Expérience à l'échelle industrielle II

Note

Yukio Kawashima (12 juillet 2024)

Télécharger le pdf de la conférence originale. Notez que certains extraits de code peuvent devenir obsolètes car il s'agit d'images statiques.

Le temps approximatif d'exécution de cette expérience par la QPU est de 2 m 30 s.

(Ce cahier utilise des textes, des illustrations et des codes provenant d'un cahier de travaux dirigés sur les algorithmes Qiskit, aujourd'hui abandonné)

1. Introduction et examen de l'évolution dans le temps

Ce cahier suit les méthodes et techniques de la leçon 7. Notre objectif est de résoudre numériquement l'équation de Schrödinger dépendante du temps. Comme nous l'avons vu dans la leçon 7, la trotterisation consiste en l'application successive d'une ou plusieurs portes quantiques, choisies pour approximer l'évolution temporelle d'un système pour une tranche de temps donnée. Nous reprenons ici cette discussion par souci de commodité. N'hésitez pas à passer aux cellules de code ci-dessous si vous avez récemment révisé la leçon 7.

A partir de l'équation de Schrödinger, l'évolution temporelle d'un système initialement dans l'état $\vert\psi(0)\rangle$ prend la forme :

\vert \psi(t) \rangle = e^{-i H t} \vert \psi(0) \rangle \text{,}

où $H$ est le hamiltonien indépendant du temps qui régit le système. Nous considérons un hamiltonien qui peut être écrit comme une somme pondérée de termes de Pauli $H=\sum_j a_j P_j$ , $P_j$ représentant un produit tensoriel de termes de Pauli agissant sur $n$ qubits. En particulier, ces termes de Pauli peuvent commuter entre eux ou non. Étant donné un état à l'instant $t=0$ , comment obtenir l'état du système à un instant ultérieur $|\psi(t)\rangle$ à l'aide d'un ordinateur quantique? L'exponentielle d'un opérateur peut être plus facilement comprise à travers sa série de Taylor :

e^{-i H t} = 1-iHt-\frac{1}{2}H^2t^2+...

Certaines exponentielles très basiques, comme $e^{iZ}$ , peuvent être facilement mises en œuvre sur des ordinateurs quantiques à l'aide d'un ensemble compact de portes quantiques. La plupart des hamiltoniens qui nous intéressent n'ont pas un seul terme, mais plusieurs. Notez ce qui se passe si $H = H_1+H_2$ :

e^{-i H t} = 1-i(H_1+H_2)t-\frac{1}{2}(H_1+H_2)^2t^2+...

Lorsque $H_1$ et $H_2$ commutent, nous avons le cas familier (qui est également vrai pour les nombres, et les variables $a$ et $b$ ci-dessous) :

e^{-i (a+b) t} = e^{-i a t}e^{-i b t}

Mais lorsque les opérateurs ne commutent pas, les termes ne peuvent pas être réarrangés dans la série de Taylor pour simplifier de cette manière. L'expression d'hamiltoniens compliqués dans des portes quantiques constitue donc un défi.

Une solution consiste à considérer un temps très petit $t$ , de sorte que le terme du premier ordre dans l'expansion de Taylor domine. Dans cette hypothèse :

e^{-i (H_1+H_2) t} \approx 1-i(H_1+H_2)t \approx (1-i H_1 t)(1-i H_2 t) \approx e^{-i H_1 t}e^{-i H_2 t}

Bien entendu, il se peut que nous devions faire évoluer notre état pendant une période plus longue. Pour ce faire, il est nécessaire de procéder à de nombreux petits pas dans le temps. Ce processus s'appelle la trotterisation :

\vert \psi(t) \rangle \approx \left(\prod_j e^{-i a_j P_j t/r} \right)^r \vert\psi(0) \rangle \text{,}

Ici, $t/r$ est la tranche de temps (étape de l'évolution) que nous choisissons. Il en résulte une porte à appliquer $r$ fois. Un pas de temps plus petit conduit à une approximation plus précise. Toutefois, cela conduit également à des circuits plus profonds qui, dans la pratique, entraînent une plus grande accumulation d'erreurs (un problème non négligeable pour les dispositifs quantiques à court terme).

Aujourd'hui, nous allons étudier l'évolution temporelle du modèle d'Ising sur des treillis linéaires de sites $N=2$ et $N=6$ . Ces treillis sont constitués d'un réseau de spins $\sigma_i$ qui n'interagissent qu'avec leurs voisins les plus proches. Ces spins peuvent avoir deux orientations : $\uparrow$ et $\downarrow$ , qui correspondent à une magnétisation de $+1$ et $-1$ respectivement.

