus und stellt fest, dass der Spin eines Teilchens entweder in die positive oder negative Richtung zeigt. Was auch immer er herausfindet, lassen Sie uns unsere Achsen so ausrichten, dass die Achse $z$ diese Richtung ist. Dann können wir den Anfangszustand nach dem Zerfall des Mesons und vor jeder Messung wie folgt schreiben

Rihanna wird den Spin ihres Teilchens in einer anderen Richtung unter einem Winkel $\theta$ relativ zu dem von Lucas messen. Der Spinoperator entlang einer beliebigen Richtung $\hat{n}$ ist gegeben durch

Die Eigenzustände dieses Operators sind

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Überprüfen Sie, ob $|+\rangle_{\hat{n}}$ ein Eigenzustand des obigen Operators $\hat{S}_{\hat{n}}$ ist, und ermitteln Sie den Eigenwert.

• Antwort
  $$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

  Unter Verwendung von $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ und $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$ ergibt sich

  $$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

  Dies zeigt, dass $|+\rangle_{\hat{n}}$ ein Eigenzustand ist und der entsprechende Eigenwert $\frac{\hbar}{2}$ lautet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lucas einen Spin in positiver Richtung entlang der von ihm gewählten Achse misst $|+\rangle$ $and$, dass Rihanna ebenfalls einen positiven Spin entlang ihrer gewählten Richtung misst $|+\rangle_{\hat{n}}$, ist

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Gehen Sie bei „ $P_{--}$ “ genauso vor. Vergewissern Sie sich, dass auch hier der Wert „ $\frac{1}{2}\sin^2(\theta)$ “ gilt.

• Antwort
  $$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Addiert man diese Ergebnisse, so stellt man fest, dass die Wahrscheinlichkeit der Vorzeichen der beiden gemessenen Achsen gleich ist $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Wie können Sie dieses Ergebnis rechnerisch überprüfen? Um das klarzustellen: Wir verlangen nicht, dass Sie überprüfen, ob das Ergebnis mit der Natur übereinstimmt, sondern nur, dass Sie sich vergewissern, dass bei den Berechnungen nichts schief gelaufen ist.

• Antwort

  (1) Führen Sie die gleiche Berechnung für $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ durch, um die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit zu überprüfen.

  (2) Überprüfen Sie einen bekannten Fall. $\theta = 0$ einfügen. Dann entspricht $P_{\text{same}}$ den beiden Beobachtern, die ihren Spin jeweils entlang der gleichen Achse messen, was gegen die Drehimpulserhaltung verstoßen würde. Man würde also erwarten, dass diese Wahrscheinlichkeit gleich Null ist, und tatsächlich ergibt das Einfügen von $\theta = 0$ $\sin^2(0/2) = 0$.

  (3) Prüfen Sie einen anderen bekannten Fall. Versuchen Sie $\theta = \pi$. Was sollten Sie besorgen? Vorsicht mit dem $\frac{1}{2}$.

Wir haben speziell den Fall skizziert, dass die Achsen auf $120\deg$ zueinander stehen. Zur Erinnerung: Welche Richtung ( $\pm a$, $\pm b$ oder $\pm c$ ) Lucas auch immer erhält, wir nennen sie $z$. Dann wählt Rihanna nach dem Zufallsprinzip entweder $\pm a$, $\pm b$ oder $\pm c$. Wenn ihre Wahl die gleiche ist wie die von Lucas (bis auf ein Vorzeichen), dann messen beide entlang $z$, und die Wahrscheinlichkeit, dass Rihanna auch $+z$ misst, ist Null. Dies sollte in 1/3 der Fälle der Fall sein, da Rihannas Achsenwahl unabhängig von Lucas' Wahl ist. Bei jeder anderen Wahl misst Rihanna entlang einer Achse entweder $120\deg = 2\pi/3$ im Bogenmaß von $z$ (1/3 der Zeit) oder $240\deg = 4\pi/3$ im Bogenmaß von $z$ (1/3 der Zeit). Und natürlich kann der Spin entlang jeder dieser Achsen in positiver oder negativer Richtung gemessen werden. Daraus ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Lucas und Rihanna das gleiche Zeichen erhalten:

WOW

Wir haben gerade gezeigt, dass

Lassen Sie uns einen Schritt zurückgehen.

