givens_decomposition_slater

givens_decomposition_slater(orbital_coeffs)

Zerlegt die besetzten Orbitalen einer Slater-Determinante in Givens-Rotationen.

Dies ist das rechteckige Pendant zu givens_decomposition(), das speziell für die Zustandsvorbereitung mittels Slater-Determinanten ausgelegt ist. Ausgehend von der Koeffizientenmatrix der besetzten Orbitalen einer Slater-Determinante gibt die Funktion eine Folge von Givens-Rotationen zurück, die, auf die Referenzkonfiguration $\lvert 1 \cdots 1 0 \cdots 0 \rangle$ (die ersten $m$ besetzten Orbitalen) angewendet, die Slater-Determinante erzeugen. Hier ist orbital_coeffs eine Matrix der Art „ $m \times n$ “, deren Zeilen die besetzten Orbitale $m$ darstellen, ausgedrückt in einer Basis aus räumlichen Orbitalen $n$ ( $m \le n$ ); es wird angenommen, dass ihre Zeilen orthonormal sind.

Im Gegensatz givens_decomposition()dazu muss diese Zerlegung lediglich die besetzten Orbitale $m$ abbilden und nicht eine vollständige $n \times n$ Orbitaldrehung; daher verwendet sie höchstens $m (n - m)$ Givens-Drehungen, die in einem rautenförmigen Muster angeordnet sind (im Gegensatz zur $n (n - 1) / 2$ „Ziegelmauer“ der quadratischen Zerlegung). Die Zerlegung enthält keine Diagonalphasen, da eine globale Phase und jede Rotation innerhalb des besetzten Raums den vorbereiteten Slater-Determinanten unverändert lassen.

Jede Givens-Rotation wird durch ein 4-Tupel definiert (c, s, i, j), wobei:

• c: der reellwertige Kosinus
• s: die komplexwertige Sinusfunktion
• i: der erste Index
• j: der zweite (angrenzende) Index

was zu einer Matrix der folgenden Form führt:

Parameter

orbital_coeffs – die „ $m \times n$ “-Matrix der Koeffizienten der besetzten Orbitale.

Rückgabe

Die Folge von Givens-Rotationen, dargestellt als 4-Tupel, wie oben erläutert.

Die besetzten Orbitalen werden ermittelt, indem die zurückgegebenen Rotationen der Reihe nach auf die Spalten der Referenz „ $m \times n$ “ ( $\begin{pmatrix} I_m & 0 \end{pmatrix}$ ) angewendet werden, wobei jede Rotation, die auf die Indizes $i$ und $j$ wirkt,

Das Ergebnis erstreckt sich über denselben besetzten Raum wie orbital_coeffs (sie definieren dieselbe Slater-Determinante), sodass die quadratische Überlappung $\lvert \det(A B^\dagger) \rvert^2$ zwischen den rekonstruierten Orbitalen $A$ und dem Zielorbital $B$ gleich eins ist.

>>> import numpy as np
>>> from qiskit_fermions.linalg import givens_decomposition_slater
>>> # two occupied orbitals in a basis of three, with orthonormal rows
>>> base = np.array([[0.8, 0.6, 0.0], [-0.48, 0.64, 0.6]])
>>> orbital_coeffs = (base * np.array([[1.0], [1j]])).astype(complex)
>>> rotations = givens_decomposition_slater(orbital_coeffs)
>>> m, n = orbital_coeffs.shape
>>> reconstructed = np.eye(m, n, dtype=complex)
>>> for c, s, i, j in rotations:
...     col_i, col_j = reconstructed[:, i].copy(), reconstructed[:, j].copy()
...     reconstructed[:, i] = c * col_i + s.conjugate() * col_j
...     reconstructed[:, j] = c * col_j - s * col_i
>>> overlap = abs(np.linalg.det(reconstructed @ orbital_coeffs.conj().T)) ** 2
>>> bool(np.isclose(overlap, 1.0))
True