H = - J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} - h \sum_{i=0}^{N-1} X_i \text{,}

où $J$ décrit l'énergie d'interaction et $h$ l'amplitude d'un champ externe (dans la direction x ci-dessus, mais nous modifierons cette valeur). Écrivons cette expression en utilisant les matrices de Pauli, et en considérant que le champ externe a un angle $\alpha$ par rapport à la direction transversale,

H = -J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} -h \sum_{i=0}^{N-1} (\sin\alpha Z_i + \cos\alpha X_i) \text{.}

Ce hamiltonien est utile car il nous permet d'étudier facilement les effets d'un champ extérieur. Dans la base de calcul, le système sera codé comme suit :

État quantique	Représentation du spin
$\lvert 0 0 0 0 \rangle$	$\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\lvert 1 0 0 0 \rangle$	$\downarrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\ldots$	$\ldots$
$\lvert 1 1 1 1 \rangle$	$\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow$

Nous commencerons par étudier l'évolution temporelle d'un tel système quantique. Plus précisément, nous visualiserons l'évolution dans le temps de certaines propriétés du système, comme l'aimantation.

# Check the version of Qiskit
import qiskit

qiskit.__version__

Output:

'2.0.2'

# Import the qiskit library

import numpy as np
import warnings

from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister
from qiskit.circuit.library import PauliEvolutionGate
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.synthesis import LieTrotter
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, Estimator

warnings.filterwarnings("ignore")

2. Définition de l'hamiltonien d'Ising à champ transversal

Nous considérons ici le modèle d'Ising à champ transverse 1-D.

Tout d'abord, nous allons créer une fonction qui prend en compte les paramètres du système $N$ , $J$ , et $h$ , et renvoie notre hamiltonien sous la forme d'un SparsePauliOp. A SparsePauliOp est une représentation éparse d'un opérateur en termes de termes de Pauli pondérés.

2.1 Activité 1

Construire une fonction pour construire un hamiltonien d'Ising à champ transverse (voir l'équation ci-dessus) avec comme arguments "le nombre de qubits", "le paramètre J" et "le paramètre h". Essayez de le faire vous-même en utilisant les exemples précédents. Faites défiler la page vers le bas pour connaître la solution.

La solution :

def get_hamiltonian(nqubits, J, h):
    # List of Hamiltonian terms as 3-tuples containing
    # (1) the Pauli string,
    # (2) the qubit indices corresponding to the Pauli string,
    # (3) the coefficient.
    ZZ_tuples = [("ZZ", [i, i + 1], -J) for i in range(0, nqubits - 1)]
    X_tuples = [("X", [i], -h) for i in range(0, nqubits)]

    # We create the Hamiltonian as a SparsePauliOp, via the method
    # `from_sparse_list`, and multiply by the interaction term.
    hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [*ZZ_tuples, *X_tuples], num_qubits=nqubits
    )
    return hamiltonian.simplify()

Nous commencerons par étudier l'évolution temporelle d'un système quantique, tout en suivant l'évolution de l'aimantation. Nous comparons ici les résultats des simulateurs Statevector et Matrix Product State.

Définir l'hamiltonien

Le système que nous considérons maintenant a une taille de $N=20$ .

n_qubits = 20
hamiltonian = get_hamiltonian(nqubits=n_qubits, J=1.0, h=-5.0)
hamiltonian

Output:

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[-1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j])

Définir les paramètres de la simulation d'évolution temporelle

Nous considérons ici le Lie-Trotter (premier ordre).

num_timesteps = 20
evolution_time = 2.0
dt = evolution_time / num_timesteps
product_formula_lt = LieTrotter()

Préparer le circuit quantique (état initial)

Créer un état initial. Nous partirons de l'état fondamental, qui est un état ferromagnétique (tout en haut ou tout en bas). Ici, nous utilisons un exemple de tous les "ups" (qui sont tous "0").

initial_circuit = QuantumCircuit(n_qubits)
initial_circuit.prepare_state("00000000000000000000")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit.decompose(reps=1).draw("mpl")

Output:

Préparer le circuit quantique 2 (circuit unique pour l'évolution temporelle)

Nous construisons ici un circuit pour un seul pas de temps en utilisant Lie-Trotter. La formule du produit de Lie (premier ordre) est implémentée dans la classe LieTrotter classe. Une formule du premier ordre consiste en l'approximation mentionnée dans l'introduction, où l'exponentielle matricielle d'une somme est approximée par un produit d'exponentielles matricielles :

e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1} e^{H_2}

Comptons les opérations pour ce circuit.