Einsteins und Borns Optionen schienen immer zu den gleichen Ergebnissen zu führen, da sie sich nur in der Beschreibung dessen unterschieden, was vor der Messung geschieht. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass es Anweisungen gibt, die das Vorzeichen der Spin-Messung entlang bestimmter Achsen vorgeben, erhalten wir eine Einschränkung der Wahrscheinlichkeit, dass die Messungen das gleiche Vorzeichen ergeben $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Dann haben wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie in der Quantenmechanik angenommen... und erhielt einen anderen Wert für $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. Die Vorhersage der Quantenmechanik ist höher, als es die Behandlung der verborgenen Variablen erlaubt. Wir können also ein Experiment durchführen und herausfinden, ob quantenmechanische Zustände vor der Messung von Natur aus festgelegt sind oder ob sie sich tatsächlich in einer probabilistischen Überlagerung möglicher Zustände befinden.

Dieses Experiment wurde schon viele Male mit vielen verschiedenen physikalischen Systemen durchgeführt, häufig mit Photonen. Es gibt viele subtile Überlegungen, wie z. B. Verzerrungen bei der Messung, die zeitliche Abstimmung (Gleichzeitigkeit) der Messungen und viele andere. Im Laufe der Jahrzehnte ist die Sorge um diese Feinheiten immer mehr verflogen. Es werden immer noch Tests durchgeführt, je mehr wir über die Realität erfahren, aber es besteht inzwischen weitgehend Einigkeit darüber, dass die Antwort, die Sie hier mit IBM® Quantencomputern erhalten, richtig ist.

Testen Sie mit echten Quantencomputern!

Im Einklang mit unserer obigen Behandlung wollen wir die Richtung der Lucas-Messung als $+z$ definieren. Dies war schon im algebraischen Ansatz praktisch, ist aber besonders praktisch für die Quantenberechnung, da typischerweise die Projektion des Qubits entlang $z$ gemessen wird. Wir wollen einen Quantenschaltkreis bauen, der uns die gleichen Wahrscheinlichkeitsbedingungen wie oben für $P_{++}$ liefert. Es steht uns frei, unsere Ebene so zu orientieren, dass $\phi=0$, und wir erhalten

Wir müssen ein paar Dinge über IBM Quantencomputer wissen, um unsere Diskussion zu führen. Erstens werden die Qubits zunächst im Zustand $|0\rangle = |+\rangle_z$ initialisiert. Wie bereits erwähnt, werden die Messungen entlang der Achse $z$ durchgeführt. Das Ziel besteht also darin, herauszufinden, welche Operatoren wir zwischen den Zuständen der Messbasis $\langle 0|\langle 0|$ und den Anfangszuständen der Qubits $|0\rangle |0\rangle$ einfügen können, um den obigen komplizierten Ausdruck zu erhalten. Dazu müssen wir uns einige grundlegende Gatter der Quanteninformatik ansehen.

$X$ tor: Äquivalent zu einer NOT-Operation. Ein-Qubit-Tor.

In Qiskit sieht das Erstellen eines Schaltkreises mit einem $X$ Gate wie folgt aus:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Output:

$H$ Hadamard-Tor: Erzeugt einen Überlagerungszustand. Ein-Qubit-Tor.

Eine Schaltung mit einem Hadamard-Gatter wird wie folgt aufgebaut:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Output:

CNOT Kontrolliertes-NOT-Gatter: Dieses Tor verwendet zwei Qubits: ein Kontroll- und ein Zielbit. Überprüft den Zustand eines Kontrollqubits, das nicht verändert wird. Befindet sich das Kontroll-Qubit jedoch im Zustand $|1\rangle$, so ändert das Gatter den Zustand des Ziel-Qubits; ist der Zustand des Kontroll-Qubits $|0\rangle$, so wird überhaupt keine Änderung vorgenommen. In der folgenden Schreibweise wird angenommen, dass das erste Qubit die Kontrolle und das zweite das Ziel ist.

Ein CNOT-Gatter sieht in einer Schaltung etwas anders aus, da es zwei Qubits benötigt. So wird sie umgesetzt:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Output:

Beachten Sie, dass das erste unter qc.cx(0,1) aufgeführte Qubit die Kontrolle und das zweite das Ziel ist. Schematisch gesehen ist das Ziel dasjenige mit dem "+"-Zeichen oder dem Kreuz darauf.