single_step_evolution_gates_lt = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_lt
)
single_step_evolution_lt = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_lt.append(
    single_step_evolution_gates_lt, single_step_evolution_lt.qubits
)

print(
    f"""
Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_lt.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).draw("mpl", fold=-1)

Output:


Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: 58
Gate count: 77
Nonlocal gate count: 38
Gate breakdown: CX: 38, U3: 20, U1: 19

Définir les opérateurs à mesurer

Définissons un opérateur d'aimantation $\sum_i Z_i / N$ .

magnetization = (
    SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [("Z", [i], 1.0) for i in range(0, n_qubits)], num_qubits=n_qubits
    )
    / n_qubits
)
print("magnetization : ", magnetization)

Output:

magnetization :  SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j,
 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j,
 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j, 0.05+0.j])

Effectuer une simulation d'évolution temporelle

Nous surveillerons l'aimantation (valeur d'espérance de l'opérateur d'aimantation). Nous utiliserons les simulateurs Statevector et MPS et comparerons les résultats.

# Step 1. Map the problem
# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)

# Define backend (simulator)
# MPS
backend_mps = AerSimulator(method="matrix_product_state")
# Statevector
backend_sv = AerSimulator(method="statevector")

# Set Runtime Estimator
# MPS
estimator_mps = Estimator(mode=backend_mps)
# Statevector
estimator_sv = Estimator(mode=backend_sv)

# Step 2. Optimize
# Set pass manager
# MPS
pm_mps = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend_mps)
# Statevector
pm_sv = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend_sv)

# Transpile initial circuit
# MPS
evolved_state_mps = pm_mps.run(evolved_state)
# Statevector
evolved_state_sv = pm_sv.run(evolved_state)

# Apply layout to the operator
# MPS
magnetization_mps = magnetization.apply_layout(evolved_state_mps.layout)
# Statevector
magnetization_sv = magnetization.apply_layout(evolved_state_sv.layout)

mag_mps_list = []
mag_sv_list = []

# Step 3. Run the circuit
# Estimate expectation values for t=0.0: MPS
job = estimator_mps.run([(evolved_state_mps, [magnetization_mps])])
# Get estimated expectation values: MPS
evs = job.result()[0].data.evs
# Collect data: MPS
mag_mps_list.append(evs[0])

# Estimate expectation values for t=0.0: Statevector
job = estimator_sv.run([(evolved_state_sv, [magnetization_sv])])
# Get estimated expectation values: Statevector
evs = job.result()[0].data.evs
# Collect data: Statevector
mag_sv_list.append(evs[0])

# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Step 1. Map the problem
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_lt, evolved_state.qubits)
    # Step 2. Optimize
    # Transpile the circuit: MPS
    evolved_state_mps = pm_mps.run(evolved_state)
    # Apply the physical layout of the qubits to the operator: MPS
    magnetization_mps = magnetization.apply_layout(evolved_state_mps.layout)
    # Step 3. Run the circuit
    # Estimate expectation values at delta-t: MPS
    job = estimator_mps.run([(evolved_state_mps, [magnetization_mps])])
    # Get estimated expectation values: MPS
    evs = job.result()[0].data.evs
    # Collect data: MPS
    mag_mps_list.append(evs[0])

    # Step 2. Optimize
    # Transpile the circuit: Statevector
    evolved_state_sv = pm_sv.run(evolved_state)
    # Apply the physical layout of the qubits to the operator: Statevector
    magnetization_sv = magnetization.apply_layout(evolved_state_sv.layout)
    # Step 3. Run the circuit
    # Estimate expectation values at delta-t: Statevector
    job = estimator_sv.run([(evolved_state_sv, [magnetization_sv])])
    # Get estimated expectation values: Statevector
    evs = job.result()[0].data.evs
    # Collect data: Statevector
    mag_sv_list.append(evs[0])

# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
mag_mps_array = np.array(mag_mps_list)
mag_sv_array = np.array(mag_sv_list)

Tracer l'évolution temporelle des observables

Nous traçons les valeurs d'attente que nous avons mesurées en fonction du temps. Confirmer la concordance entre les résultats des simulateurs de l'espace vectoriel d'état et de l'espace produit de la matrice.

import matplotlib.pyplot as plt

# Step 4. Post-processing
fig, axes = plt.subplots(2, sharex=True)
times = np.linspace(0, evolution_time, num_timesteps + 1)  # includes initial state
axes[0].plot(
    times, mag_mps_array, label="MPS", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[1].plot(
    times, mag_sv_array, label="SV", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)

axes[0].set_ylabel("MPS")
axes[1].set_ylabel("Statevector")
axes[1].set_xlabel("Time")
fig.suptitle("Observable evolution")

Output:

Text(0.5, 0.98, 'Observable evolution')

Nous commencerons à étudier l'évolution temporelle d'un système quantique, tout en gardant la trace de ses propriétés. Nous comparons ici les résultats du simulateur Matrix Product State et du dispositif quantique réel.

2.2 Activité 2

Définir l'hamiltonien

Le système que nous considérons maintenant a une taille de $N=70$ . Notez que les autres conditions sont les mêmes que pour le problème à 20 qubits. Essayez par vous-même; défilez vers le bas pour trouver la solution.

La solution :

# Set the number of qubits
n_qubits2 = 70
# Construct the Hamiltonian by calling the function you made in Activity 1
hamiltonian2 = get_hamiltonian(nqubits=n_qubits2, J=1.0, h=-5.0)
hamiltonian2

Output:

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 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'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[-1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j,
  5.+0.j,  5.+0.j,  5.+0.j])

2.3 Activité 3

Créer un état initial. Nous partirons de l'état fondamental, qui est un état ferromagnétique (tout en haut ou tout en bas). Ici, nous utilisons un exemple de tous les "ups" (qui sont tous "0"). Essayez par vous-même; défilez vers le bas pour trouver la solution.

La solution :

# Initiate the (quantum)circuit
initial_circuit2 = QuantumCircuit(n_qubits2)
# Use QuantumCircuit.prepare_state() to define the initial state
initial_circuit2.prepare_state(
    "0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"
)
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit2.decompose(reps=1).draw("mpl")

Output:

2.4 Activité 4

Préparez le circuit quantique 2 (circuit unique pour l'évolution temporelle) pour le problème à 70 qubits

Nous construisons ici un circuit pour un seul pas de temps en utilisant Lie-Trotter. Comme dans le cas des 20 qubits, la formule du produit de Lie (premier ordre) est implémentée dans la classe LieTrotter classe. Là encore, la formule du premier ordre consiste en l'approximation mentionnée ci-dessus :

e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1} e^{H_2}

Essayez vous-même, en partant de l'exemple du cas de 20 qubits. Comme précédemment, comptez les opérations pour ce circuit.

La solution :

# Construct the gates using PauliEvolutionGate()
single_step_evolution_gates_lt2 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian2, dt, synthesis=LieTrotter()
)
# Initiate the quantum circuit
single_step_evolution_lt2 = QuantumCircuit(n_qubits2)
# Append the gates defined above
single_step_evolution_lt2.append(
    single_step_evolution_gates_lt2, single_step_evolution_lt2.qubits
)

print(
    f"""
Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_lt2.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_lt2.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_lt2.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_lt2.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_lt2.decompose(reps=3).draw("mpl", fold=-1)

Output:


Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: 208
Gate count: 277
Nonlocal gate count: 138
Gate breakdown: CX: 138, U3: 70, U1: 69

2.5 Activité 5

Définir les opérateurs à mesurer

Nous définissons un opérateur d'aimantation exactement analogue à celui du cas 20-qubits : $\sum_i Z_i / N$ . Essayez vous-même en modifiant la solution à 20 qubits.

La solution :

# Define the magnetization operator in SparsePauliOp
magnetization2 = (
    SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [("Z", [i], 1.0) for i in range(0, n_qubits2)], num_qubits=n_qubits2
    )
    / n_qubits2
)
print("magnetization : ", magnetization2)

Output:

magnetization :  SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j,
 0.01428571+0.j, 0.01428571+0.j])

2.6 Activité 6

Effectuer une simulation d'évolution temporelle

Nous surveillerons l'aimantation (valeur d'espérance de l'opérateur d'aimantation). Nous utiliserons le simulateur MPS pour obtenir la valeur de référence afin de comparer les résultats calculés à partir du matériel. Vous avez déjà utilisé le simulateur MPS dans ce tutoriel. Modifiez cet exemple si nécessaire pour l'adapter à ce nouveau calcul.