$R_y(\theta)$ Drehung Y-Tor: Dreht den Zustand um die y-Achse. Dies ist ein Ein-Qubit-Gatter.

Schließlich werden Rotationsgatter implementiert, indem die Art des Gatters, der Betrag der Rotation und das Qubit, auf dem das Gatter platziert wird, in dieser Reihenfolge angegeben werden:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Output:

Der Name des Tores ry gibt die Achse an, um die die Drehung erfolgt. Das erste Argument $\pi/2$ bezieht sich auf den Betrag der Drehung, und das zweite Argument gibt das Qubit an, auf dem das Tor platziert werden soll.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Erstellen Sie unter Verwendung der oben eingeführten oder aufgefrischten Syntax eine beliebige Quantenschaltung mit vier verschiedenen Arten von Quantengattern.

• Antwort

  Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten. Beispiel:

  
  qc=QuantumCircuit(2)
  qc.ry(pi/2,0)
  qc.cx(1,0)
  qc.x(1)
  qc.h(0)
  qc.cx(0,1)
  qc.draw("mpl")

Vom physikalischen Experiment zum Quantenschaltkreis

Anhand der Operationen dieser Gatter können wir zum Beispiel sehen, dass die kets in den Ausdrücken für $P_{++}$ :

sind wahrscheinlich ein Hadamard-Tor, um die Überlagerung zu erhalten, und ein CNOT-Tor, um die Verschränkung zu erzeugen.

Wir werden nun die H-, X- und CNOT-Tore verwenden, um $|0\rangle_L|0\rangle_R$ in $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$ zu verwandeln:

Hier bedeutet $CNOT_{LR}$ ein CNOT-Gatter mit L als Steuerung und R als Ziel. Wir können nun den R-Teil des Staates herausrechnen:

Jetzt haben wir das Ket vollständig als Quantengatter geschrieben, die mit dem Standard-Ausgangszustand der Qubits arbeiten.

Jetzt können wir die $R_y(\theta)$ verwenden, die auf $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ wirkt, um die BH im Ausdruck für $P_{++}$ zu erhalten.

Kombiniert man diese Ergebnisse, kann man die Wahrscheinlichkeit $P_{++}$ wie folgt schreiben

Dies gibt uns ausdrückliche Anweisungen, wie wir unsere Quantenschaltung aufbauen können. Wir werden X-, H-, CNOT- und $R_y$ -Gatter auf Qubits anwenden, die die Quantenzustände der von Lucas und Rihanna gemessenen Teilchen darstellen, und Messungen durchführen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

IBM Quantum empfiehlt, Probleme der Quanteninformatik mit Hilfe eines Rahmens zu lösen, den wir Qiskit-Muster nennen. Sie besteht aus den folgenden Schritten.

• Schritt 1: Übertragen Sie Ihr Problem auf einen Quantenkreis
• Schritt 2: Optimieren Sie Ihre Schaltung für den Betrieb auf echter Quantenhardware
• Schritt 3: Führen Sie Ihren Auftrag auf IBM Quantencomputern unter Verwendung von Laufzeitprimitiven aus
• Schritt 4: Nachbearbeitung der Ergebnisse

Im Grunde genommen war die ganze Arbeit, die wir oben gemacht haben, Schritt 1. Lasst uns die resultierende Schaltung mit Qiskit bauen!

Schritt 1: Abbildung unserer Ergebnisse auf einen Quantenschaltkreis

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a
# histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Denken Sie daran, dass die von Rihanna gewählte Achse in 1/3 der Fälle $2\pi/3$ im Bogenmaß von der Achse von Lucas entfernt ist, in 1/3 der Fälle $4 \pi/3$ im Bogenmaß von der Achse von Lucas entfernt ist und in 1/3 der Fälle die beiden dieselbe Achse wählen werden. Wir müssen also 3 Quantenschaltungen für diese 3 Fälle erstellen und die Ergebnisse addieren. Den ersten werden wir sorgfältig erläutern, die letzten beiden werden wir einfach festhalten.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two
# classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's)
# as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and
# store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Output:

Mit dem nachstehenden Code lassen sich alle drei Schaltkreise schnell und effizienter aufbauen. Der einzige Unterschied zwischen den drei Schaltungen besteht darin, wie weit wir die beiden Qubits um die Achse $y$ drehen.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Output:

Nun werden wir eine Qiskit-Referenzprimitive namens „ StatevectorSampler “ verwenden. Ein Sampler ist ein Element, das dazu dient, alle möglichen Zustände eines Systems zu durchlaufen und die Wahrscheinlichkeiten (oder in manchen Fällen Quasiwahrscheinlichkeiten) für das Eintreten der einzelnen Zustände zurückzugeben. Wir können eine bestimmte Anzahl von „Schüssen“ festlegen und uns die „Zählwerte“ für jeden Zustand ansehen.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Betrachtet man die Zählungen aus den einzelnen Kreisen, so stellt man fest, dass zwei von ihnen im Wesentlichen identisch waren, während der dritte Kreis ganz anders aussah.

plot_histogram(counts_list)

Output:

Wir erstellen eine Liste der möglichen Ergebnisse und addieren alle Zählungen jedes Zustands aus jedem der drei Kreisläufe, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Jetzt können wir die Gesamtzahlen für jedes Ergebnis ausdrucken und das Histogramm darstellen.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

Output:

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Stimmt das obige Bild mit den Ergebnissen überein, die durch versteckte Variablen und Determinismus vorhergesagt werden? Oder ist sie mit der probabilistischen (und nichtlokalen) Quantenmechanik vereinbar?

• Antwort

  Sie ist mit der probabilistischen und nichtlokalen Quantenmechanik vereinbar. Die Behandlung mit versteckten Variablen sagte voraus, dass die Wahrscheinlichkeit, das gleiche Vorzeichen zu erhalten, kleiner als oder gleich 4/9 war. Die Quantenmechanik sagt eine Wahrscheinlichkeit von 50 % voraus. Das obige Histogramm beschreibt eine Wahrscheinlichkeit von 00 oder 11 in Höhe von 49.97 %. Dies kommt der Vorhersage der probabilistischen Quantenmechanik sehr nahe, vor allem aber ist es größer als der zulässige Bereich bei der Behandlung verborgener Variablen.

Beweist das etwas über die Natur?

• Antwort

  Nein. Wir haben einen Simulator benutzt! Das ist ein Computer, der so programmiert ist, dass er sich nach den Gesetzen der probabilistischen Quantenmechanik verhält. Wenn wir eine Regel vorschlagen und dann einen Computer so programmieren, dass er diese Regel befolgt, ist seine Fähigkeit, die Regel zu befolgen, kein Beweis dafür, dass die Regel korrekt ist! Der einzige Weg, dies zu beweisen, ist die Verwendung eines echten Quantencomputers!

Schritt 2: Optimieren Sie Ihren Quantenschaltkreis für den Betrieb auf realer Hardware

Obwohl wir anfangs einen Simulator zum Debuggen unseres Codes verwendet haben, wollen wir wirklich auf echter Hardware laufen. Schließlich tut ein Simulator nur so, als sei er quantenmechanisch, und zwar auf der Grundlage der oben genannten Gleichungen. Wenn der Simulator uns sagen würde, dass diese Gleichungen korrekt sind, würde uns das nicht viel überzeugen. Wir wollen einen echten Quantencomputer, der uns sagt, was los ist! Wir wählen also den Quantencomputer aus, den wir verwenden wollen. Manchmal kann es wichtig sein, ein bestimmtes Gerät zu wählen, das die gewünschten Eigenschaften hat, aber oft wollen wir einfach das Gerät verwenden, das am wenigsten ausgelastet ist.

Unten finden Sie einen Code, mit dem Sie Ihre Anmeldedaten bei der ersten Verwendung speichern können. Achten Sie darauf, diese Informationen aus dem Notebook zu löschen, nachdem Sie es in Ihrer Umgebung gespeichert haben, damit Ihre Anmeldedaten nicht versehentlich weitergegeben werden, wenn Sie das Notebook freigeben. Weitere Anleitungen finden Sie unter Einrichten Ihres IBM Cloud Kontos und Initialisieren des Dienstes in einer nicht vertrauenswürdigen Umgebung.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform',
# instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Output:

Schritt 3: Führen Sie Ihren Job auf Quantencomputern von „ IBM “ mithilfe von Laufzeitprimitiven aus

Nun, da wir unsere Schaltkreise für den Betrieb auf echter Quantenhardware optimiert und unseren Code mit Hilfe von Simulatoren getestet haben, sind wir bereit, Statistiken von einem echten Quantencomputer zu sammeln und die Unstimmigkeiten zwischen Einstein und Born zu klären.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex
# Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning
# repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

Output:

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted
# time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check
# of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

Output:

[None, None, None]

Schritt 4: Nachbearbeitung und Analyse

Gehen wir einen Schritt zurück und rekapitulieren wir: Unter Verwendung einer Behandlung mit versteckten Variablen und den 3 Offset-Achsen erhielten wir eine Einschränkung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Messungen das gleiche Vorzeichen ergeben $P_{same,hv} =4/9$. Dann haben wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie in der Quantenmechanik angenommen und einen anderen Wert für diese Wahrscheinlichkeit erhalten: $P_{same,gm} = 1/2$. Die Vorhersage der Quantenmechanik ist höher als die Vorhersage, die durch die Behandlung der verborgenen Variablen möglich ist. So lässt sich experimentell feststellen, ob quantenmechanische Zustände vor der Messung von Natur aus festgelegt sind oder ob sie sich tatsächlich in einer probabilistischen Überlagerung von möglichen Zuständen befinden.

Wir haben unsere Quantenschaltungen so konstruiert, dass es vier mögliche Ergebnisse gibt, wenn Lucas und Rihanna das eine oder das andere Vorzeichen der Spin-Projektion messen: 00, 01, 10 und 11. In den Fällen 00 und 11 haben Lucas und Rihanna das gleiche Vorzeichen, in den Fällen 01 und 10 haben sie entgegengesetzte Vorzeichen. Wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Lucas und Rihanna das gleiche Vorzeichen haben, in sehr guter Näherung bei etwa 50 % liegt, also definitiv größer ist als $4/9$. Das bedeutet, dass es keinen Satz versteckter Variablen gibt, der diese Verteilung der Wahrscheinlichkeiten erklären kann, und die Behandlung mit versteckten Variablen ist nicht mit dem Experiment vereinbar.

Es gibt verschiedene Interpretationen von quantenmechanischen Versuchsergebnissen, und es gibt viele Feinheiten bei den Versuchsanordnungen, die immer wieder neu untersucht werden. Aber bisher haben die Prinzipien der Quantenmechanik und die probabilistische Interpretation von Quantenzuständen die Ergebnisse genau beschrieben. Max Born scheint Recht gehabt zu haben.

Nehmen wir uns noch einen Moment Zeit, um über die Bedeutung dieser Tatsache nachzudenken. Aus einem Zerfallsereignis gehen zwei Teilchen hervor, die sich in verschiedene Richtungen bewegen, möglicherweise für eine lange Zeit. Ihre Spins befinden sich in keinem wohldefinierten Zustand, und sie tragen keine Anweisungen mit versteckten Variablen mit sich, um die Ergebnisse zukünftiger Messungen zu bestimmen. Aber eine Messung des einen Teilchens (z. B. entlang $+z$ ) bestimmt notwendigerweise das Ergebnis eines Experiments zum Spin des anderen Teilchens entlang der Richtung $z$ (es muss $-z$ sein). Das bedeutet, dass etwas über die Physik des einen Teilchens dadurch bestimmt wird, was mit dem anderen, möglicherweise weit entfernten Teilchen gemacht wird. Dies ist eine Situation, die die Menschen dazu veranlasst hat, die Realität als "nicht-lokal" zu bezeichnen.

Zwei Teilchen, wie wir sie beschrieben haben, sind irgendwie "verbunden" in dem Sinne, dass Messungen an einem Teilchen das andere beeinflussen können. Wir bezeichnen solche Teilchen als "verschränkt". Verschränkung ist mehr als nur Korrelationen. Wir könnten zum Beispiel eine klassische Maschine konstruieren, die auf der einen Seite einen Magneten mit der Nordseite nach oben und auf der anderen Seite einen Magneten mit der Nordseite nach unten ausspuckt. Solche Magnete könnten vollkommen antikorreliert sein. Aber eine Messung des einen würde dem anderen nichts anhaben. Bei der quantenmechanischen Verschränkung könnte sich Teilchen A in einem undefinierten Zustand befinden (oder in einer Mischung aus vielen Zuständen), und wir können es durch Messungen an einem völlig anderen Teilchen (sagen wir B) auf einen definierten Zustand festlegen. So etwas gibt es in der klassischen Welt nicht.