La solution :

# Step 1. Map the problem
# Initiate the circuit
evolved_state2 = QuantumCircuit(initial_circuit2.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state2.append(initial_circuit2, evolved_state2.qubits)
# Define backend (MPs simulator)
backend_mps2 = AerSimulator(method="matrix_product_state")
# Initiate Runtime Estimator
estimator_mps2 = Estimator(mode=backend_mps2)
# Step 2. Optimize
# Initiate pass manager
pm_mps2 = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend_mps2)
# Transpile
evolved_state_mps2 = pm_mps2.run(evolved_state2)
# Apply qubit layout to the observable to measure
magnetization_mps2 = magnetization2.apply_layout(evolved_state_mps2.layout)
# Initiate list
mag_mps_list2 = []
# Step 3. Run the circuit
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator_mps2.run([(evolved_state_mps2, [magnetization_mps2])])
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
# Append to list
mag_mps_list2.append(evs[0])

# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Step 1. Map the problem
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state2.append(single_step_evolution_lt2, evolved_state2.qubits)
    # Step 2. Optimize
    # Transpile the circuit
    evolved_state_mps2 = pm_mps2.run(evolved_state2)
    # Apply the physical layout of the qubits to the operator
    magnetization_mps2 = magnetization2.apply_layout(evolved_state_mps2.layout)
    # Step 3. Run the circuit
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator_mps2.run([(evolved_state_mps2, [magnetization_mps2])])
    # Get estimated expectation values
    evs = job.result()[0].data.evs
    # Append to list
    mag_mps_list2.append(evs[0])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
mag_mps_array2 = np.array(mag_mps_list2)

Comme dans toutes les leçons précédentes, nous mettrons en œuvre le cadre des modèles Qiskit. Jusqu'à présent, la leçon s'est concentrée sur la création de circuits quantiques corrects pour décrire notre problème. Il s'agit en fait de l'étape 1.

Étape 2 : Optimisation pour le matériel cible

Nous commençons par définir le backend cible.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
backend.name

Output:

'ibm_kingston'

Nous transposons les circuits et les rassemblons dans une liste. Cette opération peut prendre quelques minutes.

pm_hw = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)
circuit_isa = []
# Step 1. Map the problem
evolved_state_hw = QuantumCircuit(initial_circuit2.num_qubits)
evolved_state_hw.append(initial_circuit2, evolved_state_hw.qubits)
# Step 2. Optimize
circuit_isa.append(pm_hw.run(evolved_state_hw))

for n in range(num_timesteps):
    # Step 1. Map the problem
    evolved_state_hw.append(single_step_evolution_lt2, evolved_state_hw.qubits)
    # Step 2. Optimize
    circuit_isa.append(pm_hw.run(evolved_state_hw))

Étape 3 : Exécuter sur le matériel cible

Nous allons définir l'estimateur du temps d'exécution et construire la liste des PUB. Nous devons également appliquer le schéma aux opérateurs à mesurer.

# Step 2. Optimize
estimator_hw = Estimator(mode=backend)
pub_list = []
for circuit in circuit_isa:
    temp = (circuit, magnetization2.apply_layout(circuit.layout))
    pub_list.append(temp)

Nous sommes maintenant prêts à exécuter le travail.

job = estimator_hw.run(pub_list)
job_id = job.job_id()
print(job_id)

Output:

d147hfdqf56g0081sxs0

# check job status
job.status()

Output:

'DONE'

Étape 4 : Post-traitement des résultats

Nous allons d'abord obtenir les résultats.

job = service.job(job_id)
pub_result = job.result()

Nous devons maintenant extraire les valeurs d'espérance de ces résultats.

mag_hw_list = []
for res in pub_result:
    evs = res.data.evs
    mag_hw_list.append(evs)

Nous l'utiliserons à des fins de comparaison ci-dessous. Voyons d'abord si nous pouvons encore optimiser nos circuits.

3. Solution utilisant un véritable ordinateur quantique II

Revenons à l'étape 1 du schéma de Qiskit et voyons si nous pouvons réduire la profondeur de notre circuit.

3.1 Étape 1. Cartographier le problème à l'aide de circuits et d'opérateurs quantiques

Activité 7

Construire un circuit d'évolution temporelle. Utilisez vos connaissances des leçons précédentes pour essayer de réduire la profondeur du circuit.

La solution :

# Define J
J = 1.0
# Define h
h = -5.0
# Create instruction for rotation around ZZ:
# Initiate the circuit (use 2 qubits)
Rzz_circ = QuantumCircuit(2)
# Add Rzz gate (do not forget to multiply the angle by 2.0)
Rzz_circ.rzz(-J * dt * 2.0, 0, 1)
# Transform the QuantumCircuit to instruction (QuantumCircuit.to_instruction())
Rzz_instr = Rzz_circ.to_instruction(label="RZZ")

# Create instruction for rotation around X:
# Initiate the circuit (use 1 qubit)
Rx_circ = QuantumCircuit(1)
# Add Rx gate (do not forget to multiply the angle by 2.0)
Rx_circ.rx(-h * dt * 2.0, 0)
# Transform the QuantumCircuit to instruction (QuantumCircuit.to_instruction())
Rx_instr = Rx_circ.to_instruction(label="RX")

# Define the interaction list
interaction_list = [
    [[i, i + 1] for i in range(0, n_qubits2 - 1, 2)],
    [[i, i + 1] for i in range(1, n_qubits2 - 1, 2)],
]  # linear chain

# Define the registers
qr = QuantumRegister(n_qubits2)
# Initiate the circuit
single_step_evolution_sh = QuantumCircuit(qr)
# Construct the Rzz gates
for i, color in enumerate(interaction_list):
    for interaction in color:
        single_step_evolution_sh.append(Rzz_instr, interaction)

# Construct the Rx gates
for i in range(0, n_qubits2):
    single_step_evolution_sh.append(Rx_instr, [i])

print(
    f"""
Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_sh.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_sh.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_sh.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_sh.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)

single_step_evolution_sh.decompose(reps=2).draw("mpl")

Output:


Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: 7
Gate count: 277
Nonlocal gate count: 138
Gate breakdown: CX: 138, U3: 70, U1: 69

Cette initiative a été couronnée de succès. Nous pouvons maintenant procéder aux étapes restantes des modèles Qiskit.

3.2 Étape 2. Optimiser pour le matériel cible

Transpilez les circuits et rassemblez-les dans une liste. Là encore, cela peut prendre quelques minutes.

pm_hw2 = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=3)
circuit_isa2 = []
# Step 1. Map the problem
evolved_state_hw2 = QuantumCircuit(initial_circuit2.num_qubits)
evolved_state_hw2.append(initial_circuit2, evolved_state_hw2.qubits)
# Step 2. Optimize
circuit_isa2.append(pm_hw2.run(evolved_state_hw2))
for n in range(num_timesteps):
    # Step 1. Map the problem
    evolved_state_hw2.append(single_step_evolution_sh, evolved_state_hw2.qubits)
    # Step 2. Optimize
    circuit_isa2.append(pm_hw2.run(evolved_state_hw2))

Définir l'estimateur du temps d'exécution et construire la liste des PUB.

estimator_hw2 = Estimator(mode=backend)
pub_list2 = []
for circuit in circuit_isa2:
    temp = (circuit, magnetization2.apply_layout(circuit.layout))
    pub_list2.append(temp)

3.3 Étape 3. Exécuter sur le matériel cible

Exécutez le travail.

job2 = estimator_hw2.run(pub_list2)
job2_id = job2.job_id()
print(job2_id)

Output:

d147qqeqf56g0081sye0

# check job status
job2.status()

Output:

'DONE'

Obtenez les résultats.

job2 = service.job(job2_id)
pub_result2 = job2.result()

3.4 Étape 4. Post-traitement

Extraire les valeurs attendues des résultats.

mag_hw_list2 = []
for res in pub_result2:
    evs = res.data.evs
    mag_hw_list2.append(evs)

Transformer la liste en tableaux numpy pour le tracé.

mag_hw_array = np.array(mag_hw_list)
mag_hw_array2 = np.array(mag_hw_list2)

Traçons maintenant les résultats et comparons les résultats matériels (circuit par défaut et circuit peu profond) avec le simulateur MPS. Comment l'erreur dans le matériel réel influence-t-elle les résultats?

fig, axes = plt.subplots(3, sharex=True)
times = np.linspace(0, evolution_time, num_timesteps + 1)  # includes initial state
axes[0].plot(
    times, mag_mps_array2, label="MPS", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[1].plot(
    times, mag_hw_array, label="HW", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[2].plot(
    times, mag_hw_array2, label="HW2", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[0].set_ylabel("MPS")
axes[1].set_ylabel("HW")
axes[2].set_ylabel("HW2")
axes[2].set_xlabel("Time")
fig.suptitle("Observable evolution")

Output:

Text(0.5, 0.98, 'Observable evolution')

Félicitations ! Vous avez fait un pas de plus dans votre voyage quantique à l'échelle de l'utilité. Il ne reste plus qu'une leçon!

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