Dies wirft oft eine ganze Reihe neuer Fragen und Möglichkeiten auf. Einige der Ideen, die es hervorruft, sind real, wie z. B. die Verwendung von Verschränkung zum Rechnen, wie bei Quantencomputern! Manche sind zwar verlockend, scheitern aber, wie der Versuch, mit Hilfe der Verschränkung Informationen schneller als das Licht zu übertragen. Wir möchten Sie ermutigen, alle Fragen zu stellen, die Ihnen in den Sinn kommen, und zu lesen, wie andere diese Phänomene untersucht haben. Es gibt eine ganze Welt der Quantenmechanik zu erforschen, aber hier sind nur einige Ressourcen, die Sie sich ansehen sollten:

IBM Quantenkurse:

• Quantencomputing in der Praxis
• Grundlagen der Quanteninformation

Interessante Arbeiten zur Quantenmechanik:

• Einstein-Podolsky- und Rosen-Paradoxon
• John Bells Originalarbeit von 1964
• papier von 2019 über das Einfangen und Umkehren eines "Quantensprungs" in der Mitte der Übergangsphase

Einige Unterrichtsressourcen zur Quantenmechanik:

• Quantum I Kursunterlagen der Universität von Colorado.

Einige Forschungsarbeiten zur Quantenmechanik:

• Überprüfung von Schülerschwierigkeiten in der Quantenmechanik für Oberstufenschüler von C. Singh und E. Marschall

Fragen

Lehrkräfte können Versionen dieser Hefte mit Antwortschlüsseln und Hinweisen zur Einordnung in gängige Lehrpläne anfordern, indem sie diese kurze Umfrage zur Verwendung der Hefte ausfüllen.

Wichtige Konzepte:

• Es gab eine historische Meinungsverschiedenheit darüber, ob Quantenzustände vor der Messung lediglich unbekannt oder von der Natur unbestimmt waren, ob die Quantenmechanik deterministisch oder probabilistisch ist.
• Verborgene Variablen und damit lokaler Realismus sind mit den Beobachtungen der Quantenmechanik nicht vereinbar. Das heißt, die in der Quantenmechanik beobachteten Korrelationen lassen sich nicht durch wohldefinierte Variablen erklären, die uns einfach unbekannt sind.
• Die Quantenmechanik ist probabilistisch.
• Die Verschränkung ist real und beobachtbar.
• Verschränkung besteht nicht nur aus Korrelationen.
• Wir können Szenarien der realen Welt auf Quantencomputer übertragen.
• Verborgene Variablen sind von der Natur vorgegebene, aber dem Menschen unbekannte Größen; sie existieren in diesem Zusammenhang nicht.

Richtig/Falsch-Fragen:

1. T/F Albert Einstein vertrat die Auffassung, dass die Quantenmechanik als Theorie unvollständig sei, weil sie nur Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen beschreibe, nicht aber den zugrunde liegenden Mechanismus, der diese Ergebnisse bestimme.
2. T/F "Verborgene Variablen" bezieht sich auf die Idee, dass zwei quantenmechanische Teilchen verschränkt sein können.
3. T/F Zwei beliebige korrelierte Systeme sind quantenmechanisch verschränkt.
4. T/F Die quantenmechanische Verschränkung ist wichtig, um die Mathematik richtig zu verstehen, aber man kann sie in einem Experiment nicht sehen.
5. T/F In den meisten Fällen kann die Quantenmechanik kein genaues Ergebnis eines Experiments angeben, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten, dass bestimmte Ergebnisse gemessen werden.
6. T/F In der Quantenmechanik kann der Zustand von Teilchen A unter bestimmten Bedingungen durch den Zustand von Teilchen B beeinflusst werden, auch wenn die Teilchen A und B nicht in Kontakt stehen und keine Teilchen austauschen.
7. T/F Wir können Experimente aus der realen Welt auf Quantenschaltungen übertragen.

MC-Fragen:

1. Angenommen, ein spin-0 Teilchen zerfällt in zwei spin-1/2 Teilchen A und B. Es wird eine Messung an Teilchen A durchgeführt, die zeigt, dass sein Spin eine Projektion entlang $+z$ hat. Teilchen B nun

   • a. hat definitiv eine Spin-Projektion entlang $-z$
   • b. hat definitiv eine Spin-Projektion entlang $-x$
   • c. hat definitiv eine Spin-Projektion entlang $-y$
   • d. hat definitiv eine negative Spinprojektion entlang jeder gemessenen Achse.

2. Ein spin-0 Teilchen zerfällt in zwei spin-1/2 Teilchen A und B. Wenn für Teilchen A eine Projektion entlang $+z$ gemessen wird, welche der folgenden Projektionen sind für eine Messung von Teilchen B möglich? Kreuzen Sie alle zutreffenden Punkte an.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Angenommen, ein spin-0 Teilchen zerfällt in zwei spin-1/2 Teilchen A und B. Wie lässt sich der Zustand von Teilchen A vor einer Messung am besten beschreiben?

   • a. Der Spin des Teilchens A liegt entlang der Linie $+z$.
   • b. Der Spin des Teilchens A liegt entlang der Linie $-z$.
   • c. Der Spin des Teilchens A liegt entlang der Linie $+x$.
   • d. Der Spin von Teilchen A ist in einigen Richtungen definiert, in anderen jedoch nicht.
   • e. Die Spin-Ausrichtung von Teilchen A ist vor den Messungen von Natur aus unbestimmt.

4. Welche der folgenden Aussagen über das Hadamard-Tor trifft/treffen zu? Wählen Sie alle Optionen aus, die zutreffen.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Welche der folgenden Aussagen über das X-Gate trifft/treffen zu? Wählen Sie alle Optionen aus, die zutreffen.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Welches der folgenden ist ein Zwei-Qubit-Gatter?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Angenommen, ein Qubit befindet sich im Zustand $|0\rangle$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es im Zustand $1\rangle$ gemessen wird?

   • a. Genau 100 % auf einem rauschfreien Simulator, nahezu 100 % auf einem echten Quantencomputer
   • b. Nahezu 100 % auf einem rauschfreien Simulator, genau 100 % auf einem echten Quantencomputer
   • c. Genau 0% auf einem rauschfreien Simulator, nahezu 0% auf einem echten Quantencomputer
   • d. Nahezu 0% auf einem rauschfreien Simulator, genau 0% auf einem echten Quantencomputer

Diskussionsfragen:

1. Die Freunde A, B und C diskutieren über die Ergebnisse dieses Labors im Zusammenhang mit der Bellschen Ungleichung. Konkret sehen sie sich das Bild an, das zeigt, dass die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit, dass das gleiche Vorzeichen entlang der Achsen gemessen wird, größer ist als diejenige, die durch eine Behandlung mit versteckten Variablen möglich ist: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. Freund A sagt: "Das bedeutet, dass wir die Spin-Zustände vor einer Messung nicht kannten." Freund B sagt: "Nein, es ist mehr als das. Das bedeutet, dass die Spins nicht schon vor der Messung in eine bestimmte Richtung zeigen. Obwohl, der Spin-Zustand könnte irgendwie bestimmt oder gespeichert werden" Freund C sagt: "Nein, es ist noch mehr als das. Das bedeutet, dass der zukünftige Spin-Zustand nicht einmal von der Natur vor der Messung festgelegt wurde." Wem stimmen Sie zu, und warum?

2. Erläutern Sie, wie quantenmechanische Phänomene wie die Verschränkung darauf hindeuten, dass die Realität nicht lokal ist.

3. Welche zusätzlichen Experimente würden Sie gerne durchführen, um sich von den hier erzielten Ergebnissen zu überzeugen?

4. Kann die Bellsche Ungleichung nur mit 3 gleichmäßig verteilten Achsen $a$, $b$ und $c$ untersucht werden? Kann sie auch mit einer anderen Anzahl von Achsen durchgeführt werden? Wie würde das aussehen? Würde es immer noch einen Unterschied zwischen den Wahrscheinlichkeiten geben, die von versteckten Variablen und der probabilistischen Quantenmechanik vorhergesagt werden?